E4 0d t2 ga hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn hà bùi(1)

Ngày soạn: Ngày dạy: BÀI 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tiết 2: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Dạng 3: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Phương pháp: Gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta phải tìm Hệ bất phương trình bậc hai ẩn (x ; y ) nghiệm chung 0 tất bất phương trình hệ Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Để biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta làm tương tự với biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn hệ trục tọa độ, lấy giao miền nghiệm B Ví dụ minh họa: Đề Hướng dẫn giải Ví dụ Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình x  y    x  y  x  y   Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : x  y 0 ( d ) : x  y  0 ( d3 ) : x  y  0 ? Ta thấy điểm có tọa độ (5;3) nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm (5;3) thuộc x  y   Ví dụ Cho hệ bất phương trình 2 x  y  có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng định đúng? A (1;1)  S 1   1;   S 2 C  B (  1; 1)  S  2  ; S D   Ví dụ Cho hệ bất phương trình  x    x  y  0 có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng định đúng? A (1; 1)  S C (1; 5)  S ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp phần mặt phẳng khơng bị gạch hình vẽ miền nghiệm hệ bất phương trình Chọn C - Thay tọa độ điểm vào hệ hệ bất x  y   phương trình 2 x  y   1    1  2.1       1;   S 2  2 - Ta thấy,   Vậy chọn C Chọn C Trắc nghiệm   x; y   1;  Ta thấy (1; 5)  S thay hệ thỏa mãn B (1; 3)  S D (4; 3)  S Ví dụ Tìm tập nghiệm hệ bất phương trình Cách 1:  2 x  y 1  4 x  y 2 Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: ( d1 ) : x  y 1 ( d ) : x  y 2  vào Thử trực tiếp ta thấy (0;0) nghiệm bất phương trình (2) khơng phải nghiệm bất phương trình (1) Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, tập hợp nghiệm bất phương trình điểm thuộc đường thẳng (d ) : x  y 2 Cách 2: Biến đổi hệ :   x  y 1    x  y 2  x  y  (1)    x  y  (2) Ví dụ Cho hệ  Gọi S1 tập nghiệm bất phương trình (1), S2 tập nghiệm bất phương trình (2) So sánh hai tập nghiệm S1 S2  x  y 2  x  y 2   x  y 2 Cách 1: Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: ( d1) : x  y 5 (d2 ) : x  y 5 Ta thấy (0;0) nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa gốc tọa độ thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ Ta thấy nghiệm (1) nghiệm (2) Vậy, S1  S2 Cách 2:  1  3x  y   3x  y  10 Ta có:   Ta thấy nghiệm (1) nghiệm (2) Vậy, S1  S2 Ví dụ nghiệm bất trình Miền Chọn C hệ phương Cách 1: Tự luận Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : x  y  0 3 x  y  0    2( x  1)  y 4   x 0 không chứa điểm sau đây? ( d ) : x  y  12 0 ( d3 ) : x 0 Ta thấy (2;  1) nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm (2;  1) thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ Biểu diễn miền nghiệm bpt mặt phẳng tọa độ hình vẽ Từ dễ dàng nhận thấy điểm C (1;  1) không nằm miền nghiệm hệ Cậy chọn đáp án C Cách 2: Trắc nghiệm: A A(2;  2) C C (1;  1) Ta thay tọa độ điểm vào hệ rút đáp án B B (3; 0) D D (2;  3) Dạng 4: Ứng dụng hệ bất phương trình bậc hai ẩn: Tìm GTLN-GTNN biểu thức F ( x; y) với điều kiện hệ bất phương trình bậc hai ẩn.Bài tốn tối ưu Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho Kết thường miền đa giác Bước 2: Tính giá trị F tương ứng với ( x; y) tọa độ đỉnh đa giác Bài tốn: Tìm GTLN-GTNN biểu thức F ( x, y) = ax + by với ( x; y) nghiệm hệ bất phương trình bậc hai cho trước Bước 3: Kết luận:  GTLN F số lớn giá B Các ví dụ minh họa: Đề Hướng dẫn giải Ví dụ Tìm giá trị lớn biết thức F  x; y  x  y - Vẽ đường thẳng d1 : x  y  0 , đường  0;  1  1;0  thẳng d1 qua hai điểm - Vẽ đường thẳng d : x  y  10 0 , đường với điều kiện   y 4  x 0    x  y  0  x  y  10 0  0;5   2;  thẳng d qua hai điểm - Vẽ đường thẳng d3 : y 4 Xác định miền nghiệm hệ bpt:   y 4  x 0    x  y  0  x  y  10 0 Miền nghiệm ngũ giác ABCOE với A  4;3 , B  2;  , C  0;  , E  1;0  F  4;3 10 F  2;  10 F  0;  8 Ta có: , , , F  1;0  1 F  0;0  0 , Vậy giá trị lớn biết thức F  x; y  x  y Ví dụ 2: Biểu thức F  y  x với điều kiện 10 Chọn C Cách 1: Tự luận: Miền nghiệm hệ tam giác ABC  x  y    x  y 2    x  y 5  x 0 đạt giá trị nhỏ điểm  2;1 A  4;1 C S ( x; y ) có toạ độ  1;1 B  3;1 D  8  2 A ;  B  ;   C  4;1 Tọa độ  3  ,  3  , Giá trị F toạ độ điểm B, C , A  ,  3; 3 Suy F =- C ( 4;1) Cách 2: Thử máy tínhTa dùng máy tính kiểm tra đáp án để xem đáp án thỏa hệ bất phương trình loại đáp án D Ta tính hiệu F  y  x F  x 4, y 1 Ví dụ Giá trị nhỏ biết thức F  y  x  y  x 2   y  x 4  x  y 5  miền xác định hệ F 1 x 2, y 3 A Chọn A Cách 1: Thử máy tínhTa dùng máy tính kiểm tra đáp án để xem đáp án thỏa hệ bất phương trình loại đáp án A Ta tính hiệu x 2, y 3 B F 2 x 0; y 3 C F 3 x 1; y 4 F  y  x F 1 Cách 2: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình D F 0 x 0; y 0  y  x 2   y  x 4  x  y 5  hệ trục tọa độ đây: Nhận thấy biết thức F  y  x đạt giá trị nhỏ điểm A, B C Ta có: F ( A) 4  3; F ( B) 2; F (C ) 3  1 Vậy F 1 x 2, y 3 Chọn B  x  y 2 3x  y 15    x 0  Ví dụ Cho hệ bất phương trình  y 0 Khẳng định sau khẳng định sai ? Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng: ( d1 ) : x  y 2 ( d ) : x  y 15 ( d3 ) : x 0 ( d ) : y 0 A Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình cho miền tứ giác ABCO kể cạnh với  25  B ;  A(0;3) ,  8  , C (2; 0) O(0;0) B Đường thẳng  : x  y m có giao điểm với 17  m  tứ giác ABCO kể C Giá trị lớn biểu thức x  y , với x Miền nghiệm miền tứ giác ABCO kể 17 y thỏa mãn hệ bất phương trình cho  25  B ;  cạnh với A(0;3) ,  8  , C (2; 0) O(0;0) , , (phần tô màu, kể biên) Nhận thấy biết thức F  x  y đạt giá trị nhỏ D Giá trị nhỏ biểu thức x  y , với x y thõa mãn hệ bất phương trình cho lớn điểm O, A, B C Ta có, F ( A) 3 , F (O) 0 Ví dụ Biểu thức L  y  x , với x y thõa 17 x  y  Suy ra, B sai Do đó, Chọn B Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  x  y  0   x 0 2 x  y  0  ( d1 ) : x  y  0 ( d ) : x 0 mãn hệ bất phương trình , đạt giá trị lớn a đạt giá trị nhỏ b Hãy chọn kết kết sau: 25 a b  A B a 2 b  17 F ( B)  , F (C ) 2 , ( d3 ) : x  y  0 Biểu diễn miền nghiệm hệ:  x  y  0   x 0 2 x  y  0  11 12 C a 3 b 0 D a 3 b  Miền nghiệm hình tam giác ABC (kể 1  5  B  ;  C  0;   3 biên), với A(0; 2) ,   ,  11 a 2  2, b    12 Vậy ta có Ta có: L( A) 2 ; Vậy a 2; b  L( B )  11 L(C )  12 ; 11 12 Chọn A Ví dụ Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 Điều kiện: x 1,6 ;  y 1,1 Khi số protein có 800 x  600 y số lipit có 200 x  400 y đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bò 1,1 Vì gia đình cần 900 đơn vị protein kg thịt lợn Giá tiền kg thịt bị 160 nghìn 400 đơn vị lipit thức ăn ngày nên điều đồng, kg thịt lợn 110 nghìn đồng Gọi x, y lần kiện tương ứng là: lượt số kg thịt bò thịt lợn mà gia đình cần 800 x  600 y 900 200 x  400 y 400 mua để tổng số tiền họ phải trả mà  x  y 9 x  y 2 Ta có hệ phương đảm bảo lượng protein lipit thức ăn Khi 2 trình: x  y bằng: 0 x 1,6 0  y 1,1   8 x  y 9  x  y 2 Miền nghiệm hệ tứ giác ABCD (kể biên).Chi phí để mua x kg thịt bị y kg thịt lợn T 160 x  110 y Biết T đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD Tại A: T ( A) 160.0, 110.0, 173 (nghìn) Tại B: T ( B ) 160.1,  110.0, 278 (nghìn) Tại C: T (C ) 160.1, 110.1,1 377 (nghìn) Tại D: T ( D) 160.0,3 110.1,1 169 (nghìn) Vậy T đạt GTNN x 0,3 ; y 1,1  x  y 0,32  1,12 1,3 Ví dụ Một cơng ty TNHH đợt quảng cáo bán khuyến hàng hóa ( sản phẩm công ty) cần thuê xe để chở 140 người  x 10; x   , y Gọi x số xe loại A   y 9; y   Khi tổng chi số xe loại B hàng Nơi thuê có hai loại xe A B Trong xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu, loại B giá triệu Hỏi phải thuê xe loại để chi phí vận chuyển thấp Biết xe A chở tối đa 20 người 0, hàng Xe B chở tối đa 10 người 1,5 hàng phí thuê xe T 4 x  y (triệu đồng) Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người xe chở tối đa 20 x  10 y (người) Xe A chở 0, hàng, xe B chở 1,5 hàng nên tổng lượng hàng xe chở 0, x  1,5 y (tấn) 0  x 10 0  y 9    20 x  10 y 140   * Theo giả thiết, ta có 0, x  1,5 y 9 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình  * tứ giác ABCD kể miền tứ giác (như hình vẽ trên) Biểu thức T 4 x  y đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD Tại đỉnh 5  A  10;  ; B  10;9  ; C  ;9  ; D  5;  2  Ta có, T ( A) 46 T ( B) 67 , T (C ) 37 T ( D) 32 , ,  x 5  Vậy, T 4 x  y đạt giá trị nhỏ  y 4 Khi đó, Tmin 32 (triệu đồng) Ví dụ Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 800 m Nếu trồng đậu diện tích 100 m cần 20 công làm thu 10 Lời giải Giả sử diện tích trồng đậu x (trăm m );suy diện tích trồng cà  x (trăm m ) 3000000 đồng Nếu trồng cà diện tích Ta có thu nhập thu S  x   3x    x   10000 10000   x  32  100 m cần 30 công làm thu 4000000 đồng Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công làm không 180 công đồng 20 x  30   x   10 x  240 Tổng số công Theo giả thiết có  10 x  240 180  x 6 S  x Mà hàm số hàm nghịch biến  S  x nên đạt giá trị lớn x 6 2 Do đó, trồng 600 m đậu, 200 m cà D Tóm tắt phương pháp giải: Giải hệ bất phương bậc hai ẩn: Để biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta làm tương tự với biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn hệ trục tọa độ, lấy giao miền nghiệm bất phương trình Giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn Các toán toán liên quan đến hệ bất phương trình bậc hai ẩn: Bài toán toán liên quan Dạng 3: Biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Để biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta làm tương tự với biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn hệ trục tọa độ, lấy giao miền nghiệm bất phương trình Dạng 4: Tìm GTLN-GTNN biểu thức F ( x; y) với điều kiện hệ bất phương trình bậc hai ẩn.Bài tốn tối ưu Bài tốn: Tìm GTLN-GTNN biểu thức F ( x, y) = ax + by với ( x; y) nghiệm hệ bất phương trình bậc hai cho trước Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho Kết thường 11 miền đa Bước 2: Tính giá trị F tương ứng với ( x; y) tọa độ Bước 3: Kết luận:  GTLN F số lớn giá trị tìm  GTNN F số nhỏ C Bài tập vận dụng(về nhà): Dạng HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN x y    0   x 0  3y x   2 2  Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình chứa điểm điểm sau đây? A O  0;0  B M  2;1 C N  1;1 D P  5;1 3 x  y 9 x y     y 8  x  Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình  y 6 chứa điểm điểm sau đây? A O  0;0  B M  1;  Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình hình vẽ sau? C x  y     y 2  x  y   N  2;1 D phần không tô đậm hình vẽ y y 2 1 -3 x O -3 A O B 12 P  8;  x y y 2 1 -3 x x O -3 C O D Câu Phần không tơ đậm hình vẽ (khơng chứa biên), biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình hệ bất phương trình sau? y x O -1 A ìïï x - y ³ í ïïỵ 2x - y ³ B ìïï x - y > í ïïỵ 2x - y > C ìïï x - y < í ïïỵ 2x - y > D ìïï x - y < í ïïỵ 2x - y < 3  y   Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình 2 x  y   chứa điểm sau đây? A A(3; 4) B B (4;3) C C (7; 4) D D (4; 4) Câu Điểm M  0;  3  x  y 3  A  x  y 12 x  2 x  y    x  y  12 x   C thuộc miền nghiệm hệ bất phương trìnhnào sau đây? 2 x  y   B  x  y 12 x   x  y   x  y  12 x   D Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình hình vẽ sau? x  y   x  3y   y  x   13 phần khơng tơ đậm hình vẽ A B C D Dạng TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU THỨC F(x,y) VỚI ĐIỀU KIỆN LÀ MỘT HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN  y  x 2   y  x 4  x  y 5  Câu Giá trị lớn biết thức F  y  x miền xác định hệ A max F 1 x 2; y 3 B max F 2 x 0; y 2 D max F 0 x 0; y 0 x 0, y 0 C max F 3 x 1; y 4 0  y 4  x 0    x  y  0  Câu Giá trị lớn biết thức F ( x; y ) x  y với điều kiện  x  y  10 0 A B C 10 D 12 2 x  y 2   x  y 2 5 x  y   Câu 10: Giá trị nhỏ biết thức F  y  x miền xác định hệ A F  x 1; y  B F 0 x 0; y 0 x  ; y  3 C F  D F 8 x  2; y 6   y 5  x 0    x  y  0  F  x; y  x  y Câu 11 Giá trị nhỏ biểu thức , với điều kiện  x  y  0 A  B  C  12 14 D  10 Câu 12 Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, lít nước 210 gam đường để pha chế nước loại I nước loại II Để pha chế lít nước loại I cần 10 gam đường, lít nước gam hương liệu Để pha chế lít nước loại II cần 30 gam đường, lít nước gam hương liệu Mỗi lít nước loại I 80 điểm thưởng, lít nước loại II 60 điểm thưởng Hỏi số điểm thưởng cao đội thi ? B 600 A 540 C 640 D 720 Bảng đáp án 10 B D B B C A B C C C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D C Lời giải chi tiết Đề Hướng dẫn giải Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình Câu Chọn B x y  Cách 1: Thay tọa độ điểm vào hệ đề    0 kiểm tra nghiệm  x  Cách 2: Xác định miền nghiệm hệ biểu   diễn tọa độ điểm cho hệ trục tọa 3y x   2 2  chứa điểm độ đề chọn đáp án điểm sau đây? A O  0;0  B M  2;1 C N  1;1 D P  5;1 Chọn D Cách 1: Thay tọa độ điểm vào hệ đề Miền nghiệm hệ bất phương trình kiểm tra nghiệm Cách 2: Xác định miền nghiệm hệ biểu 3 x  y 9 diễn tọa độ điểm cho hệ trục tọa x y   độ đề chọn đáp án  y   x   y 6 chứa điểm điểm Câu sau đây? A O  0;0  B M  1;  15 C N  2;1 P  8;  D Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình x  y     y 2  x  y   Chọn B Vì y 2 suy loại A,C,D O  0;0  Thay tọa độ điểm vào bất phương trình hệ khơng thỏa mãn Do chọn B phần khơng tơ đậm hình vẽ hình vẽ sau? y x O -3 A y x -3 O B y 1 -3 x O C 16 y x O -3 D Chọn B Câu Thay tọa độ điểm M (1;0) vào hệ bất Phần không tơ đậm hình vẽ phương trình ta thấy có B thỏa mãn (khơng chứa biên), biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình hệ bất phương trình sau? y x O -1 A ïìï x - y ³ í ïïỵ 2x - y ³ C ïìï x - y < í ïïỵ 2x - y > B ïìï x - y > í ïïỵ 2x - y > D ïìï x - y < í ïïỵ 2x - y < Câu Miền nghiệm hệ bất phương trình 3  y   2 x  y   chứa điểm sau đây? A A(3; 4) B B (4;3) C C (7; 4) Chọn C Cách 1: Thay tọa độ điểm vào hệ đề kiểm tra nghiệm Cách 2: Xác định miền nghiệm hệ biểu diễn tọa độ điểm cho hệ trục tọa độ đề chọn đáp án D D (4; 4) Chọn A Câu M  0;  3 Thay tọa độ điểm vào hệ Điểm thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình ta thấy có A thỏa mãn bất phương trình sau đây? M  0;  3 17  x  y 3  x  y  12 x   A 2 x  y   x  y  12 x   B 2 x  y    C  x  y 12 x   x  y   x  y  12 x   D Câu Chọn B Miền nghiệm hệ bất phương trìn x  y   x  3y   y  x   phần khơng tơ đậm hình vẽ hình vẽ sau? A B C 18 D Câu Giá trị lớn biết thức F  y  x  y  x 2   y  x 4  x  y 5  miền xác định hệ A max F 1 x 2; y 3 Chọn C Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình  y  x 2   y  x 4  x  y 5  hệ trục tọa độ đây: B max F 2 x 0; y 2 C max F 3 x 1; y 4 D max F 0 x 0; y 0 x 0, y 0 Nhận thấy biết thức F  y  x đạt giá trị lớn điểm A, B C Ta có: F  A 4  3; F  B  2; F  C  3  1 Vậy max F 3 x 1; y 4 Chọn C Câu Giá trị lớn biết thức F ( x; y ) x  y 0  y 4  x 0    x  y  0  với điều kiện  x  y  10 0 A B C 10 Vẽ đường thẳng d1 : x  y  0 , đường thẳng d1  1;0  Vẽ đường thẳng d : x  y  10 0 , đường thẳng qua hai điểm  0;  1 d qua hai điểm  0;5   2;  Vẽ đường thẳng d3 : y 4 D 12 19 Miền nghiệm ngũ giác ABCOE với A  4;3 , B  2;  , C  0;  , E  1;0  F  4;3 10 F  2;  10 F  0;  8 Ta có: , , , F  1;0  1 F  0;0  0 , Vậy giá trị lớn biết thức F  x; y  x  y 10 Chọn C Câu 10 Giá trị nhỏ biết thức F  y  x Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình miền xác định hệ 2 x  y 2   x  y 2 5 x  y    x  y 2   x  y 2 5 x  y   hệ trục tọa độ đây: A F  x 1; y  B F 0 x 0; y 0 x  ; y  3 C F  D F 8 x  2; y 6 Giá trị nhỏ biết thức F  y  x đạt  2  1 7 A   2;6  , C  ;   , B  ;   3  3  điểm Ta có: 20 F  A  8; F  B   2; F  C  