Bài 2 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đáp án

PHẦN A LÝ THUYẾT I Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn x, y hệ gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình Ví dụ Cho hệ bất phương trình sau: 2 x  y 6  1  (2) x  y  Cặp số ( x; y ) sau nghiệm hệ bất phương trình trên? (3;1), (1;  2), (5;  3) Giải - Thay x 3, y 1 vào hai bất phương trình hệ, ta có:  4.1 6 mệnh đề đúng;   mệnh đề Vậy (3;1) nghiệm chung (1) (2) nên (3;1) nghiệm hệ bất phương trình - Thay x 1, y  vào bất phương trình (1) hệ, ta có: 1  ( 2) 6 mệnh đề sai Vậy (1;  2) không nghiệm (1) nên (1;  2) khơng nghiệm hệ bất phương trình - Thay x 5, y  vào bất phương trình (2) hệ, ta có:  ( 3)  mệnh đề sai Vậy (5;  3) không nghiệm (2) nên (5;  3) không nghiệm hệ bất phương trình II Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn, ta làm sau: - Trong mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ cách gạch bỏ phần khơng thuộc miền nghiệm - Phần khơng bị gạch miền nghiệm cần tìm Ví dụ Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:  x  y 4  x  y 3    x 0  y 0 Giải d : x  y 4; d : x  y 3; d3 : x 0 trục tung; d : y 0 trục hoành Vẽ đường thẳng: Gạch phần không thuộc miền bất phương trình Miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác OABC kể miền (cịn gọi miền tức giác OABC ) O  0;0  , A  0;3 , B  1;  , C  2;0  với Trang III Áp dụng vào toán thực tiễn Bài toán Quảng cáo sản phẩm truyền hình hoạt động quan trọng kinh doanh doanh nghiệp Theo Thông báo số 10/2019, giá quảng cáo VTV1 30 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20 h30 ; triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung 16 h00  17 h00 Một công ty dự định chi không 900 triệu đồng để quảng cáo VTV1 với yêu cầu quảng cáo số lần phát sau: 10 lần quảng cáo vào khoảng 20 h30 không 50 lần quảng cáo vào khung 16 h00  17 h00 Gọi x, y số lần phát quảng cáo vào khoảng 20 h30 vào khung 16 h00  17 h00 Tìm x y cho tổng số lần xuất quảng cáo công ty nhiều Giải Gọi x, y số lần phát quảng cáo vào khoảng 20 h30 vào khung 16 h00  17 h00 Theo giả thiết, ta có: x  , y  , x 10,  y 50 Tổng số lần phát quảng cáo T  x  y Số tiền công ty cần chi 30 x  y (triệu đồng) Do công ty dự định chi không 900 triệu đồng nên 30 x  y 900 hay x  y 150 5 x  y 150  I  x 10 0  y 50 Ta có hệ bất phương trình:  Bài tốn đưa tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình (I) cho T  x  y có giá trị lớn Trước hết, ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (I) Miền nghiệm hệ bất phương trình (I) miền tứ giác ABCD với A(30;0), B(20;50) , C (10;50), D(10;0) Người ta chứng minh được: Biểu thức T  x  y đạt giá trị lớn đỉnh tứ giác ABCD Trang Tính giá trị biểu thức T  x  y cặp số ( x; y ) toạ độ đỉnh tứ giác ABCD so sánh giá trị Ta T đạt giá trị lốn x 20, y 50 û́ ng với toạ độ đỉnh B Vậy để phát số lần quảng cáo nhiều số lần phát quảng cáo vào khoảng 20 h30 vào khung 16 h00  17 h00 20 50 lần Bài toán Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 140 kg chất A kg chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng, chiết xuất 20 kg chất A 0,6 kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng, chiết xuất 10 kg chất A 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu nhất? Biết cở sở cung cấp nguyên liệu cung cấp không 10 nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II Giải Gọi x, y số nguyên liệu loại I, loại II cần sử dụng Khi đó, ta chiết xuất 20 x  10 y ( kg ) chất A 0, x  1,5 y( kg ) chất B Theo giả thiết, x y phải thoả mãn điểu kiện:  x 10,  y 9 20 x  10 y 140 hay x  y 14 ; 0,6 x  1,5 y 9 hay x  y 30 Tổng số tiền cần mua nguyên liệu T 4 x  y Bài tốn đưa về: Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình 0  x 10 0  y 9  (II)   x  y 14  x  y 30 cho T 4 x  y có giá trị nhỏ Trước hết, ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (II) 5  C (10;9), D  ;9  2  Miền nghiệm hệ bất phương trình (II) miền tứ giác ABCD với A(5; 4), B (10; 2) , Người ta chứng minh được: Biểu thức T 4 x  y có giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD Tính giá trị biểu thức T 4 x  y cặp số ( x; y ) toạ độ đỉnh tứ giác ABCD so sánh giá trị Ta T đạt giá trị nhỏ bẳng 32 x 5, y 4 û́ ng với tọa độ đỉnh A Vậy để chi phí nguyên liệu nhất, cần sử dụng nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II; chi phí 32 triệu đồng Trang PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Câu Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình sau  x  y  0  a)  x  y  0 b) x  y    x  y    x  y  0  Lời giải a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng d : x  y  0 d  : x  y  0 O 0;0  0;0  Xét điểm  , ta thấy  nghiệm bất phương trình x  y  0 x  y  0 miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ màu hình vẽ hai đường thẳng d d  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng d : x  y 0 , d  :  x  y  0 d  : x  y  0 O 0;0  0;0  Xét điểm  , ta thấy  nghiệm bất phương trình  x  y   x  y  0 Do O  0;0  thuộc miền nghiệm bất phương trình  x  y   x  y  0 Xét điểm M  1;  , ta thấy  1; 0 M  1;0  nghiệm bất phương trình x  y  điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình x  y  Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ màu hình vẽ kể đường thẳng d  Câu Trang x  y   Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình  x  y  Lời giải d : x  y 0 d : x  y 3 - Vẽ đường thẳng ; M  1;  - Điểm có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tô đậm nửa mặt phẳng bờ d1 ; d không chứa điểm M Miền không bị tơ đậm (miền chứa điểm M ), khơng tính bờ d1 ; d (hình vẽ) miền nghiệm hệ cho  x  y 6  x  y 4    x 0  Câu Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình  y 0 Lời giải d :  x  y 6 ; d : x  y 4 ; trục Oy : x 0 ; trục Ox : y 0 - Vẽ đường thẳng - Điểm M  1;1 có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tơ đậm nửa mặt phẳng bờ d1 ; d ; Ox; Oy không chứa điểm M Miền không bị tô đậm hình tứ giác OABC kể bốn cạnh OA, AB, BC , CO hình vẽ miền nghiệm hệ bất phương trình cho y d1 A B M O Câu Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình Lời giải C d2 3x  y   2 x  y 6 x  3y   x d : x  y  d : x  y 6 d : x  y 3 - Vẽ đường thẳng ; ; M  1;1 - Điểm có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tô đậm nửa mặt phẳng bờ d1 ; d ; d3 không chứa điểm M Miền khơng bị tơ đậm hình tam giác ABC khơng tính cạnh AC hình vẽ miền nghiệm hệ bất phương trình cho Trang y d1 B M A C O d3 x d2 Câu Cho cặp  x; y  nghiệm hệ f  x; y  2 x  y  3x  y   2 x  y 6  x  y 3  (*) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Lời giải * Trước hết ta biểu diễn miền nghiệm hệ (*): d : x  y  d : x  y 6 d : x  y 3 + Vẽ đường thẳng ; ; M  1;1 + Điểm có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tô đậm nửa mặt phẳng bờ d1 ; d ; d3 không chứa điểm M Miền không bị tơ đậm hình tam giác ABC , tính ba cạnh AB, BC , CA hình vẽ miền nghiệm hệ bất phương trình cho y d1 B M A C O d3 x d2 * Tìm tọa độ điểm A, B, C : 3 x  y   x 0   A d1  d3 x  y    y 1 Vậy A  0;1 + nên tọa độ nghiệm hệ 3 x  y   x 1   B  d  d x  y    y 4 Vậy B  1;  + nên tọa độ nghiệm hệ 2 x  y 6  x 3   C d  d3 nên tọa độ nghiệm hệ  x  y 3  y 0 Vậy C  3;0  + f  x; y  2 x  y 1 * Tính giá trị tất đỉnh tam giác ABC : A  0;1 B  1;  C  3;0   x; y  f  x; y  2 x  y  Trang 2 9 Suy Câu f  x; y   f  1;   max f  x; y   f  3;  7 A   2;  B  0;3 C  3;  D  3;   Trong mặt phẳng Oxy , cho tứ giác ABCD có ; ; (tham M  m; m  1 khảo hình vẽ) Tìm tất giá trị m cho điểm nằm hình tứ giác ABCD tính bốn cạnh AB, BC , CD, DA y B C O A x D Lời giải ABCD * Nhận thấy hình tứ giác tính cạnh miền nghiệm hệ bất phương trình gồm bất O  0;  phương trình có miền nghiệm nửa mặt phẳng chứa điểm có bờ đường AB, BC , CD DA - Phương trình đường thẳng AB :  3x  y 6 Bất phương trình có miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ AB (tính bờ AB ) chứa điểm O  3x  y 6 - Phương trình đường thẳng BC : x  y 9 Bất phương trình có miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ BC (tính bờ BC ) chứa điểm O x  y 9 - Phương trình đường thẳng CD : x 3 Bất phương trình có miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ CD (tính bờ CD ) chứa điểm O x 3 - Phương trình đường thẳng DA : x  y  Bất phương trình có miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ DA (tính bờ DA ) chứa điểm O x  y  Như hình tứ giác ABCD tính cạnh miền nghiệm hệ bất phương trình  3x  y 6  x  y 9    x 3 2 x  y  (*)  m; m  1 nằm hình tứ giác ABCD tính bốn cạnh m     3m   m  1 6 m     m   m  1 9  m 3    m 3  9  2m   m  1  m    m   nghiệm hệ (*) , tức   m  Vậy giá trị m cần tìm * Điểm M  m; m  1 Dạng Bài tốn thức tế - tìm GTLN-GTNN Câu Một hộ nông dân dự định trồng đậu cà diện tích Nếu trồng đậu cần 20 cơng thu triệu đồng diện tích ha, trồng cà cần 30 cơng thu triệu đồng diện tích Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền nhất, Trang biết tổng số công không 180 Lời giải Gọi diện tích để trồng đậu : x (ha); diện tích để trồng cà là: y (ha) ( Đk:  x, y 8 ) Tổng số diện tích sử dụng là: x  y Tổng số công cần sử dụng là: 20 x  30 y 0  x 8 0  x 8 0  y 8 0  y 8      x  y 8  x  y 8   Ta có hệ bất phương trình :  20 x  30 y 180  2 x  y 18  d  : x  y 8,  d  : 2x  y 18 ,  d3  : x 8,  d  : y 8 ta miền Vẽ đường thẳng nghiệm hệ bất phương trình phần tơ đậm hình vẽ A  0;   d   Oy, B  6;   d1    d  C  8;0   d1   Ox, D O  0;0  Số tiền thu là: f  x; y  3x  y (triệu đồng) M  x; y  f ( x, y ) 3x  y A 24 B 26 C 24 D f  x; y  B  6;  Do đạt giá trị lớn Vậy để thu nhiều tiền cần trồng đậu cà Câu Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết ngày gia đình mua tối đa 1.5kg thịt bò 1kg thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bị 200 nghìn đồng, 1kg thịt lợn 100 nghìn đồng Hỏi gia đình phải mua kg thịt loại để số tiền bỏ Lời giải Gọi số kg thịt bò cần mua : x (kg); số kg thịt lợn cần mua : y (kg) Đk:  x 1,5,  y 1 Khi số đơn vị protein : 800 x  600 y Số đơn vị lipit : 200 x  400 y 0  x 1,5 0  x 1,5 0  y 1 0  y 1     800 x  600 y 900 8 x  y 9   Ta có hệ bất phương trình: 200 x  400 y 200   x  y 2  d  : x 1,5 ,  d2  : y 1 ,  d3  : 8x  y 9 ,  d  : x  y 2 Ta miền nghiệm Vẽ đường thẳng: hệ bất phương trình phần tơ đậm hình vẽ Trang 3  3  A  ;1  d    d  D  ;   d    d  B  1,5;1  d1    d  C  1,5;0, 25   d1    d  8   10  , , Số tiền bỏ : f  x; y  200 x  100 y M  x; y  ( nghìn đồng ) A f  x; y  200 x  100 y 175 B C D 400 325 190 3  A  ;1 Do đạt giá trị nhỏ   kg Vậy để số tiền bỏ nhỏ cần mua 1kg thịt lợn f  x; y  Câu Người ta định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 120 kg hóa chất A kg hóa chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng chiết xuất 20 kg chất A 0,6 kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng chiết xuất 10 kg chất A 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu Biết sở cung cấp ngun liệu cung cấp khơng 10 nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II Lời giải Gọi số nguyên liệu loại I cần sử dụng x (tấn) ; số nguyên liệu loại II cần sử dụng y (tấn) Đk:  x 10,  y 9 Khi số kg chất A thu là: 20 x  10 y Số kg chất B thu là: 0, x  1,5 y 0  x 10 0  x 10 0  y 9 0  y 9     20 x  10 y 120 2 x  y 12   Ta có hệ bất phương trình: 0, x  1,5 y 9  2 x  y 30  d  : x 10,  d2  : y 9,  d3  : x  y 12,  d4  : x  y 30 Vẽ đường thẳng Ta có miền nghiệm hệ bất phương trình phần tơ màu hình vẽ : Trang  ;9    ,  d    d1   B  10;9   d    d3   A  d  d  d1    d  C  10;  ,      15  D  ;   2 Chi phí mua nguyên liệu cần bỏ : M  x; y  f  x; y  4 x  y A 33 f ( x , y ) 4 x  y Do f  x; y  ( triệu đồng ) B 67 C 46 D 28,5  15  D ;  đạt giá trị nhỏ   15 3, 75 4,5 Vậy để chi phí nguyên liệu ta cần sử dụng nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II Câu 10 Có ba nhóm máy A, B,C dùng để sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại phải dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm số máy nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm thuộc loại cho bảng sau: Số máy nhóm để sản xuất đơn Số máy vị sản phẩm Nhóm nhóm Loại I Loại II A 10 2 B C 12 Một đơn vị sản phẩm I lãi ba nghìn đồng, đơn vị sản phẩm loại II lãi năm nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm có lãi cao Lời giải Gọi số sản phẩm loại I cần sản xuất x ; số sản phẩm loại II cần sản xuất y Đk: x, y 0 Số máy nhóm A cần sử dụng là: x  y Số máy nhóm B cần sử dụng là: y Số máy nhóm C cần sử dụng là: x  y  x 0  y 0  2 x  y 10 2 y 4   x  y 6  Ta có hệ bất phương trình:  Trang 10  x 0 0  y 2    x  y 5  x  y 6 Câu 15 Phần khơng gạch chéo hình sau biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bốn hệ A, B, C, D? y x O y   A 3x  y  y   B 3x  y   x   C 3x  y  Lời giải x   D 3x  y   Chọn A Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng  d1  : y 0 đường thẳng  d  : 3x  y 6 Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương  ;  thỏa mãn bất phương trình 3x  y  Lại có x  y   x  3y   y  x 3  Câu 16 Miền nghiệm hệ bất phương trình A  ; 0 B   ; 3 A B chứa điểm sau đây? C  ;  1 D   ; 0 C D Lời giải Chọn D Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y 0  d  : x  y   d3  : y  x 3  ; 1 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm  ; 1 Ta thấy thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ Câu 17 Miền nghiệm hệ bất phương trình A A  ; 2 Chọn Trang 16 B D B  ; 2 2 x  y     x 0 2 x  y  0  chứa điểm sau đây? C   ; 3 C Lời giải 1  D ;   3 D  Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y  0  d2  : x 0  d3  : x  y  0  ; 1 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm  ; 1 Ta thấy thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ  x  0  Câu 18 Miền nghiệm hệ bất phương trình   x  0 chứa điểm sau đây? 5  1  B ; 2 D  ; 10  C  ;    A Khơng có B   C D  Lời giải Chọn A Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : x  0  d  :  3x  0  ;  không nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm  ;  Ta thấy không thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Vậy khơng có điểm nằm mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình Trang 17 3  y   Câu 19 Miền nghiệm hệ bất phương trình  x  y   chứa điểm sau đây? A  ; 4 B  ; 3 C  ; 4 D  ; 4 A B C D Lời giải Chọn C Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  :  y 0  d  : x  y  0  ;  nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm  ;  Ta thấy thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền không bị gạch miền nghiệm hệ x  y   Câu 20 Miền nghiệm hệ bất phương trình  x  y   không chứa điểm sau đây? A   ; 0 B 1 ; 0 C   ; 4 D  ; 3 A B C D Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : x  y 0 Trang 18  d  : x  y   ; 1 nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm  ; 1 Ta thấy thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau gạch bỏ phần khơng thích hợp, phần không bị gạch miền nghiệm hệ 3 x  y  0  3y  4  2( x  1)    x 0 Câu 21 Miền nghiệm hệ bất phương trình  khơng chứa điểm sau đây? A A  ;  2 B B  ; 0 C  ;  1 C Lời giải D D  ;  3 Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y  0  d  : x  y  12 0  d3  : x 0  ;  1 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm  ;  1 Ta thấy thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ Câu 22 Miền nghiệm hệ bất phương trình A  ; 2 B  ; 3 A B Chọn x  y    x  y  x  y   không chứa điểm sau đây? C  ; 4 D  ; 4 C D Lời giải A Trang 19 Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y 0  d  : x  y   d3  : x  y 5  ; 3 nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm  ; 3 Ta thấy thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ Câu 23 Miền nghiệm hệ bất phương trình A A  ; 1 B B   ; 1 x  3y   x  y   y  x   không chứa điểm sau đây? C   ; 0 C Lời giải D D   ; 1 Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y 0  d  : x  y   d3  : x  y 2   ;  nghiệm ba bất phương trình Điều có nghĩa điểm   ;  Ta thấy thuộc ba miền nghiệm ba bất phương trình Sau gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ Trang 20