Bài 1 bất phương trình bậc nhất hai ẩn đáp án

PHẦN A LÝ THUYẾT I Bất phương trình bậc hai ẩn Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng sau: ax  by  c; ax  by  c; ax  by c; ax  by c, a, b, c số cho trước với a, b không đồng thời 0, x y ẩn Cho bất phương trình bậc hai ẩn ax  by  c(*) x ;y  ax  by0  c gọi nghiệm bất phương trình (*) Mỗi cặp số 0 cho Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm có toạ độ nghiệm bất phương trình (*) gọi miển nghiệm bất phương trình Nghiệm miền nghiệm bất phương trình dạng ax  by  c, ax  by c ax  by c định nghĩa tương tự Ví dụ Cặp số sau nghiệm bất phương trình 3x  y  ? a) (2;  1) ; b) (  2;0) ; c) (  1;  1) Giải a) Thay x 2, y  , ta có: 2  ( 1)  mệnh đề Vậy (2;  1) nghiệm bất phương trình b) Thay x  2, y 0 , ta có: ( 2)  2.0  mệnh đề sai Vậy (  2;0) khơng nghiệm bất phương trình c) Thay x  1, y  , ta có: ( 1)  2.( 1)  mệnh đề Vậy (  1;  1) nghiệm bất phương trình II Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Mơ tả miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Người ta chứng minh định lí sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , phương trình ax  by c (với a b không đồng thời ) xác định đường thẳng d sau: c x a b 0 ; - d có phương trình a c y  x  b b b 0 - d có phương trình Ngồi ra, người ta chứng minh định lí sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đường thẳng d : ax  by c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một hai nửa mặt phẳng (không kể d) miền nghiệm bất phương trình ax  by  c , nửa mặt phẳng lại (không kể d ) miền nghiệm bất phương trình ax  by  c Chú ý: Đối vối bất phương trình dạng ax  by c ax  by c miền nghiệm nửa mặt phẳng kể đường thẳng d Ví dụ Nửa mặt phẳng khơng bị gạch hình (khơng kể d) biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Hỏi tọa độ hai điểm M (  1;1) , N (4;  2) có nghiệm bất phương trình khơng? Trang Giải - Điểm M (  1;1) thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch nên ( 1;1) nghiệm bất phương trình - Điểm N (4;  2) thuộc nửa mặt phẳng bị gạch nên (4;  2) khơng nghiệm bất phương trình Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn sau: Các bước biểu diễn miền nghiệm bất phương trình ax  by  c mặt phẳng toạ độ Oxy : Bước Vẽ đường thẳng d : ax  by c Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng M  x0 ; y0  Bước Lấy điểm không nằm d (ta thường lấy gốc toạ độ O c 0 ) Tính ax0  by0 so sánh với c Bước Kết luận ax  by0  c nửa mặt phẳng (khơng kể d ) chứa điểm M miền nghiệm bất phương trình - Nếu ax  by  c ax  by0  c nửa mặt phẳng (khơng kể d  khơng chứa điểm M miền nghiệm bất phương - Nếu trình ax  by  c Ví dụ Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: x  y   1; x  y  Giải - Vẽ đường thẳng d : x  y  - Lấy điểm O(0;0) Ta có:  0   - Vậy miền nghiệm bất phương trình x  y   nửa mặt phẳng khơng bị gạch hình chửa điểm O(0;0) khơng kể đường thẳng d ; miền nghiệm bất phương trình x  y  nửa mặt phẳng khơng bị gạch hình chứa điểm O(0;0) kể đường thẳng d Chú ý: Thông thường sử dụng phần mềm toán học để biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn, miền nghiệm bất phương trình tơ màu Chẳng hạn, miền nghiệm bất phương trình x  y   tơ màu hình sau Trang PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN   1;  ,  2;0  ,  0;1 ,  3;   ,   1;   , cặp Cho bất phương trình: x  y  Trong cặp số nghiệm bất phương trình, cặp khơng phải nghiệm bất phương trình? Lời giải  1; 0;1   ,   nghiệm, cặp cịn lại khơng phải nghiệm bất Bằng cách thử trực tiếp, cặp phương trình Câu Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình x  y  ? Lời giải 1  B  0;   A 1;0   2 + Đường thẳng d : x  y 1 qua hai điểm  + x  y 0 khơng phải nghiệm bất phương trình Câu + Miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d : x  y 1 , không chứa gốc tọa độ O , không bao gồm đường thẳng d (là miền khơng gạch chéo hình vẽ) Câu Xác định miền nghiệm bất phương trình sau x  y x  y 1  b) a) x  y 0 Lời giải a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng d :2 x  y 0 Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm khơng thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M  1;  1; Ta thấy   nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng chứa bờ d chứa điểm M  1;  (miền khơng tơ màu hình vẽ) Trang x  y x  y 1    x  y    x  y  1    x  4y    x  4y   b) Ta có Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng  : x  y  0 Ta có  chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm khơng thuộc đường thẳng đó, O 0;0  chẳng hạn điểm  Ta thấy  0;0  nghiệm bất phương trình cho O 0;0  Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ  (Không kể đường thẳng  ) không chứa điểm  (miền không tô màu hình vẽ) x y  1 Câu Tìm nghiệm bất phương trình , x , y số nguyên dương Lời giải x y y  1 1  y  Cách 1: Do x  , nên ta có y   1; 2;3 Do y nguyên dương nên x     x   x   1; 2 4 + Với y 1 , ta có x     x   x 1 2 + Với y 2 , ta có x     x   x  4 + Với y 3 , ta có  1;1 ,  2;1  1;  Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên dương Cách 2: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình lên hệ trục tọa độ (là miền khơng gạch chéo hình vẽ):  x; y  Trang Từ biểu diễn hình học, ta thấy điểm nguyên dương miền nghiệm bất phương trình A  1;1 B  2;1 C  1;  ,  x   mx   m  1 y  Câu Tìm giá trị tham số m cho  y 2 nghiệm bất phương trình Lời giải  x   mx   m  1 y  Ta có  y 2 nghiệm bất phương trình  m   m  1   m  Câu A  1;  B   3;  1 C  3;   Cho tam giác ABC có , Tìm điều kiện tham số m để điểm  m 5 M  m;   nằm bên tam giác ABC ?  Lời giải Cách 1: x y   3x  y  0 Đường thẳng AB :     x  y 1   x  y  0 Đường thẳng BC :    x y   x  y  0 Đường thẳng AC :    Điều kiện cần đủ để điểm M nằm bên tam giác ABC lượt phía với cạnh BC , CA , AB  m        m         m          3m   5       m    5    16    3m     Cách 2: điểm M với đỉnh A , B , C lần m    m     m  m    Trang  m 5 x M  m; M d : y     nên Do Ta thấy, đường thẳng d cắt cạnh AC , BC tam giác ABC D E x  , hoành độ điểm E xE 2 Dựa vào đồ thị, ta thấy hoành độ D D Điểm M nằm bên tam giác ABC điểm M nằm đoạn thẳng DE (trừ hai điểm D, E )   m  PHẦN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình ax  by c (các hệ số a, b, c số thực, a b không đồng thời ) không gọi miền nghiệm B Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình x  y   hệ trục Oxy đường thẳng x  y  0 C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình ax  by c (các hệ số a, b, c số thực, a b không đồng thời ) gọi miền nghiệm D Nghiệm bất phương trình ax  by c (các hệ số a, b, c số thực, a b không đồng thời ) tập rỗng Lời giải Chọn C Câu Câu sau sai? Miền nghiệm bất phương trình  0;   1;1 A B  x    y  2    x   4;  C Lời giải nửa mặt phẳng chứa điểm  1;  1 D Chọn C  x    y  2  1 x   x   y    2x  x  y  Ta có:  4;  ta có:  2.2 8  Dễ thấy điểm Câu Câu sau đúng?  x  1   y    x  Miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng chứa điểm  0;    4;    2;    5;3 A B C D Trang Lời giải Chọn A  x  1   y    x   3x   y   x   x  y    x  y   Ta có:  0;  ta có:  2.0  4  Dễ thấy điểm Câu Câu sau sai? x    y  5    x  Miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng chứa điểm   3;     2;  5   1;    0;  A B C D Lời giải Chọn D x    y      x   x   y  10   x  x  y   Ta có:  0;  ta có: 3.0  4.0   (mâu thuẩn) Dễ thấy điểm Câu Câu sau đúng? Miền nghiệm bất phương trình  0;   1;1 A B  x  1   y  3  x    1;1 C Lời giải nửa mặt phẳng chứa điểm  2;5  D Chọn D  x  1   y  3  x   x   y  15  x   x  y  10  Ta có:  2;5  ta có: 2.2  5.5  10  (đúng) Dễ thấy điểm Câu Miền nghiệm bất phương trình nào?  3;0   3;1 A B 3x   y  3   x  1  y   1;1 C Lời giải phần mặt phẳng chứa điểm D  0;  ChọnC Nhận xét: có cặp số Câu  1;1 thỏa bất phương trình Miền nghiệm bất phương trình điểm nào?   2;1  2;3 A B  x  2   2x  y   2;  1 C Lời giải phần mặt phẳng không chứa D  0;  ChọnC Nhận xét: có cặp số  2;3 khơng thỏa bất phương trình Câu Trong cặp số sau đây, cặp không nghiệm bất phương trình x  y  ?   2;1  3;    0;1  0;  A B C D Lời giải ChọnC  0;1 khơng thỏa bất phương trình Nhận xét: có cặp số Câu Trong cặp số sau đây, cặp khơng nghiệm bất phương trình x  y  0 ? Trang A   5;  B   2;1  1;  3 C Lời giải D  0;0  ChọnB Ta thay cặp số   2;1 Câu 10   2;1 vào bất phương trình x  y  0    0 (sai) đo dó cặp số khơng nghiệm bất phương trình x  y  0 Trong bất phương trình sau, bất phương trình bất phương trình bậc hai ẩn? 2 A x  y  3z 0 B 3x  x   C x  y  D x  y  Lời giải Chọn D Theo định nghĩa bất phương trình bậc hai ẩn Câu 11 Điểm sau thuộc miền nghiệm bất phương trình x  y   ? 3  3  M  1;  P   1;  Q   1;  3 N 1;1   2  2 A B C D  Lời giải Chọn B Tập hợp điểm biểu diễn nghiệm bất phương trình x  y   nửa mặt phẳng bờ đường thẳng x  y  0 không chứa gốc tọa độ  3 M  1;    thuộc miền nghiệm bất phương trình x  y   Từ ta có điểm Câu 12 Miền nghiệm bất phương trình  3x  y  0 không chứa điểm sau đây?  1 C 1 ;  A  ; 2 B  ; 1 D  ; 1 A B C   D Lời giải Chọn A Trước hết, ta vẽ đường thẳng Trang  d  :  3x  y  0 Ta thấy  ; 0 không nghiệm bất phương trình  d  khơng chứa điểm  ;  Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ Câu 13 Miền nghiệm bất phương trình x   2(2 y  5)  2(1  x) không chứa điểm sau đây? 2  B  ;  A   ;  2 C  ;  3 D   ; 0 11  A B  11 C D Lời giải Chọn B Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề cho thành 3x  y  11   d  : 3x  y  11 0 Ta vẽ đường thẳng  ;  khơng nghiệm bất phương trình Ta thấy  d  ) không chứa điểm  ;  Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng (không kể bờ Câu 14 Miền nghiệm bất phương trình x  y  khơng chứa điểm sau đây? A  ; 1 B  ; 2 C  ; 3 D   ;  1 A B C D Lời giải Chọn D  d  : x  y 1 Trước hết, ta vẽ đường thẳng  ;  không nghiệm bất phương trình cho Ta thấy Vậy miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  ; 0 Câu 15 Miền nghiệm bất phương trình    x     y 2 chứa điểm sau đây? Trang A A  ;  1 Chọn B B   ;  1 C   ; 1 C Lời giải D  D  3;  A      d  :  x   y 2 Trước hết, ta vẽ đường thẳng  ;  khơng nghiệm bất phương trình cho Ta thấy  d  không chứa điểm  ;  Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ x    y  1  x  Câu 16 Miền nghiệm bất phương trình chứa điểm sau đây? A  ; 1 B  ; 5 C  ; 3 D  ; 4 A B C D Lời giải Chọn B Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình cho thành  x  y    d  :  x  y  0 Vẽ đường thẳng  ;  khơng nghiệm bất phương trình cho Ta thấy  d  ) không chứa điểm  ;  Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng (không kể bờ Câu 17 Miền nghiệm bất phương trình x  A A  ; 1 Chọn Trang 10 B A B  ; 0 y   0 chứa điểm sau đây? C C Lời giải  2;  D D  2;   d  : x  y   0 Trước hết, ta vẽ đường thẳng  ;  nghiệm bất phương trình cho Ta thấy  d  chứa điểm  ;  Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ Câu 18 Cho bất phương trình x  y  có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng định ?  1;1  S  1;10   S  1;  1  S  1;5  S A B C D Lời giải ChọnC  1;  1 thỏa mãn hệ phương trình  1;  1 cặp nghiệm hệ phương trình Ta thấy Câu 19 Cho bất phương trình x  y   có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng định đúng?  2;   S  1;3  S   2;   S   2;   S A B C D Lời giải Chọn A  2;   S  2.2   Ta thấy Câu 20 Miền nghiệm bất phương trình 3x  y   y y 3 x 2 O A O x B Trang 11 y y 2 3 x O 2 x O C D Lời giải y Chọn C  d  : 3x  y  Trước hết, ta vẽ đường thẳng Ta thấy x O 2  ; 0 d phẳng bờ nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt chứa điểm  ; 0 Câu 21 Miền nghiệm bất phương trình 3x  y  y y 3 x 2 O A x O B y y y 2 x O 2 C A Trước hết, ta vẽ đường thẳng Trang 12 O x D Lời giải Chọn x O  d  : 3x  y 6 Ta thấy  ; 0 nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  ;  Câu 22 Miền nghiệm bất phương trình 3x  y   y y 3 x 2 x O O A B y y 2 O 2 x O x C D y Lời giải Chọn D 2 x Trước O  d  : 3x  y  hết, ta vẽ đường thẳng  ;  nghiệm bất phương trình cho Ta thấy Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng (khơng kể bờ  d  ) chứa điểm  ;  Câu 23 Cho bất phương trình  x  y  0 có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng định đúng? A  1;1  S   ;0   S    B  1;    S C Lời giải D  1;0   S ChọnB   ;0   S  2  3.0  0   Ta thấy  Trang 13 Câu 24 Cặp số ( x; y )  2;3 A x  y nghiệm bất phương trình sau đây? B x – y   C x – y –1  Lời giải D x – y  Chọn D Ta có    nên Chọn D Câu 25 Trang 14 x ;y  Cặp số 0 nghiệm bất phương trình 3x  y 4  x ; y    2;  B  x0 ; y0   5;1 C  x0 ; y0    4;  A 0 Lời giải Chọn B x ;y  Thế cặp số 0 vào bất phương trình:  x0 ; y0    2;   3x  y 4      3.2 4 (vơ lí)  x0 ; y0   5;1  3x  y 4  3.5  3.1 4 (đúng)  x0 ; y0    4;0   3x  y 4      3.0 4 (vơ lí)  x0 ; y0   2;1  3x  y 4  3.2  3.1 4 (vơ lí) D  x0 ; y0   2;1