Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Học toán gắn liền với hoạt động giải toán Thơng qua việc hướng dẫn học sinh giải tốn, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh lực tư duy, tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo người Việc khai thác tính chất hình đặc biệt cách bồi dưỡng cho học sinh lực Ngồi ra, việc khai thác có hiệu kiến thức đem lại cho học sinh học thú vị, lòng say mê hứng thú môn học, tâm lý học sinh nói chung ln muốn biết tìm tịi Để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh, phương pháp hữu hiệu từ kiến thức ban đầu tính chất đặc biệt đó, ta hướng dẫn học sinh khai thác để phát biểu giải nhiều toán có liên quan Việc hướng dẫn học sinh cách tìm hiểu khai thác đầy đủ tính chất hình đặc biệt để vận dụng vào giải tốn vấn đề khó khăn giáo viên, đòi hỏi người giáo viên cần phải có vốn kiến thức sâu rộng, kiên trì cần nhiều thời gian Đối với học sinh, việc rèn luyện kỹ phân tích, tìm hiểu vận dụng cần thiết, nhằm nâng cao khả tự học, sáng tạo, tư độc lập đặc biệt gây hứng thú học tập Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy tập tính chất đường đồng quy tam giác quan trọng học sinh, đặc biệt phần kiến thức không áp dụng cho phần kiến thức cụ thể mà lượng kiến thức vận dụng để giải nhiều tập chương trình hình học THCS Mặt khác lượng kiến thức tập đường đồng quy tam giác tương đối nhiều đa dạng nên học sinh khó khăn việc hệ thống dạng tập cách giải Vì vậy, từ toán đơn giản ban đầu, biết cách hướng học sinh tìm lời giải từ tạo số toán nhằm củng cố lại hệ thống kiến thức học việc thu nhận hệ thống kiến thức trở nên dễ dàng học sinh đại trà nói chung phát triển tư cho học sinh giỏi nói riêng Nhằm khắc phục khó khăn việc hướng dẫn học sinh cách tự học cách khai thác toán có hiệu quả, tơi rút số kinh nghiệm để củng cố phát triển tư cho học sinh Trong đề tài: “Phát triễn tư học sinh qua khai thác tính chất đường đồng quy tam giác” đưa số dạng tập vận dụng số tính chất đường đồng quy tam giác để giải tốn từ hướng dẫn học sinh biết cách phân tích tìm lời giải hợp lí cho dạng tập Mục đích nghiên cứu Tính chất đường đồng quy tam giác phần kiến thức trọng tâm chương trình hình học THCS vận dụng tốt tính chất giải nhiều toán từ đến nâng cao, đồng thời giúp cho học sinh nắm phần kiến thức vận dụng cách linh hoạt sáng tạo vào tập cụ thể Trên sở phát khó khăn học sinh tiếp cận tốn có liên quan đến tính chất đường đồng quy tam giác, từ đưa số dạng tập áp dụng tính chất Nhiệm vụ nghiên cứu - Điều tra sơ việc dạy học đồng nghiệp, em học sinh trường việc dạy học "tính chất đường đồng quy tam giác" - Phát khó khăn, vướng mắc q trình dạy học - Từ đề xuất số phương pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán liên quan đến đường đồng quy tam giác - Thực nghiệm giải pháp áp dụng trường đánh giá kết đạt Phạm vi đối tượng nghiên cứu - Đối tượng: Học sinh khối lớp 7, 8, đặc biệt học sinh giỏi khối - Giới hạn kiến thức: Chương trình hình học bậc THCS Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu để tìm phương pháp dạy có hiệu tính chất đường đồng quy tam giác Tôi sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp điều tra, vấn: Nghiên cứu nắm tình hình khối lớp, học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học mơn Tốn, mục tiêu dạy học tốn sử dụng tính chất đường đồng quy - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn bị kĩ cho tiết lên lớp, tiến hành dạy, thực kiểm tra đánh giá từ nắm tình hình học tập học sinh để từ điều chỉnh q trình dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu Tham khảo tài liệu đồng nghiệp, dự số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập tư liệu cho dạy tranh ảnh, tốn, đố vui, trị chơi, sách báo có liên quan… PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Cơ sở lý luận: Trong mơn học, Tốn học mơn học giúp cho học sinh nhiều việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, muốn đạt hiệu cao việc dạy học Tốn phải có phương pháp dạy học tốt Khơng có phương pháp tốt khơng có hiệu cao Biết cách dạy Tốn biết cách học Toán, hiệu dạy học tăng gấp nhiều lần Bên cạnh việc giảng dạy giáo viên giải dạng Tốn địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức bản; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức từ đơn giản đến phức tạp Làm cho học sinh nắm vững chất kiến thức để tránh sai lầm áp dụng vào tập vô quan trọng Vì tiết dạy mới, luyện tập hay ôn tập giáo viên cần linh động phối hợp phương pháp dạy học cách hiệu quả, phù hợp với đối tượng tâm sinh lý học sinh Sau học xong em tự hệ thống hóa kiến thức cần nhớ để áp dụng vào tập vào thực tế, việc học nhẹ nhàng có hiệu em giải Toán nhẹ nhàng nhanh chóng, khơng cịn thụ động trơng chờ vào người khác Việc phát triển tư đồng thời gây hứng thú học tập cho HS, phát triển trí tuệ cho HS qua mơn Hình học vấn đề quan trọng, cần thực khâu việc giảng dạy: cách đặt vấn đề, nội dung câu hỏi gợi mở GV giảng bài, cách GV kiểm tra nội dung câu hỏi, tập kiểm tra, cách yêu cầu HS phân tích, bàn luận câu trả lời, làm có tác dụng lớn đến việc giáo dục tư độc lập, sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp em biết thắc mắc, biết lật đi, lật lại vấn đề, dám tìm tịi suy nghĩ Chính giúp học sinh nắm vững chất kiến thức vận dụng kiến thức vào làm tập cách hợp lý điều vơ quan trọng Do dạy dạng tốn sử dụng Tính chất ba đường đồng quy tam giác, giáo viên cần giúp học sinh biết cách vẽ hình, nắm kiến thức đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, đường trung trực tính chất ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực tam giác Khi dạy giáo viên cần khéo léo chọn lựa toán phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh thấy việc sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác giúp cho việc giải toán dễ dàng nhanh chóng hơn, qua tốn giúp học sinh thấy giải dạng toán ta cần ý điều gì, cách sử dụng tính chất cho hợp lý, ta sử dụng tính chất số trường hợp phải vẽ thêm yếu tố phụ để vận dụng tính chất, Khi học sinh hiểu vận dụng mức độ tương tự giáo viên đưa thêm tập mở rộng, nâng cao nhằm phát triển tư cho học sinh Với đề tài “Phát triển tư học sinh qua khai thác tính chất đường đồng quy tam giác” giúp giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy; giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo giải Tốn, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học Toán cho học sinh Cơ sở thực tiễn: Hình học mơn học khó học sinh, đặc biệt học sinh trung bình, yếu, Đa số học sinh sợ học Hình học, khả tư duy, phân tích tổng hợp học sinh cịn hạn chế, nhiều học sinh chưa có khả vận dụng kiến thức vào làm tập không nắm vững kiến thức Khác với Đại số Số học, đọc đề Hình học, khơng vẽ hình ra, học sinh khơng biết tốn dễ hay khó, thuộc dạng tốn quen thuộc nào, có làm hay khơng, học sinh ngại làm sợ khó nên thường để tập hình làm sau bỏ khơng làm q trình kiểm tra, thi cử dẫn tới kết đạt chưa cao Hơn số tiết dạy luyện tập tính chất ba đường đồng quy ít, lại rơi vào cuối học kỳ chương trình lớp 7, khơng thể đưa nhiều tập mở rộng, nâng cao nhằm phát triển tư cho học sinh Mặt khác lên lớp học sinh nhắc lại kiến thức nên việc vận dụng vào giải tốn cịn gặp nhiều khó khăn, kết chưa thực mong muốn Trong q trình dạy học tơi nhận thấy phần lớn học sinh bị hổng kiến thức nhiều, nhiều em chưa nắm vững kiến thức cần thiết Chính em cảm thấy thực khó khăn học Tốn, tâm lý e ngại, dẫn đến tư tưởng lười học, lười suy nghĩ, thiếu tự tin, sợ học mơn Tốn, đặc biệt mơn Hình học, điều khơng với học sinh trung bình, yếu, mà học sinh giỏi cảm thấy ngại không thích học Hình học Thậm chí kiểm tra học kỳ thi học sinh giỏi, học sinh thường để Hình học làm sau bỏ qua khơng làm mà khơng cần biết dễ hay khó Khi học khái niệm mới, học sinh chưa phân tích dấu hiệu chất, chưa nhìn thấy mối liên hệ khái niệm với khái niệm khác Do chưa nắm vững kiến thức nên nhiều học sinh khơng biết vẽ hình vẽ hình khơng xác, dẫn đến không làm tập Một số học sinh vẽ hình lại khơng biết đâu, liên kết kiến thức để giải vấn đề đặt Khi nhìn nhận vấn đề, HS nhìn cách phiến diện nên dễ bị mắc sai lầm Chính mà việc giúp HS nắm vững chất kiến thức, hiểu vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, vận dụng kiến thức vào làm tập vào giải vấn đề thực tế sống, tạo niềm say mê, hứng thú học Tốn nói chung Hình học nói riêng cho HS vơ quan trọng Chương 2: Các biện pháp để thực Sử dụng tính chất đồng quy ba đường trung tuyến vị trí trọng tâm tam giác: Khi dạy dạng toán liên quan đến đường trung tuyến tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức sau: + Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến + Tính chất ba đường trung tuyến tam giác: A Ba đường trung tuyến tam giác đồng qui điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài F B G D E C đường trung tuyến qua đỉnh Trong tam giác ABC ba đường trung tuyến AD, BE CF đồng quy G, ta có: GA GB GC AD BE CF Điểm G gọi trọng tâm tam giác ABC + Hai tam giác có chung đỉnh có chung trung tuyến xuất phát từ đỉnh có trọng tâm + Trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích + Ba trung tuyến tam giác chia tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Ngược lại tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Ví dụ 1: Cho ABC , tia đối tia BC lấy điểm E tia đối CB lấy điểm F cho BE=CF a) Chứng minh ABC AEF có trọng tâm * Hướng dẫn: Để chứng minh hai tam giác có trọng tâm ta cần tìm xem hai tam giác có chung đỉnh chung đường trung tuyến Và qua quan sát ta thấy hai tam giác có chung đỉnh A có chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A Từ ta có hướng giải cho tốn này, kẻ đường trung tuyến AM tam giác ABC AM lấy AG= AM, ta có G trọng tâm tam giác ABC Ta sẻ chứng minh G trọng tâm tam giác AEF Lời giải: AG a) Kẻ trung tuyến AM AM lấy điểm G cho: trọng tâm tam giác ABC AM trung tuyến ABC nên BM = MC (1) Theo giả thiết: BE = CF (2) Từ (1) (2), ta có: BM + ME = MC + CF hay ME = MF AG AM , ta có G AM , hay G Vậy AM trung tuyến thuộc cạnh EF AEF, mà trọng tâm AEF *Qua toán trên, giáo viên mở rộng thêm cho học sinh tính chất: “Hai tam giác có chung đỉnh có chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có trọng tâm” Việc chứng minh toán trở nên đơn giản Nếu khơng biết vận dụng tính chất này, học sinh phải chứng minh toán cách chứng minh G giao điểm hai đường trung tuyến tam giác AEF, G thuộc đường trung tuyến tam giác AEF cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy; học sinh cảm thấy tốn khó hơn, khơng biết phải chứng minh với giả thiết toán cho Với tập ta mở rộng thêm câu hỏi để học sinh khắc sâu thêm kiến thức tính chất đường trung tuyến tam giác: Ví dụ 1: Cho ABC , tia đối tia BC lấy điểm E tia đối CB lấy điểm F cho BE=CF a) Chứng minh ABC AEF có trọng tâm b) Nối AG cắt BC M Lấy H trung điểm đoạn AG Nối EG cắt AF N lấy I trung điểm đoạn EG Chứng minh IH//MN IH=MN Với câu b tập học sinh lớp 8, ta sử dụng tính chất đường trung bình để giải tập này, học sinh lớp ta vận dụng tính chất đường trung tuyến tam giác để chứng minh theo cách sau: b) Ta cóH trung điểm AG => Mà AG GM HG AG (gt) 2 HG AM AM AM 3 , => 1 AM GM HG AM 3 (tính chất), Ta lại có G trọng tâm AEF nên EN trung tuyến: GN EN => (3) (tính chất) IG 1 EG IG EN � IG EN 2 3 (I trung điểm EG), vậy: (4) Từ (3) (4), suy GN=IG � � Xét GHI GMN có: GH = GM (cmt); GN=IG (cmt) Và HGI MGN (đối đỉnh) Do GHI GMN (c.g.c) suy ra: HI=MN (cạnh tương ứng) � M � H 1 (góc tương ứng) � � Mà H1 , M vị trí so le nên HI//MN Như với hai câu hỏi học sinh cố kiến thức liên quan đến tính chất đường trung tuyến tam giác Và để mở rộng kiến thức phần ta bổ sung thêm nhiều câu hỏi để ơn tập cho học sinh khối 8, với số kiến thức có liên quan Ví dụ 1: Cho ABC , tia đối tia BC lấy điểm E tia đối CB lấy điểm F cho BE=CF a) Chứng minh ABC AEF có trọng tâm b) Nối AG cắt BC M Lấy H trung điểm đoạn AG Nối EG cắt AF N lấy I trung điểm đoạn EG Chứng minh IH//MN IH=MN c) Chứng minh tứ giác IHNM hình bình hành d) Qua M kẻ đường thẳng MK // AC ( K �AB ) Chứng minh ba điểm C, G, K thẳng hàng Với câu c) tập cách hỏi khác câu b, sau học xong phần kiến thức hình bình hành học sinh rút kết luận tứ giác IHMN hình bình hành từ khẳng định câu b) IH//MN IH=MN Câu d) để chứng minh ba điểm C, G, H thẳng hàng có nhiều phương pháp để chứng minh, cách đơn giản sử dụng tính chất đường trung tuyến Ta cần chứng minh CK đường trung tuyến tam giác ABC mà G trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc đường trung tuyến CK hay ba điểm C, G, K thẳng hàng Lời giải: d) Xét ABC có MB = MC (gt) MK//AC suy AK = KB hay CK đường trung tuyến ABC mà G trọng tâm ABC nên G �CK hay ba điểm C, G, K thẳng hàng Bài tập luyện tập: Bài tập 1: Cho ABC Từ B, vẽ tia Bx (Bx nằm nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A) Vẽ tia Cy (Cy nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) cho Bx // Cy Trên tia Bx lấy điểm D, tia Cy lấy điểm E cho BD = CE Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh G trọng tâm tam giác ADE * Hướng dẫn: Áp dụng tính chất: “Hai tam giác có chung đỉnh có chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có trọng tâm” Trong tốn này, ABC ADE có chung đỉnh A, mà G trọng tâm tam giác ABC, nên ta cần vẽ thêm đường trung tuyến qua đỉnh A ABC , giả sử trung tuyến AM ( M �BC ) Khi để chứng minh G trọng tâm ADE , cần chứng minh AM đường trung tuyến ADE , hay chứng minh M trung điểm DE Giải: y A E G B C M D x M �BC � MB MC Vẽ đường trung tuyến AM tam giác ABC � � BD // CE � DBM ECM (2 góc so le trong) Xét MBD MCE có: MB MC ( gt ) � � � cmt �� MBD=MCE(c.g.c) DBM ECM � � BD EC gt � � CME � � BMD (2 góc tương ứng); MD = ME (2 cạnh tương ứng) � � Ta có: BMD DMC 180 (2 góc kề bù) 10 Cho ABC cân A, phân giác AH Đường trung trực cạnh AB cắt đường AH O Trên cạnh AB AC tam giác lấy điểm E, F cho: AE+AF=AB a) Chứng minh OE = OF * Hướng dẫn: Để chứng minh hai đoạn thẳng ta thường nghĩ đến việc gán hai đoạn thẳng vào hai cạnh hai tam giác nhau, từ chứng minh hai tam giác Với tập ta cần vận dụng tính chất đường trung trực để yếu tố hai tam giác Chứng minh: Ta có: AE + AF = AB (gt) AE + EB = AB (gt) suy AF = BE � A1 � A2 ( gt ) (1); Vì O nằm đường trung trực AB nên AOB tam giác cân � � � � O => A1 B1 (2) Từ (1) (2) suy A2 B1 � � Xét BOE AOF có: AF =BE (cmt), A2 B1 (cmt) OA = OB ( AOB cân) BOE = AOF (c.g.c) => OE = OF Trong trình giải tốn hình học dạng tốn tìm điểm cố định câu hỏi khó hầu hết học sinh khơng nắm tính chất dự đốn điểm cố định hình học sinh khó giải toán Để giúp học sinh làm quen với dạng toán với tập ta bổ sung thêm câu hỏi sau: b) Chứng minh E F di động cạnh AB AC ABC ln ln có AE+AF=AB đường trung trực EF ln qua điểm cố định 17 * Hướng dẫn: Vì OE = OF nên O nằm đường trung trực OF Mặt khác, ta có AB BC cố định => đường trung trực AB BC cố định, mà O giao điểm hai đường trung trực cố định nên O điểm cố định Vậy E F chuyển động trung trực EF qua điểm cố định O Với câu hỏi mà học sinh chưa thực qua câu a tốn trở thành tốn khó học sinh Trên sở câu hỏi ta mở rộng tốn với dạng tốn khó khác học sinh tìm điều kiện hình để thỏa mãn điều kiện cho trước câu hỏi sau: c) Tìm vị trí E, F để O trung điểm EF * Hướng dẫn: Theo câu a) ta ln có OE = OF, nên để O trung điểm EF điều kiện cần ba điểm E, O, F thẳng hàng AB Khi E, O, F thẳng hàng từ đẳng thức: AE+AF = AB => AE=AF= Bài tập luyện tập: Bài tập 1: � � Cho ABC, có A 100 , C 30 Trên cạnh AC lấy điểm D cho � D 100 CB Vẽ đường phân giác góc BAD cắt BC E Chứng minh AE đường trung trực đoạn thẳng BD * Hướng dẫn: + Cách 1: Chứng minh A E cách B D Trong toán này, để chứng minh AB = AD, EB = ED, ta chưa thể chứng minh AEB = AED chưa đủ yếu tố nhau, trường hợp ta chứng minh ABD cân A ABD � ADB (tính số đo hai góc dựa để suy AB = AD cách chứng minh � 18 vào tính chất tổng ba góc tính chất góc ngồi tam giác so sánh hai góc) Để chứng minh EB = ED, ta chứng minh AEB = AED + Cách 2: Dựa vào tính chất: “Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường trung trực tam giác” Tức cần chứng minh ABD cân A Gọi I giao điểm AE BD Ta chứng minh AI đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD, từ suy AI hay AE đường trung trực đoạn thẳng BD + Cách 3: Dựa vào định nghĩa: Chứng minh AE vuông góc với BD trung điểm BD Tức cần chứng minh ABD cân A suy AB =AD Gọi I giao điểm AE BD Chứng minh AIB = AID, từ suy IB = ID � AIB 900 , suy AE đường trung trực đoạn thẳng BD Giải: A 40 B 40 I D 30 10 E C + Cách 1: ABC, � � 0 0 � � � có A 100 , C 30 nên B 180 A C 180 100 30 50 � � � � Lại có CBD 10 � ABD ABC CBD 50 10 40 Mặt khác góc ADB góc ngồi đỉnh D BCD 0 0 0 � � � � � nên ADB CBD C 10 30 40 � ABD ADB � ABD cân A � AB = AD Xét AEB AED có: � BE �AD AB =AD (cmt), EA (gt), AE cạnh chung � AEB = AED (c.g.c) � EB = ED (2 cạnh tương ứng) Ta có: AB = AD nên A thuộc đường trung trực BD (1) EB = ED nên E thuộc đường trung trực BD (2) Từ (1) (2) � AE đường trung trực đoạn thẳng BD + Cách 2: � � � 1800 � � 1800 1000 300 500 AC ABC, có A 100 , C 30 nên B 19 � � � � Lại có CBD 10 � ABD ABC CBD 50 10 40 Mặt khác góc ADB góc ngồi đỉnh D BCD 0 0 0 � � � � � nên ADB CBD C 10 30 40 � ABD ADB � ABD cân A � AB = AD Gọi I giao điểm AE với BD Xét AIB AID có: � B I�AD AB =AD (cmt), IA (gt), AI cạnh chung � AIB = AID (c.g.c) � IB = ID (2 cạnh tương ứng) ABD cân A, có AI đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI đường trung trực đoạn thẳng BD Suy AE đường trung trực đoạn thẳng BD Bài tập 2: � Cho ABC cân A, A 90 Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC; b) BD = CE; c) ODE tam giác cân * Hướng dẫn: Chứng minh A O cách B C a) Vì O giao điểm đường trung trực ABC � OB = OC Mặt khác ABC cân A � AB = AC, ta có A O cách B C, suy AO đường trung trực BC Như qua toán ta thấy tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy qua đỉnh tam giác b) Để chứng minh BD = CE, ta chứng minh HBD = KCE (với H trung điểm AB, K trung điểm AC) c) Để chứng minh ODE cân, ta phải dự đoán tam giác ODE cân đâu để xác định yếu tố cần chứng minh Trong này, nhìn hình vẽ dự � � đoán ODE cân O, nên ta cần chứng minh ODE OED dựa vào �DB O �DE � � H (đối đỉnh); KEC OED ( đối đỉnh) Giải: 20 A K H B D C E O a) O giao điểm đường trung trực ABC � OB = OC (1) ABC cân A � AB = AC (2) Từ (1) (2) suy AO đường trung trực BC b) Gọi H trung điểm AB, K trung điểm AC Xét HBD KCE, có: �C � B ( ABC cân A) �1 � AB AC � � � HB = KC � � D CKE � 900 BH � HBD = KCE (g.c.g) � BD = CE (2 cạnh tương ứng) � � c) HBD = KCE (câu b) � HDB KEC (2 góc tương ứng) � � � � � � mà HDB ODE (đđ); KEC OED (đđ) � ODE OED � ODE cân O Bài tập 3: Cho ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = AE Chứng minh đường trung trực DE qua O * Hướng dẫn: Dựa vào tính chất: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Để chứng minh đường trung trực DE qua O, ta cần chứng minh OD = OE Trong toán ta chứng minh OBD = OAE để suy OD = OE Tuy nhiên hai tam giác chưa có sẵn yếu tố tương ứng nên ta phải chứng minh yếu tố trước Bài tốn cho O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh bên tam giác cân ABC nên AO đường trung trực thứ ba tam giác Mà tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy � � đường phân giác góc đỉnh � A1 A2 Mặt khác O giao điểm ba đường trung trực tam giác nên O cách ba đỉnh tam giác � OA = OB 21 � � � � � OAB cân O � B1 A1 � B1 A2 Ta chứng minh OBD = OAE (c.g.c) � OD = OE Suy đường trung trực DE qua O *Ngồi cách trên, ta gọi H K trung điểm AB AC, sau chứng minh OHD = OKE Vì H K trung điểm AB AC � AK = BH mà AE = BD nên EK = DH Theo tính chất “Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường phân giác góc đỉnh”, nên ta có AO tia phân giác góc A, OH = OK (Tính chất: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc) � OHD = OKE (c.g.c) � OD = OE Suy đường trung trực DE qua O Giải: A H E K O D B C +Cách 1: O giao điểm đường trung trực ABC � OA = OB � OAB cân � � O � B1 A1 (1) ABC cân A suy AO đường trung trực ứng với cạnh đáy nên AO � � � � đường phân giác góc A, tức A1 A2 (2) Từ (1) (2) � B1 A2 Xét OBD OAE, có: �� B A1 (cmt ) BD = AE (gt) OB = OA (cmt) � OBD = OAE (c.g.c) � OD = OE (2 cạnh tương ứng) Suy đường trung trực DE qua O + Cách 2: 1 AB AC Gọi H K trung điểm AB AC Ta có: AK = BH= , AE=BD (gt) nên EK = DH 22 ABC cân A suy AO đường trung trực ứng với cạnh đáy nên AO đường phân giác góc A, OH = OK Xét OHD OKE, có: � D OKE � 900 OH OH = OK (cmt) DH = EK (cmt) � OHD = OKE (2cgv) � OD = OE (2 cạnh tương ứng) Suy đường trung trực DE qua O Dạng tốn sử dụng Tính chất đồng quy ba đường cao tam giác: Khi dạy dạng toán liên quan đến đường cao tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức sau: + Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Mỗi tam giác có ba đường cao + Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác + Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác + Tại đỉnh tam giác, có hai loại đường (đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao) trùng tam giác tam giác cân đỉnh + Để xác định trực tâm tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao tam giác + Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C ABC AH BC + Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác chúng qua điểm Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AD Chứng minh CD vng góc với BE * Hướng dẫn: Sử dụng tính chất: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác 23 Ta chứng minh D giao điểm hai đường cao kẻ từ B E BEC (D trực tâm BEC), CD BE Trong toán này, ta gọi K giao điểm ED BC, chứng minh EK đường cao BEC Vì ABC 0 � � vuông cân A nên ACK 45 , AED vuông cân A � AEK 45 � EK BC mà EK I BA D nên D trực tâm BCE � CD BE Giải: E A D B C K Gọi K giao điểm ED BC ACK 450 (1) ABC vuông cân A nên � �AD 900 � AED có AE = AD E nên AED vuông cân A � AEK 45 (2) Từ (1) (2) � EKC vuông cân K � EK BC BCE có BA, EK hai đường cao, mà EK I BA D nên D trực tâm BCE � CD BE Bài tập luyện tập: Bài tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Vẽ điểm D cho AB đường trung trực HD Vẽ điểm E cho AC đường trung trực HE DE cắt AB, AC theo thứ tự I, K a) IDH tam giác gì? IB đường IDH? b) Chứng minh HA tia phân giác góc IHK * Hướng dẫn: a) Dựa vào tính chất: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Suy IDH cân I, đường trung trực IB đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao IDH b) Dùng tính chất ba đường phân giác (hoặc đường thẳng chứa tia phân giác hai góc ngồi tia phân giác góc không kề) tam giác qua điểm 24 Vì IDH KEH cân I K nên hai đường trung trực IB KC hai đường phân giác hai góc DIH EKH, mà hai góc hai góc ngồi đỉnh I K IHK Ta lại có IB KC cắt A nên HA tia phân giác góc IHK Giải: A E K I D B H C a) IB đường trung trực HD nên ID = IH � IDH cân I � IB đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao IDH b) Xét IHK có IB đường phân giác góc ngồi đỉnh I, tương tự KC đường phân giác góc ngồi đỉnh K, chúng cắt A nên HA tia phân giác góc IHK Với tính chất ba đường cao tam giác ta có điểm gồm đỉnh điểm chân đường cao hạ từ hai đỉnh tam giác nằm đường trịn, tính chất ba đường cao tam giác ta thường áp dụng nhiều kiến thức đường trịn Nên phần kiến thức áp dụng vào dạng tập đường tròn dành cho học sinh lớp Bài tập 2: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB, tiếp tuyến Ax Gọi C điểm nửa đường tròn Tia phân giác góc CAx cắt nửa đường trịn E, AE BC cắt K a) Tam giác ABK tam giác gì? Vì sao? b) Gọi I giao điểm AC BE Chứng minh KI //Ax; c) Chứng minh OE //BC * Hướng dẫn: a) Sử dụng tính chất: Trong tam giác đỉnh, có hai loại đường (đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao) trùng tam giác tam giác cân Ta chứng minh BE vừa đường cao vừa đường phân giác ABK 25 b) Sử dụng tính chất: Ba đường cao tam giác qua điểm Ta chứng minh I giao điểm hai đường cao kẻ từ A B KAB (I trực tâm BEC), KI AB mà Ax AB � KI // Ax (Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau) c) Sử dụng tính chất: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Ta chứng minh O E cách A C Từ suy OE đường trung trực AC � OE AC , mà BC AC � OE // BC Giải: K x C E A I O B � a) AEB 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) � BE AK � � B1 A1 (cùng Sđ � AE ) � � B A2 (hai góc nội tiếp chắn cung EC) � � � � Mà A1 A2 � B1 B2 � BE tia phân giác góc ABK ABK có BE vừa đường cao vừa đường phân giác nên ABK cân B � b) ACB 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) � AC BK I giao điểm hai đường cao ABK nên I trực tâm ABK � KI AB , mà Ax AB � KI // Ax � � � � c) Vì A1 A2 (gt) � AE EC � EA EC (liên hệ dây cung) Vậy điểm E nằm đường trung trực AC Mặt khác OA = OC nên O nằm đường trung trực AC Do OE đường trung trực AC � OE AC , mà BC AC � OE // BC Bài tập : Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi M, N, P trung điểm BC, AB, AC Tính cạnh tam giác ABC theo góc đối diện R 26 * Hướng dẫn: Sử dụng tính chất : Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường cao, đường phân giác, đường trung trực tam giác Giải : A P N O B M C � BOC � BAC � Ta có : (1) (góc nt góc tâm chắn BC ) BOC cân O � OM vừa đường trung tuyến vừa đường cao vừa đường � � phân giác � BOC 2O1 � (2) � Từ (1) (2) � BAC O1 Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vuông BOM, ta : � � BM = OBsin O1 = Rsin BAC � BC = 2RsinA (vì BC = 2BM) Tương tự ta có : AC = 2RsinB ; AB = 2RsinC CHƯƠNG 3: Kết thực Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh nhận thấy số chuyển biến rõ rệt sau: 27 - Học sinh rèn phương pháp tự học, tự phát vấn đề, biết nhận dạng số toán, nắm vững cách giải Kĩ trình bày tốn khoa học, rõ ràng - Đa số em u thích học Tốn học, nhiều học sinh tích cực xây dựng - Học sinh có định hướng giải toán bắt gặp yếu tố quen thuộc dạng tốn, từ biết cách thực tốn cách nhanh chóng - Trước kết giảng dạy lớp chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy hầu hết học sinh khó để thực được, đặc biết học sinh khối 8, hầu hết quên tính chất đường đồng quy nên em không đưa hướng giải cho tập tỉ lệ học sinh khá, giỏi chiếm tỉ lệ 40% đến 50% Nhưng áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy số học sinh giỏi, làm dạng tập tăng lên số học sinh trung bình yếu giảm Kết cụ thể: So sánh kết 02 năm học (mà trực tiếp giảng dạy) đối tượng lớp học sinh tương đương + Năm học: 2013-2014 (chưa áp dụng sáng kiến trên) T T Khối Số Giỏi Khá TB SL % SL % SL lớp HS A,B 67 12 26 39 26 + Năm học: 2014-2015 (áp dụng sáng kiến trên) T T Khối lớp Số HS Giỏi SL A,B 68 12 % Khá SL % 17,6 36 53 % 39 TB S % L 18 26,4 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 28 Yếu SL % 10 Yếu SL % Qua trình nghiên cứu, thân nhận thấy dạng tốn hay khó học sinh nên tiếp cận dạng toán số HS yếu trung bình cịn chưa hứng thú Vì dạy chuyên đề trước hết phải gây hứng thú cho HS qua hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp, qua hình thành số kỉ phương pháp cho học sinh Giáo viên cần có quan tâm mức học sinh, nắm lực tâm lý học sinh, từ đề phương pháp giáo dục thích hợp Các tập đường đồng quy tam giác khối lớp định mà có tất khối 7, 8, 9, ta khơng thể dạy tiết, hai tiết, … mà q trình dạy tốn Chẳng hạn với em học sinh lớp em đầu tiếp cận kiến thức giáo viên cần giảng dạy cách tỉ mỉ nêu rõ tầm quan trọng kiến thức lớp tiếp theo, từ học sinh dần lĩnh hội kiến thức cách có hệ thống vận dụng hợp lí vào tập dạng Trong thực tế dạng toán, vấn đề thường có nhiều phương án giải quyết, phương pháp có nhiều ưu điểm, nhược điểm riêng Đối với đối tượng học sinh giỏi giáo viên nên khuyến khích tìm tịi nhiều cách khác để qua em củng cố kiến thức, rèn kĩ năng, phát triển tư toán học linh hoạt sáng tạo, vận dụng tốt kiến thức học vào việc giải tốn Với học sinh trung bình làm tập điển hình đơn giản Với học sinh giỏi em có thói quen tư sâu Tìm hướng suy nghĩ để giải tập, có kĩ đơn giản hóa vấn đề phức tạp nên cần bổ sung thêm câu hỏi mở rộng xoay quanh chủ đề để học sinh phát triển tư cách tốt Trong q trình thực đề tài, Tơi nhận thấy để làm tốt đề tài yêu cầu giáo viên học sinh phải thực tốt số nội dung sau: - Đối với giáo viên: Phải không ngừng tìm tịi, đổi phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh, tạo niềm say mê, hứng thú học tập, lơi học sinh tích cực tham gia vào giảng Phải định hướng có chuẩn bị kỹ hệ thống câu hỏi, tập sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác phù hợp đối tượng học sinh, lường trước tình câu trả lời học sinh để đưa phương án xử lý thích hợp Thường xuyên ý việc rèn kỹ vẽ hình, phân tích trình bày lời giải tốn Hình học cho học sinh học sinh, đặc biệt 29 học sinh yếu Mở rộng nâng cao kiến thức để phát triển tư cho đối tượng học sinh giỏi Phải nắm vững kiến thức đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao; tính chất đồng quy ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao tam giác tính chất tam giác cân cách sâu rộng Nắm dấu hiệu chất khái niệm, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác để dễ dàng tạo tình có vấn đề, tình mà học sinh dễ mắc sai lầm, từ sử dụng phản ví dụ để sửa sai, khắc sâu kiến thức cho học sinh - Đối với học sinh: Phải có niềm say mê, hứng thú tự giác học tập mơn Hình học, nắm vững kiến thức đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao; tính chất đồng quy ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao tam giác tính chất tam giác cân Rèn kỹ vẽ hình theo yêu cầu toán, liên kết kiến thức học với nhau, nắm vững định nghĩa, định lý, tính chất để vận dụng vào làm tập cách hợp lý, xác Trên đề tài Tơi đưa với mục đích nghiên cứu tìm hiểu sâu tốn xoay quanh tính chất đường đồng quy tam giác Do nghiên cứu đề tài Tơi có thêm hiểu biết mình, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân năm Đồng thời với đề tài hi vọng tài liệu thiết thực đồng nghiệp khác tham khảo trình giảng dạy Đề tài "Phát triễn tư học sinh qua khai thác tính chất đường đồng quy tam giác" chương trình tốn THCS tổng hợp số tốn tất khối lớp, có nhiều dạng tập trình bày logic theo mức độ học sinh theo khối lớp Ngồi SGK SBT Tơi cịn tìm hiểu thêm số tài liệu nâng cao, bên cạnh Tơi cịn tham khảo đồng nghiệp Tơi giảng dạy nghiên cứu tốn THCS Tuy nhiên nội dung đề tài không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ góp ý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn / 30 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ XÁC NHẬN (Ký tên đóng dấu) NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Huy Hải 31 ... nhằm phát triển tư cho học sinh Với đề tài ? ?Phát triển tư học sinh qua khai thác tính chất đường đồng quy tam giác? ?? giúp giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy; giúp học. .. sau: + Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Mỗi tam giác có ba đường cao + Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua. .. tâm tam giác + Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác + Tại đỉnh tam giác, có hai loại đường (đường phân giác, đường