Chương 3hh quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác các đường đồng quy của tam giác

Chương III §1 QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC CÁC BÀI TẬP MỞ ĐẦU Vẽ tam giác sau vào vở, sau đo cẩn thận điền số đo vào bảng đây: * △ ABC nhọn, AB  BC  CA * △ DEF vuông D, DE  DF (Đơn vị đo độ dài: mm; đơn vị đo góc: độ)  * △ GHI có G  90 , GH  GI △ ABC AB = BC = CA = A    B   C △ DEF DE = EF = FD =   D   E   F △ GHI GH = HI = IG =   G   H I  Vẽ tam giác sau vào vở, sau đo cẩn thận điền số đo vào bảng (Đơn vị đo độ dài: mm, đơn vị đo góc: độ)    * △ KLM nhọn, K  L  M    * △ NPQ vuông, N  P  90 Q    * △ RST tù, R  S  90  T △ KLM KL = LM = MK =   K   L   M △ NPQ NP = PQ = QN =   N   P   Q △ RST RS = ST = TR =   R S  T  a Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: * Các cạnh △ ABC : Các góc △ ABC : * Các cạnh △ DEF : Các góc △ DEF : * Các cạnh △ GHI : Các góc △ GHI : * Các cạnh △ KLM : Các góc △ KLM : * Các cạnh △ NPQ : Các góc △ NPQ : * Các cạnh △ RST : Các góc △ RST : b Em có nhận xét mối quan hệ cạnh góc đối diện tam giác? * Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc đối diện với góc lớn cạnh * Trong tam giác, đối diện với cạnh bé góc đối diện với góc bé cạnh Dựa vào độ dài cạnh tam giác đo câu câu 2, tính đặt dấu >, < = vào chỗ trống a AB BC  CA; BC CA  AB; CA AB  BC DE EF  FD; EF FD  DE ; FD DE  EF GH HI  IG; HI IG  GH ; IG GH  HI KL LM  MK ; LM MK  KL; MK KL  LM NP PQ  QN ; PQ QN  NP; QN NP  PQ RS ST  TR; ST TR  RS ; TR RS  ST b AB CA  BC; BC CA  AB; CA BC  AB DE EF  FD; EF DF  DE ; FD EF  DE GH HI  IG; HI GI  GH ; IG HI  GH KL KM  ML; LM KL  KM ; MK KL  ML NP QN  QP; PQ PN  QN ; QN PN  PQ RS TR  TS ; ST RS  TR; TR RS  TS Vẽ △ ABC có AB  BC  CA có sai biệt độ dài cạnh lớn Vẽ trung tuyến AM , BN ,CP thật xác a Đo so sánh độ dài trung tuyến (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn): b Nhận xét đánh dấu x vào ô trống (nếu đúng): - trung tuyến cắt điểm - trung tuyến cắt tạo thành tam giác nhỏ Vẽ △ ABC có AB  BC  CA có sai biệt độ dài cạnh rõ rệt Vẽ phân giác AI , BH ,CG thật xác a Đo so sánh độ dài phân giác (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn): b Nhận xét đánh dấu x vào ô trống (nếu đúng): - phân giác cắt điểm - phân giác cắt tạo thành tam giác nhỏ Vẽ △ ABC nhọn, △ DEF vuông, △ GHI tù Với tam giác, dùng compa vẽ đường trung trực thật xác đường trung trực tam giác: - Cắt điểm: △ ABC - Cắt tạo thành tam giác nhỏ: △ ABC ; △ DEF ; △ DEF ; △ GHI ; △ GHI Vẽ tam giác nhọn △ ABC có AB  BC  CA Vẽ đường cao AD, BE, CF thật xác a Đo so sánh độ dài đường cao AD, BE, CF (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn) b Nhận xét đánh dấu x vào ô trống (nếu đúng): - đường cao cắt điểm - đường cao cắt tạo thành tam giác nhỏ §2 QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC Với thước đo góc, so sánh cạnh tam giác hay không? Định lý * Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn △ ABC có:   AC  AB  B  C Định lý * Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn   △ ABC có: B  C  AC  AB Hai định lý thuận đảo thường phát biểu chung Với định lý trên, ta phát biểu: * Trong tam giác, góc lớn đối diện với cạnh lớn △ ABC có:   B C  AC  AB HỆ QUẢ: * Trong tam giác, góc lớn đối diện với cạnh lớn * Trong tam giác tù (hoặc tam giác vng), cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vuông) cạnh lớn Cạnh huyền BC lớn  M góc tù nên NK lớn BÀI TẬP Bài So sánh góc △ ABC biết: a) AB  4cm; BC  6cm; CA  5cm b) AB  9cm; AC  72cm; BC  8cm c) Độ dài cạnh AB, BC , CA tỉ lệ nghịch với 2,3, d) △ ABC vng B có AC  6cm; AB  19cm   e) Cho △ DEF biết DE DF  EF Chứng minh D  60  E 0   f) Cho △ GHI biết IG IH  GH Chứng minh 90  H  60  I Bài 2: So sánh cạnh △ ABC , biết:   a) A 45 ; B 55 0  b) Góc ngồi đỉnh A 120 , B 54  c) △ ABC cân A, A  60 d) Số đo góc A, B, C tỉ lệ với 2, 3, 1  ; e) A 110 số đo góc B, C tỉ lệ nghịch với  f) A 40 số đo góc B, C tỉ lệ với 3; Bài 3: Trong tam giác; đối diện với cạnh nhỏ góc gì? (Góc nhọn, góc vng, góc tù) Tại sao? 0    Bài 4: Cho △ ABC có B  45 ; 45  C  A  90 Vẽ AD  BC D a) Chứng minh BD  DC b) Vẽ CE  AB E, CE cắt AD H So sánh HA HC Bài 5: Cho △ ABC có góc A tù Trên cạnh AB lấy điểm D a) So sánh đoạn thẳng CA, CD CB b) Trên cạnh AC lấy điểm E So sánh DE BC Bài 6: Cho △ ABC có AB  AC  BC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D, tia phân giác góc B cắt cạnh AC E, hai tia phân giác cắt I So sánh: a) IA IB   b) AEB CEB Bài 7: Cho △ ABC có M trung điểm BC     a) Chứng minh rằng: C  B BAM  CAM     b) Chứng minh rằng: BAM  CAM C  B c) DB DC c) Gọi N trung điểm AC, AM cắt BN G Chứng minh rằng: AM  BN BC  AC  d) Từ M vẽ tia Mx cho MA tia phân giác góc BMx , tia Mx cắt AC I Chứng minh: BM  MI Bài 8: -Cho △ ABC có AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho BD=DE=EC Chứng     minh ba góc: BAD, DAE , EAC góc DAE góc lớn Bài 9: Cho △ ABC có AB  AC D điểm thuộc miền △ ABC Chứng minh rằng:   a) Nếu ADB  ADC DC>DB   b) Nếu DC>DB ADB  ADC Bài 10: Cho △ ABC D điểm thuộc cạnh BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa   điểm A; vẽ tia Bx cho CBx CAD Tia Bx cắt tia AD E Chứng minh rằng: EA EB  EC  Bài 11: Cho △ ABC cân A có A 30 , vẽ AH  BC H Trên tia HC lấy điểm D cho  300 Tia Dx HD HA Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A; vẽ tia Dx cho BDx cắt tia AB E Chứng minh △ DHE cân Bài 12: Cho △ ABC có AB  AC Tia phân giác góc A cắt BC D, vẽ AH  BC H gọi M trung điểm BC Chứng minh điểm D nằm M H §3 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I KHÁI NIỆM ĐƯỜNG VNG GĨC, ĐƯỜNG XIÊN, HÌNH CHIẾU Từ điểm A không nằm đường thẳng d vẽ đường thẳng vng góc với d H Trên d lấy điểm B khơng trùng với H Khi đó: A H d B * Đoạn AH gọi đoạn vng góc hay đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d * Điểm H gọi chân đường vng góc hay hình chiếu điểm A đường thẳng d * Đoạn thẳng AB đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d * Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đường xiên AB đường thẳng d * Độ dài AH gọi khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d II.QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN 1.a Từ điểm A khơng nằm đường thẳng d, ta kẻ đường vng góc đường xiên đến đường thẳng d? b Với hình vẽ trên, em so sánh AH AB hai cách: Cách 1: Áp dụng định lý Pitago vào AHB vng H ta có AB    AB  AH Suy  A H B d Cách 2: AHB vuông H  cạnh huyền AB lớn  AB  ( cạnh góc đối diện tam giác ) c Hãy thử phát biểu định lý: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thằng đến đường thẳng , đường đường ngắn * AH đường vng góc , AB đường xiên AH  AB III.CÁC ĐƯƠNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU CỦA CHÚNG Ta so sánh AB, AC dựa vào hình chiếu chúng ngược lại A B H C d a Thật vật áp dụng định lý Pitago với AHB vuông H, ta có: AH    AH   (1) 2 2 2 AHC vng H, ta có : AH    AH   (2) 2 2 Từ (1) (2) ta có : AB   AC  2 2 Hay AB  AC HB  2 2 2 * Nếu HB HC  HB HC  HB  HC 0  AB  0  AB   AB  2 2 2 * Nếu HB  HC  HB  HC  HB    AB    AB   AB  2 2 2 * Nếu AB  AC  AB  AC  AB    HB    HB   HB  Từ chứng minh ta có định lý sau: Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng : * Đường xiên có hình chiếu lớn * Đường xiên lớn có hình chiếu * Một đường xiên lớn có hình chiếu * AH  d H, B, C  d ta có AC  AB  HC  HB ( đường xiên hình chiếu) * Hai đường xiên chúng có hình chiếu * AH  d H, B, C  d ta có AC  AB  HC HB ( đường xiên hình chiếu) BÀI TẬP Bài tập Bài 13 K B A D M A E F C B N H.1 H.2h a Ở H.1 so sánh độ dài AD, DE,DF,BF,BC ( có giải thích) b Ở H.2 so sánh AB KN ( có giải thích ) Bài 14 Cho ABC cân A điểm D nằm B C Chứng minh AD nhỏ cạnh bên ABC ˆ ˆ Bài 15 Cho ABC có đường cao AH, C  B  90 , M điểm nằm H B; N điểm thuộc đường thẳng BC không thuộc đoạn BC.Chứng minh: a HB  HC b AM  AB  AN ˆ ˆ Bài 16 Cho ABC có B  C , D nằm A,C ( BD không vng góc với AC) Gọi E, F chân đường vng góc kẻ từ A,C đến đường thẳng BD So sánh AE+CF với AB AC Bài 17 Cho ABC nhọn , AB  AC Lấy điểm M nằm A,H ( AH đường cao), tia BM cắt AC D Chứng minh a BM  CM HMB  HMC b DM  DH Bài 18 Cho ABC vuông A, M trung điểm BA Vẽ AI  MC I, BK  MC K Chứng minh: a AB  AC  3BK b AC  CI  CK  BC ˆ Bài 19 Cho MNP có M 90 , I điểm nằm N, P a Chứng minh MI bé cạnh góc vng b Vẽ MH  NP H Trên cạn NP lấy điểm E cho NE=NM, cạnh MP lấy điểm F cho MF=MH Chứng minh MHE MFE c Chứng minh tam giác vuông tổng độ dài hai cạnh góc vng nhỏ tổng độ dài cạnh huyền chiều cao tương ứng ˆ Bài 20 Cho ABC có A 90 , BD phân giác ABC ( D  AC ) a Chứng minh DA  DC b Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Cx  AC Tia Cx cắt tia BD E P  PCDE Gọi P chu vi, chứng minh ADB Bài 21 Cho ABC vuông cân A đường thẳng xy quay quanh A Gọi E,F hình chiếu B,C xy a Chứng minh BE hình chiếu CA xy b Với vị trí đường thẳng xy thì:  Hình chiếu AB xy lớn hình chiếu AC xy  Hình chiếu AB xy hình chiếu AC xy Bài 22 Cho ABC nhọn có AD, BE đường cao cắt H a Chứng minh AD  BE  BC  AC b Cho biết AC  BC Khi chứng minh: +) HA  HB +) AC  BE  BC  AD