Đang tải... (xem toàn văn)
Kiến thức, kĩ năng • Mô tả các bước chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Vận dụng phương pháp quy nạp để giải quyết một số vấn đề thực tiễn.
4 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ❶ Giáo viên Soạn: Đỗ Thu Hương FB: Đỗ Thu Hương ❷ Giáo viên phản biện :………………….… …… FB:………………………………… THUẬT NGỮ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Hệ bất phương trình bậc Nhận biết hệ bất phương trình bậc hai ẩn hai ẩn Biết biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc Miền nghiệm hệ bất hai ẩn mặt phẳng tọa độ phương trình bậc hai Vận dụng kiến thức hệ bất phương trình bậc hai ẩn vào ẩn giải toán thực tiễn Trong năm nay, cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều điều hòa chiều với số vốn ban đầu không vượt 1,2 tỉ đồng Giá mua vào Lợi nhuận dự kiến Điều hòa hai chiều 20 triệu đồng/1 máy 3,5 triệu đồng/1 máy Điều hòa chiều 10 triệu đồng/1 máy triệu đồng/1 máy Cửa hàng ước tính tổng nhu cầu thị trường không vượt 100 máy hai loại Nếu chủ cửa hàng em cần đầu tư kinh doanh loại máy để lợi nhuận thu lớn nhất? HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HĐ1: Trong tình mở đầu, gọi số máy điều hòa loại hai chiều chiều mà cửa hàng cần nhập Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ để nhập hai loại máy điều hòa theo a) Do nhu cầu thị trường không 100 máy nên cần thỏa mãn điều kiện gì? b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng đầu tư khơng vượt q 1,2 tỉ đồng nên phải thỏa mãn điều kiện gì? c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu theo Như vậy, HĐ1 phải thõa mãn số bất phương trình bậc hai ẩn Giải a) Gọi x y số máy điều hòa loại hai chiều chiều mà cửa hàng cần nhập Khi ta có x 0 , y 0 Do nhu cầu thị trường không 100 máy nên x y cần thỏa mãn điều kiện x y 100 b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng đầu tư không vượt 1,2 tỉ đồng nên x y phải thỏa mãn điều kiện 20 x 10 y 1200 c) Số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu theo x y 3,5 x y Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc Chương Đại số ⓾ hai ẩn x ;y Cặp số 0 nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn đồng thời nghiệm tất bất phương trình hệ x0 ; y0 Ví dụ Cho hệ bất phương trình a) Hệ có phải hệ bất phương trình bậc hai ẩn khơng? b) Kiểm tra xem cặp số có phải nghiệm hệ bất phương trình khơng Giải: a) Hệ bất phương trình cho hệ bất phương trình bậc hai ẩn b) Cặp số thỏa mãn ba bất phương trình hệ nên nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn cho Luyện tập Trong tình mở đầu, gọi số máy điều hòa loại hai chiều chiều mà cửa hàng cần nhập Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn , nghiệm hệ Giải x 0 y 0 x y 100 Hệ bất phương trình hai ẩn x , y HĐ1 20 x 10 y 1200 x ; y 5; 20 thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên nghiệm hệ bất Cặp số phương trình BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ HĐ2: Cho đường thẳng mặt phẳng tọa độ Đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm a) Xác định miền nghiệm , , bất phương trình tương ứng ; b) Miền tam giác (H.2.5) có phải giao miền nghiệm , hay không? c) Lấy điểm tam giác (chẳng hạn điểm ) điểm cạnh tam giác (chẳng hạn điểm ) kiểm tra xem tọa độ điểm có phải nghiệm hệ bất phương trình sau hay không: Chương Đại số ⓾ Giải 1;0 a) Miền nghiệm D1 bất phương trình x 0 nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm 0;1 Miền nghiệm D2 bất phương trình y 0 nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm Miền nghiệm D3 bất phương trình x y 150 nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O b) Miền tam giác OAB (H.2.5) giao miền nghiệm D1 , D2 D3 1; tam giác OAB thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên nghiệm c) Điểm hệ bất phương trình 1;149 cạnh AB tam giác OAB thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên Điểm x 0 y 0 x y 150 nghiệm hệ bất phương trình Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn miền nghiệm hệ bất phương trình Miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phương trình hệ Chương Đại số ⓾ Ví dụ Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau mặt phẳng tọa độ: Giải (H.2.6) Bước Xác định miền nghiệm bất phương trình gạch bỏ miền cịn lại Vẽ đường thẳng Vì nên tọa độ điểm thỏa mãn bất phương trình Do đó, miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ Bước Tương tự, miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ Bước Tương tự, miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ chứa điểm Khi đó, miền khơng bị gạch giao miền nghiệm bất phương trình hệ Vậy miền nghiệm hệ miền không bị gạch Hình 2.6 Cách xác định miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: Trên mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn hệ gạch bỏ miền cịn lại Miền khơng bị gạch miền nghiệm hệ bất phương trình cho Chú ý Nếu HĐ2, hệ thay cạnh AB x 0 y 0 x y 150 miền nghiệm miền tam giác OAB bỏ Chương Đại số ⓾ Luyện tập Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau mặt phẳng tọa độ: Giải 1;0 Bước Miền nghiệm D1 bất phương trình x 0 nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm 0;1 không Bước Miền nghiệm D2 bất phương trình y nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm kể đường thẳng y 0 Bước Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình x y 100 gạch bỏ miền cịn lại Vẽ đường thẳng d : x y 100 O 0;0 Vì 0 100 nên tọa độ điểm thỏa mãn bất phương trình x y 100 Do đó, miền nghiệm D3 bất phương trình x y 100 nửa mặt phẳng bờ d3 chứa gốc tọa độ O Bước Tương tự, miền nghiệm D4 bất phương trình x y 120 nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O không kể đường thẳng x y 120 Khi đó, miền khơng bị gạch giao miền nghiệm bất phương trình hệ Vậy miền nghiệm hệ miền không bị gạch hình ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chương Đại số ⓾ HĐ3: Xét biểu thức với thuộc miền tam giác HĐ2 Tọa độ ba đỉnh , (H.2.5) a) Tính giá trị biểu thức đỉnh , b) Nêu nhận xét dấu hoành độ tung độ điểm nằm miền tam giác Từ suy giá trị nhỏ miền tam giác c) Nêu nhận xét tổng điểm nằm miền tam giác Từ suy giá trị lớn miền tam giác Giải F 0;0 0 F 150; 300 F 0;150 450 a) , , x ; y nằm miền tam giác OAB x 0 , y 0 Do giá trị nhỏ F x ; y b) Điểm F 0;0 0 miền tam giác OAB x ; y nằm miền tam giác OAB x y 150 Do giá trị lớn F x ; y c) Điểm F 0;150 450 miền tam giác OAB Nhận xét Tổng quát, người ta chứng minh giá trị lớn (hay nhỏ nhất) biểu thức F x ; y ax by x ; y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 An , tức điểm nằm bên , với hay nằm cạnh đa giác, đạt đỉnh đa giác Ví dụ Giải tốn tình mở đầu Giải Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hòa hai chiều số máy điều hịa chiều Khi ta có , Vì nhu cầu thị trường khơng 100 máy nên Số tiền để nhập hai loại máy điều hòa với số lượng là: (triệu đồng) Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy 1,2 tỉ đồng, nên ta có hay Từ ta thu hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau: Lợi nhuận thu bán máy điều hòa hai chiều máy điều hịa chiều Ta cần tìm giá trị lớn thỏa mãn hệ bất phương trình Chương Đại số ⓾ Bước Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình Miền nghiệm miền tứ giác OABC với tọa O 0; A 0;10 B 20;80 C 60; độ đỉnh , , (H.2.7) F 0;0 0 F 0;100 200 Bước Tính giá trị biểu thức F đỉnh tứ giác này: , , F 20;80 230 F 60; 210 , F 20;80 230 Bước So sánh giá trị thu F Bước 2, ta giá trị lớn cần tìm Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hòa hai chiều 80 máy điều hòa chiều để lợi nhuận thu lớn Vận dụng Một cửa hàng có kế hoạch nhập hai loại máy tính , giá 10 triệu đồng 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không tỉ đồng Loại máy mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho máy bán loại máy mang lại lợi nhuận triệu đồng cho máy bán Cửa hàng ước tính tổng nhu cầu hàng tháng không vượt 250 máy Giả sử tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại số máy tính loại a) Viết bất phương trình biểu thị điều kiện tốn thành hệ bất phương trình xác định miền nghiệm hệ b) Gọi (triệu đồng) lợi nhuận mà cửa hàng thu tháng bán máy tính loại máy tính loại Hãy biểu diễn theo c) Tìm số lượng máy tính loại cửa hàng cần nhập tháng để lợi nhuận thu lớn Giải a) Giả sử cửa hàng cần nhập số máy tính loại A x số máy tính loại B y Khi ta có x 0 , y 0 Số tiền để nhập hai loại máy tính với số lượng là: 10 x 20 y (triệu đồng) Số vốn ban đầu khơng q tỉ đồng, nên ta có 10 x 20 y 4000 hay x y 400 Vì tổng nhu cầu hàng tháng khơng vượt 250 máy nên x y 250 x 0 y 0 x y 400 Từ ta thu hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau: x y 250 Chương Đại số ⓾ O 0;0 Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OABC với tọa độ đỉnh , A 0; 20 B 100;150 C 250; , b) Gọi F (triệu đồng) lợi nhuận mà cửa hàng thu tháng bán x máy tính loại A y máy tính loại B Khi F x ; y 2,5 x y c) Ta cần tìm giá trị lớn F x; y x; y thỏa mãn hệ bất phương trình F 0;0 0 F 0; 200 800 Tính giá trị biểu thức F đỉnh tứ giác OABC : , , F 100;150 850 F 250; 625 , F 100;150 850 So sánh giá trị thu F , ta giá trị lớn cần tìm A B Vậy cửa hàng tháng cần nhập 100 máy tính loại 150 máy tính loại để lợi nhuận thu lớn Bài tập 2.4 Hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình bậc hai ẩn? x 0 a) y 0; x y2 y x 1; b) x y z c) y 0; x y 32 x y d) x 0 Đáp án: a) y 0; x y 32 x y d) Bài tập 2.5 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau mặt phẳng tọa độ: Chương Đại số ⓾ a) y x1 x 0 y 0; b) x 0 y 0 x y 4; c) x 0 x y 5 x y Đáp án: a) y x1 x 0 y 0; Bước 1: Vẽ đường thẳng d1 : x y O 0; Vì 0 nên tọa độ điểm khơng thỏa mãn bất phương trình x y Do miền nghiệm của bất phương trình x y nửa mặt phẳng bờ d1 không chứa gốc tọa độ O không kể đường thẳng d1 d : x 0 Bước 2: Vẽ đường thẳng 1;0 thỏa bất phương trình x Vì nên tọa độ điểm 1;0 Do miền nghiệm bất phương trình x nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm không kể bờ Oy Bước 3: Vẽ đường thẳng d3 : y 0 0, 1 thỏa bất phương trình y Vì nên tọa độ điểm 0; 1 Do miền nghiệm bất phương trình y nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm không kể bờ Ox Vậy miền nghiệm hệ miền không bị gạch x 0 y 0 x y 4; b) d : x 0 Bước 1: Vẽ đường thẳng 1;0 thỏa bất Vì nên tọa độ điểm phương trình x 0 Do miền nghiệm bất phương trình x 0 nửa mặt phẳng bờ Oy đường thẳng x 0 chứa điểm 1;0 d : y 0 0,1 thỏa bất nên tọa độ điểm Bước 2: Vẽ đường thẳng Vì phương trình y 0 Do miền nghiệm bất phương trình Chương Đại số ⓾ y 0 nửa mặt phẳng bờ Ox đường thẳng y 0 chứa điểm 0;1 d : x y 4 Bước 3: Vẽ đường thẳng O 0; Vì 2.0 0 nên tọa độ điểm thỏa mãn bất phương trình x y 4 Do miền nghiệm của bất phương trình x y 4 nửa mặt phẳng bờ d3 đường thẳng x y 4 chứa gốc tọa độ O Vậy miền nghiệm hệ miền không bị gạch x 0 x y 5 x y c) d : x 0 Bước 1: Vẽ đường thẳng 1;0 thỏa bất Vì nên tọa độ điểm phương trình x 0 Do miền nghiệm bất phương trình x 0 nửa mặt phẳng bờ Oy đường thẳng x 0 chứa điểm 1;0 Bước 2: Vẽ đường thẳng d : x y 5 O 0;0 Vì 0 nên tọa độ điểm khơng thỏa mãn bất phương trình x y Do miền nghiệm của bất phương trình x y nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O không kể đường thẳng d d : x y 0 Bước 3: Vẽ đường thẳng 1;0 thỏa mãn bất phương trình x y Vì nên tọa độ điểm Do miền nghiệm của bất phương trình x y nửa mặt phẳng bờ d3 chứa 1;0 không kể đường thẳng d3 điểm Vậy miền nghiệm hệ miền không bị gạch Bài tập 2.6 Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kilơgam thịt bị chứa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn; giá tiền kg thịt bị 250 nghìn đồng; kg thịt lợn 160 nghìn đồng Giả sử gia đình mua x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn a) Viết bất phương trình biểu thị điều kiện toán thành hệ bất phương trình xác định miền nghiệm hệ b) Gọi F (nghìn đồng) số tiền phải trả cho x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn Hãy biểu diễn F theo x y c) Tìm số kilơgam thịt loại mà gia đình cần mua để chi phí Đáp án: 10 Chương Đại số ⓾ a) Gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn Giả sử gia đình mua x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn x y cần thỏa mãn điều kiện: x 1, y 1,1 Gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày nên điều kiện tương ứng 800 x 600 y 900 200 x 400 y 400 Hay x y 9 x y 2 Từ bất phương trình biểu thị điều kiện tốn, ta có hệ bất phương trình sau: x 1, y 1,1 8 x y 9 x y 2 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: d1 : x 1, d : y 1,1 d3 : x y 9 d : x y 2 Miền nghiệm hệ miền tứ giác ABCD (kể biên) b) F 250 x 160 y (nghìn đồng) F x; y c) đạt giá trị lớn nhỏ đỉnh tứ giác ABCD A d d A 0,3;1,1 F 0, 3;1,1 250.0,3 160.0,1 91 , ta có (nghìn đồng) B d1 d B 1, 6;1,1 F 1, 6;1,1 250.1, 160.1,1 576 , ta có (nghìn đồng) C d1 d C 1, 6;0, F 1, 6;0, 250.1, 160.0, 432 , ta có (nghìn đồng) D d3 d D 0, 6; 0, F 0, 6; 0, 250.0, 160.0, 262 , ta có (nghìn đồng) 0,3 1,1 Vậy gia đình cần mua kg thịt bị kg thịt lợn để chi phí 11 Chương Đại số ⓾ 12 Chương Đại số ⓾