Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
1,5 MB
Nội dung
PHẦN A LÝ THUYẾT I Hàm số Định nghĩa Cho tập hợp khác rỗng D Nếu vối giá trị x thuộc D có giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số Kí hiệu hàm số: y f ( x), x D Ví dụ a) Diện tích S hình trịn bán kính r tính theo cơng thức S r Hỏi S có phải hàm số r hay khơng? Giải thích b) Cho cơng thức y x Hỏi y có phải hàm số x hay khơng? Giải thích Giải a) S hàm số r giá trị r cho giá trị S b) y khơng phải hàm số x x 1 ta tìm hai giá trị tương ứng y Cách cho hàm số a) Hàm số cho công thức Tập xác định hàm số y f ( x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x) có nghĩa Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: y x a) b) y x Giải D {x x 0} \{0} a) Biểu thức x có nghĩa x 0 Vì vậy, tập xác định hàm số cho là: b) Biểu thức x có nghĩa x 0 Vì vậy, tập xác định hàm số cho là: D {x x 1} [1; ) b) Hàm số cho nhiều cơng thức Một hàm số cho nhiều công thức, chẳng hạn hàm số Ví dụ sau: Ví dụ Cho hàm số: neáu x f ( x ) neáu x 0 neáu x a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính giá trị hàm số x 2; x 0; x 2021 Giải a) f ( x) có nghĩa x 0, x 0, x nên tập xác định hàm số D b) f ( 2) 1; f (0) 0; f (2021) 1 Chú ý: Cho hàm số y f ( x) với tập xác định D Khi biến số x thay đổi tập D tập hợp giá trị y tương ứng gọi tập giá trị hàm số cho Chẳng hạn, Ví dụ 3, ta có: Ứng với giá trị x f ( x) nhận ba giá trị 1;0;1 nên tập giá trị hàm số tập hợp { 1;0;1} c) Hàm số khơng cho cơng thức Trong thực tiễn, có tình dẫn tối hàm số khơng thể cho công thức (hoặc nhiều công thức) Chẳng hạn, ví dụ sau đây: Trang Ví dụ Biểu đồ cho biết Nhiệt độ trung bình Đà Lạt theo tháng năm a) Xác định tập hợp tháng biểu đồ b) Tương ứng tháng với nhiệt độ trung bình tháng có phải hàm số khơng? Giải thích Giải a) Tập hợp tháng D {1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10;11;12} b) Mỗi tháng tương ứng vối giá trị nhiệt độ trung bình nên tương ứng xác định hàm số Hàm số cho bảng sau: Tháng 10 11 12 Nhiệt 16,1 16,6 18,2 19,1 18,9 18,6 18,5 18,2 18,7 17,7 17,6 15,7 C độ II Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y f ( x) xác định tập hợp D tập hợp tất điểm M ( x; f ( x)) mặt phẳng tọa độ Oxy với x thuộc D Ví dụ Cho hàm số y 2 x a) Vẽ đồ thị hàm số b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho bốn điểm: A( 1; 2) , B(1;6), C (2020; 2021), D(2030; 4064) Điểm thuộc đồ thị hàm số trên? Điểm không thuộc đồ thị hàm số trên? Giải a) Khi x 0 y 4 ; y 0 x Vậy đồ thị hàm số y 2 x đường thẳng cắt trục Oy điểm (0; 4) , cắt trục Ox điểm ( 2;0) b) Khi x y 2 ; x 1 y 6 ; x 2020 y 4044 ; x 2030 y 4064 Vậy điểm A( 1; 2), B (1;6), D(2030; 4064) thuộc đồ thị hàm số điểm C (2020; 2021) không thuộc đồ thị hàm số Nhận xét - Điểm M ( a; b) mặt phẳng toạ độ thuộc đồ thị hàm số y f ( x), x D a D b f (a ) Trang - Để chứng tỏ điểm M ( a; b) mặt phẳng toạ độ không thuộc đồ thị hàm số y f ( x) , x D , ta kiểm tra hai khả sau: Khả : Chứng tỏ a D Khả : Khi a D chứng tỏ b f (a ) Ví dụ Cho đồ thị hàm số y f ( x) hình a) Trong điểm có toạ độ ( 2; 2), (0;0), (0;1) , (2; 2), (1;1) , điểm thuộc đồ thị hàm số? Điểm không thuộc đồ thị hàm số? b) Quan sát đồ thị, tìm f (3) điểm thuộc đồ thị có tung độ Giải ( 2; 2), 0;0 , 2; a) Các điểm thuộc đồ thị hàm số có toạ độ là: Các điểm khơng thuộc đồ thị hàm số có toạ độ là: (0;1), (1;1) b) Quan sát đồ thị, ta có: f (3) 9 Toạ độ điểm thuộc đồ thị có tung độ là: Ví dụ Cho đồ thị hàm số y f ( x) hình 9 9 3; , 3; 2 2 a) Xác định tọa độ giao điểm đồ thị vối hai trục toạ độ b) Hàm số y f ( x) xác định công thức nào? Giải a) Tọa độ giao điểm đồ thị với trục hoành (1;0) Tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung (0;1) b) Vì đồ thị hàm số y f ( x) đường thẳng cắt hai trục toạ độ nên hàm số hàm số bậc nhất, tức y f ( x) ax b(a 0) Giao điểm đồ thị với trục Oy điểm có toạ độ (0; b) nên b 1 Suy ;0 1 y f ( x) ax Khi đó, giao điểm đồ thị với trục Ox điểm có toạ độ a nên a , tức a Vậy y f ( x) x Trang III Sự biến thiên hàm số Khái niệm Cho hàm số y f ( x) xác định khoảng (a; b) - Hàm số y f ( x) gọi đồng biến khoảng (a; b) x1 , x2 (a; b), x1 x2 f x1 f x2 - Hàm số y f ( x) gọi nghịch biến khoảng (a; b) x1 , x2 (a; b), x1 x2 f x1 f x2 Ví dụ Chứng tỏ hàm số y 6 x đồng biến khoảng (0; ) Giải x , x (0; ) cho x1 x2 Xét hai số x1 x2 nên x12 x22 hay f x1 f x2 Ta có: 0; Vậy hàm số đồng biến khoảng Nhận xét: Xét biến thiên hàm số tìm khoảng hàm số đồng biến khoảng hàm số nghịch biến Kết xét biến thiên tổng kết bảng biến thiên Chẳng hạn, sau bảng biến thiên hàm số y 6 x : - Dấu mũi tên xuống (từ đến ) diễn tả hàm số nghịch biến khoảng ( ;0) - Dấu mũi tên lên (từ đến ) diễn tả hàm số đồng biến khoảng (0; ) Mô tả hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến đồ thị Nhận xét a; b đồ thị hàm số “đi lên” khoảng - Hàm số đồng biến khoảng a; b đồ thị hàm số “đi xuống” khoảng - Hàm số nghịch biến khoảng Ví dụ Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình Quan sát đồ thị cho biết phát biểu sau a) Hàm số y f ( x) đồng biến khoảng ( 2; 1) b) Hàm số y f ( x) nghịch biến khoảng (1; 2) c) Hàm số y f ( x) đồng biến khoảng ( 1;1) Giải a) Phát biểu "Hàm số y f ( x) đồng biến khoảng ( 2; 1) " đồ thị hàm số cho "đi lên" khoảng b) Phát biểu "Hàm số y f ( x) nghịch biến khoảng (1; 2) " đồ thị hàm số cho "đi xuống" khoảng Trang c) Phát biểu "Hàm số y f ( x) đồng biến khoảng ( 1;1) " sai đồ thị hàm số cho vừa có phần "đi lên" vừa có phần "đi xuống" khoảng PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ f ( x) Để tìm tập xác định D hàm số ta tìm điều kiện để có nghĩa, tức D = { x Ỵ ¡ f ( x) Ỵ ¡ } Chú ý Thông thường y = f ( x) cho biểu thức đại số, ta xét số trường hợp sau: ìï u ( x) , v ( x) u ( v) ï í y = f ( x) = ï v ( x) ¹ v ( x) Hàm số có nghĩa ïïỵ ìï u ( x) ï í ï u ( x) ³ y = f ( x) = 2k u ( x) ( k ẻ Â ) Hm s cú ngha ùùợ u ( x) ïìï u ( x) , v ( x) y = f ( x) = ( k Ỵ ¢) í 2k v x ï v ( x) > ( ) Hàm số có nghĩa ïïỵ Câu Tìm tập xác định hàm số 3x - y= - 2x + a) y= b) c) d) 2x - (2 x + 1) ( x - 3) y= x + 4x + y= 2x +1 x - 3x + Lời giải a) Hàm số xác định - x + ¹ Û x ¹ D = ¡ \{ 1} Vậy tập xác định hàm số ì ìï x + ¹ ïïï x ¹ - ùớ ùợù x - ùù ùợ x b) Hm s xỏc nh ïì ïü D = ¡ \ïí - ; 3ùý ùợù ùỵ ù Vy xỏc nh ca hàm số x + x + = ( x + 2) + > c) Ta có với x Ỵ ¡ Vậy tập xác định hàm số D = ¡ d) Hàm số xác định ìï ( x - 1) ¹ ï Û ïí Û ïï ( x + x - 2) ùợ x - x + ¹ Û ( x - 1) ( x + x - 2) ¹ ïìï x ¹ ïíï ïì x ¹ ùù ùớ ùùợ ùùợ x = ỡ ùớù x ùùợ x = Trang Vậy tập xác định hàm số Câu D = ¡ \{ - 2;1} Tìm tập xác định hàm số a) y = 3x - b) y = x + c) y = - x + - x- d) y = x - x + + x - 2 e) y = x + + x + + - x + - x f) y = x + x - x + Lời giải x - 2…0 Û x… a) Hàm số xác định é2 D = ê ; +¥ ê ë3 Vậy tập xác định hàm số ÷ ÷ ÷ ø b) Ta có x + > với x Ỵ ¡ Vậy tập xác định hàm số D = ¡ ìï ì ïï - x + 3…0 ïï x„ 3 Û íï í Û 1„ x„ ïï x - 1…0 ïï x…1 ï ï ỵ ï ỵ c) Hàm số xác định é 3ù D = ê1; ú ê ë 2ú û Vậy tập xác định hàm số ìï x - x + 1…0 ìï ( x - 1)2 …0 ï Û íï Û í ïï x - 3…0 ïï x - 3…0 ỵ d) Hm s xỏc nh ợ D=ộ ở3; +Ơ ) Vậy tập xác định hàm số ùỡ x ẻ Ă x3 ớù ùùợ x3 2 2 e) Ta có y = x + + x + + - x + - x = ( x + + 1) + ( - x + 1) =| x + + 1|+| - x + 1|= x + + - x + ïìï x + 2…0 Û í ïï - x 2…0 ỵ Hàm số xác định ì ïï x…- í ïïỵ (1 - x)(1 + x)…0 ïìï x…- ïìï x…- ïï ïï ïêìï - x ³ ïìï x„ ïï é ïï é ïï êíï ïï ê êíï x…- Û - £ x £ Û í êïỵ + x ³ 0 0Û í ê ïï ê ïï êỵï ì ïï êïï - x £ ïï êìïï x ³ ïï êí ï êí ïỵï + x £ 0 ïï êïïỵ x £ - ïỵï ê ë ỵï ë ù D=é ë- 1;1û Vậy tập xác định hàm số Trang ïìï ïï x - x + 1…0 Û í ïï x + x - x + 1…0 ï f) Hàm số xác định ïỵï éìï - x < é- x < êïí éx > ê êï x - x +1…0 ê ï ê ê ỵ ì ì Û ê Û êïï - x…0 Û ê êïï x„ Û ïêìï - x…0 íê êíï - x + 1…0 êïïỵ x„ ê êí ë ëỵï ïïỵ x - x +1…x ê ë Vậy tập xác định hàm số D = ¡ Câu ìï ỉ ư2 ùù ỗ x- ữ ữ+ ùỗ ỗ ÷ Û í è 2ø ïï ïï x - x + 1…- x ỵ x - x + 1…- x éx > ê Û xỴ ¡ êx„ ë Tìm tập xác định hàm số sau : y= ( x + 2) x + a) x y= - -x - x2 b) y= c) x- 2- x x +2 x- + 4- x ( x - 2)( x - 3) d) y = 1- x + x 1+x e) 2015 y= x - 3x + - x - f) y = x + + x +7 + 1- x g) y= h) y = x + x + - ( x + 1) Lời giải ìï x + ¹ ïí Û ïï x + > a) Hàm số xác định ỵ ïìï x ¹ - Û x >- í ïỵï x >- D = ( 1; +¥ ) Vậy tập xác định hàm số ïìï - x ¹ ìïï x ¹ ±1 Û í Û - ¹ x„ í ïï - x…0 ïï x„ ỵ ỵ b) Hàm số xác định D = ( - ¥ ; 0ù û\{ - 1} Vậy tập xác định hàm số ïìï - x…0 ïì x„ Û ïí Û - < x„ í ïï x + > ïïỵ x >- c) Hàm số xác định ỵ D = ( - ; 2ù û Vậy tập xác định hàm số Trang ïìï x ïï ïï í ïï x ïï ï xd) Hàm số xác định ïỵ ìï x…1 ïï ïï x„ x…0 Û í Û ¹ ùù x ù ùợùù x ¹ 1…0 ìï 1„ x„ ïï ïí x ùù ùợù x Vy xác định hàm số D = [1; 4]\{2 ; 3} ìï - x…0 ïìï x„ ïï ïì - < x„ ï ïí x ¹ Û ïí x ¹ Û ïí ïï ù ù xạ ùùợ + x > ïïïỵ x >- ỵï e) Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số D = (- 1;1]\{0} f) Hàm số xác định x - 3x + - x2 - ¹ Û x2 - 3x + ¹ x2 - Û x - x + ¹ x - Û ¹ 3x Û x ¹ Vậy tập xác định hàm số g) Ta có D = ¡ \{ 3} y = x + + x +7 + 1 = ( x + + 1) + = x + +1 + 1- x 1- x 1- x ïìï x + 7…0 ïì x…- Û ïí í ï - x ùùợ x Hm s xác định ïỵ Vậy tập xác định hàm số D = [- 7; +¥ )\{1} h) Ta có y= x + x + - ( x + 1) = ( x + 1)2 + - ( x + 1) 2 Hàm số xác định ( x + 1) + - ( x + 1)…0 Û ( x + 1) + 1…x + éïì x + < êï êíï éx + < êïïỵ ( x + 1) + ³ Û ê Û ê Û xỴ ¡ êx + ³ êìï x + ³ ë êï êí 2 êïï ( x + 1) + ³ ( x + 1) ëỵï Vậy tập xác định hàm số D = ¡ Câu Tìm tập xác định hàm số sau : a) y = x2 + x + y= b) y= c) y= d) y= e) 2x - x | x - 4| x + 3x + +| x + 1| x - x + x +1 x(| x |- 1) | x| | x - 2|+ x + x | x|- x - | x| y= - x - x - 2| x|+1 f) Trang Lời giải ỉ 1÷ 15 x2 + x + = ỗ x+ ữ + >0 ỗ ữ ỗ ố 2ứ a) Ta có Vậy tập xác định hàm số với x Ỵ ¡ D = ( 1; +¥ ) ïì x > x | x - 4|> Û ïí Û ïï | x - 4|¹ ỵ b) Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số D = (0; +¥ )\{4} y= +| x + 1| x - x + = ì ïíï x > ïïỵ x ¹ x2 + 3x + c) Ta có 2 2 ỉ 1ư 23 +| x + 1| ỗ x- ữ ữ+ ỗ ỗ ữ ố 2ứ 11 ổ 3ử ỗ x+ ữ ữ ç ÷+ ç è 2ø ỉ 3÷ 11 ỗ x+ ữ + >0 ỗ ữ ỗ ố 2ứ ổ 1ữ 23 ỗ x- ữ + ỗ ữ ỗ ố ứ x ẻ ¡ Vì với với x Ỵ ¡ Vậy tập xác định hàm số D = ¡ ìï x ¹ ìï x ¹ x(| x |- 1) ¹ Û ïí Û ùớ ùù | x|- ợùù x ±1 ỵ d) Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số D = ¡ \{- 1; 0;1} e) Hàm số xác định | x - 2|+ x + x ¹ Û x Ỵ ¡ Thật vậy: x - = Û x = x + x = Nếu éx = é | x - 2|= ê Neáu x + x = Û ê êx =- ê | x - 2|= ê ë ë Vậy tập xác định hàm số D = ¡ y= f) Ta có | x |- x2 - | x| | x |- x - | x| = x - x - 2| x |+1 x - (| x |- 1)2 ïìï x - ¹ ïì x ¹ ±1 Û ïí Û x ¹ ±1 í ïï| x |- ùùợ x ợ Hm số xác định D = ¡ \{ - 1;1} Vậy tập xác định hàm số Câu ( 0; +¥ ) Tìm m để hàm số sau xác định với x thuộc khoảng a) y = x - m + x - m - x- m y = x - 3m + + x +m- b) Lời giải ìï ïìï x…m ïï x - m…0 Û ïí ( *) í ïï x - m - 1…0 ïï x…m + ỵï a) Hàm số xác định ïïỵ m +1 m… Û m…1 (*) Û x…m +) Nếu Trang D=é ëm; +¥ ) Khi tập xác định hàm số Yêu cầu toán Û (0; +¥ ) Ì [m; +¥ ) Û m„ : không thỏa mãn m ³ m +1 m +1 m£ Û m £ (*) Û x… 2 +) Nếu D=é ëm; +¥ ) Khi tập xác định hàm số m +1 m +1 Û (0; +¥ ) Ì [ ; +¥ ) Û „ Û m£ - 1: 2 Yêu cầu toán thỏa mãn điều kiện m £ Vậy m £ thỏa mãn yêu cầu tốn ìï ïï x - 3m + 4…0 Û í ïï x + m - ¹ b) Hàm số xác định ïïỵ ìï ïï x3m - ùù ùợ x - m ( 0; +¥ ) , ta phải có Do để hàm số xác định với x thuộc khoảng ìï 3m - 4 ïì ï „ ïï m„ ïí Û í Û 1„ m„ ïï ïï ïỵ m…1 ïỵï - m„ Vậy Câu 1£ m £ thỏa mãn u cầu tốn Tìm m để hàm số sau: y= + - x + 2m + ( - 1; 0) x m a) xác định y = - x + mx + m + 15 é1; 3ù xác định ë û Lời giải ìï x > m ïìï x - m > Û ïí Û m < x £ 2m + í ïï - x + 2m + ³ ïïỵ x £ m + ỵ a) Hàm số xác định ìï m„ - ïìï m„ - Û ïí Û - £ m„ - í ïï m + ³ ỵïï m ³ - - 1; 0) ( ỵ Do để hàm số xác định , ta phải có b) Vậy - £ m £ - thỏa mãn yêu cầu toán b) Hàm số xác định - x + mx + m + 15 …0 Û x + mx + m +15 „ 1.(*) ( *) nghiệm với x thuộc đoạn éë1; 3ùû Bài tốn chuyển việc tìm m để é1; 3ù Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm với x thuộc đoạn ë ûnên nghiệm với x = 1, x = tức ta có: ìï ì ïï|2 m +17|„ ïï - 1„ m +17„ ïí Û ïí Û ïï|3m + 23|„ ïï - 1„ 3m + 23„ ïïỵ ïïỵ Điều kiện đủ: Với m =- , ta có : ïìï - 9„ m„ - ï Û m =- í ïï - 8„ m„ - 22 ïỵ (*) Û x - x + £ Û - £ x - x + £ Trang 10 ïì x - x + 8…0 Û ïí Û ïï x - x + 6„ ỵ ìï ( x - 2)2 …0 íï ïï x - x + 3„ ỵ Û x - x + 3„ Û ( x - 1)( x - 3)„ éìï x - £ êïí êï x - ³ êïỵ ìï x - ³ ìï x ³ ìêï x - ³ Û ïí Û ê Û ïí Û £ x £ : thỏa mãn ïêï ïï x - £ ỵïï x £ êïí x - ³ ỵ êïï êïïỵ x - £ ë Vậy m =- thỏa mãn yêu cầu toán Câu Tìm m để hàm số: x +1 y= x - x + m - xác định ¡ a) b) y= m +1 3x - x + m xác định toàn trục số Lời giải 2 a) Hàm số xác định x - x + m - > Û ( x - 3) + m - 11 > Để hàm số xác định với x Ỵ ¡ Û ( x - 3) + m - 11 > với x Î ¡ Û m - 11 > Û m > 11 Vậy m > 11 thỏa mãn yêu cầu tốn ïìï ïìï m ³ - ïï m + ³ ï Û ïí ỉ ö2 í ïï 3x - x + m ùù ỗ x- ữ +m- ữ ỗ ữ ỗ ù ợùù ố ø b) Hàm số xác định ïỵ ìï m ³ - ïï Û ïí ỉ ư2 ùù ỗ x- ữ +m- ữ ỗ ữ ùùợ ỗ ố 3ứ hm s xỏc định với x Ỵ ¡ với x Ỵ ¡ ìï m…- ï Û ïí Û m> ïï m - > ïỵ 3 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy DẠNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y = f ( x) ( a; b) ta làm sau: Để xét biến thiên hàm số khoảng xác định Giả sử " x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 m> Tính f ( x1 ) - f ( x2 ) T= Lập tỉ số f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 y = f ( x) ( a; b) Nếu T > thù hàm số đồng biến y = f ( x) ( a; b) Nếu T < thù hàm số nghịch biến Trang 11 Câu Khảo sát biến thiên lập bảng biến thiên hàm số sau: a) y =- x + ¡ ( - ¥ ; 2) khoảng ( 2; +¥ ) b) y = x - x + khoảng ( 3; +¥ ) c) y =- x + x +1 khoảng x- y= x - khoảng ( - ¥ ; - 5) khoảng ( - 5; +¥ ) d) Lời giải a) Với x1 , x2 Ỵ ¡ x1 < x2 Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( - x1 + 3) - ( - x2 + 3) =- ( x1 - x2 ) f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = - ( x1 - x2 ) x1 - x2 =- < Suy Vậy hàm số nghịch biến ¡ Bảng biến thiên b) Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( x12 - x1 + 5) - ( x22 - x2 + 5) = ( x12 - x22 ) - ( x1 - x2 ) = ( x1 - x2 ) ( x1 + x2 - 4) ïìï x1 < Þ x1 + x2 < í ïïỵ x2 < x , x ẻ ( - Ơ ; 2) Với x1 < x2 Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) ( x1 - x2 ) ( x1 + x2 - 4) = = x1 + x2 - < x1 - x2 x1 - x2 Do Vậy hàm số nghịch biến ( 2; +¥ ) ìï x1 > ïí Þ x1 + x2 > ùùợ x2 > x1 , x2 ẻ ( - ¥ ; 2) x < x Với Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) ( x1 - x2 ) ( x1 + x2 - 4) = = x1 + x2 - > x1 - x2 x1 - x2 Do Vậy hàm số đồng biến Bảng biến thiên Trang 12 ( 2; +¥ ) c) Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( - x12 + x1 + 1) - ( x22 + x2 + 1) =- ( x12 - x22 ) + ( x1 - x2 ) =- ( x1 - x2 ) ( x1 + x2 - 2) ìï x1 > ïí Þ x1 + x2 > ù x1 , x2 ẻ ( 3; +Ơ ) x > x < x ï Ta có ỵ Với f ( x1 ) - f ( x2 ) - ( x1 - x2 ) ( x1 + x2 - 2) = =- 2( x1 + x2 - 2) < x1 - x2 x1 - x2 Do Vậy hàm số nghịch biến Bảng biến thiên ( 3; +¥ ) ỉx - ỉx - ữ ữ ỗ ữ ữ f ( x1 ) - f ( x2 ) = ỗ ỗ ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç x + x + è ø è ø d) Ta có ( x1 - x2 ) ( x1 - 3) ( x2 + 5) - ( x2 - 3) ( x1 + 5) = = ( x1 + 5) ( x2 + 5) ( x1 + 5) ( x2 + 5) ìï x1 - ïìï x1 + > Þ í í ï x >5 x < x ïïỵ x2 + > Ta có ỵï x , x Ỵ ( - 5; +¥ ) Với f ( x1 ) - f ( x2 ) = >0 x1 - x2 x1 + 5) ( x2 + 5) ( Do Vậy hàm số đồng biến Bảng biến thiên Câu (- 5; +¥ ) Khảo sát biến thiên hàm số sau: ỉ ỗ ; +Ơ ữ ữ ỗ ỗ ữ ứ a) y = x - khoảng è2 Trang 13 b) y = x + 3x + khoảng ( 5; +¥ ) c) y = x - y= x- d) Li gii ổ x1 , x2 ẻ ỗ ; +Ơ ỗ ỗ2 ố a) Vi mi ữ ÷ ÷ x 0 x1 - x2 Suy x22 + = x12 - x22 x12 + + x22 + x1 + x2 = x12 + + x22 + f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 Nếu x1 < x2 < ÷ ÷ ÷ ø Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 + x2 x + + x22 + 2 0 2 x1 - x2 x + + x + < x < x 2 Nếu Vậy hàm số đồng biến c) Với mi x1 , x2 ẻ ( 5; +Ơ ( Suy Vì x1 - x2 x1 , x2 Ỵ ( 5; +¥ ) Do 3x1 + - x2 = = ) 3x2 + = ( x1 - x2 ) - ( x1 + - x2 + 5) x1 + + x2 + - 3 x1 + + x2 + ìï 3x + > ï Þ í ïï 3x + > ïỵ x1 + + x2 + - Vậy hàm số đồng biến Trang 14 x1 < x2 Ta có ìï ïï x1 > Þ í ïï x2 > nên ïỵ f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 ) ) ( f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 f ( x1 ) - f ( x2 ) ( 0; +¥ ) x1 + + x2 + ( 5; +¥ ) >0 3x1 + + 3x2 + - > D = ( 1; +¥ ) d) Tập xác định Với x1 , x2 Ỵ D x1 < x2 Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = =- x1 - ( x1 - x2 - x2 - - x1 - x1 - × x2 - x2 ) x1 - x2 =- x1 - × x2 - 1( x2 - + x1 - 1) Vậy hàm số nghịch biến Câu = x1 - × x2 - 1( x2 - + x1 - 1) f ( x1 ) - f ( x2 ) Suy - 0 x1 - x2 x x ( 2) Suy Vậy hàm số đồng biến ïìï x1 > Þ - ( x2 + x1 ) < ùùợ x2 > ( 0; +Ơ ) x , x ẻ ( 0; +Ơ ) Vi x1 < x2 ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) x + x1 =- í ïïỵ x2 < ( 0; +¥ ) f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( x12015 + 1) - ( x22015 + 1) = x12015 - x22015 Với x1 , x2 Ỵ D x1 < x2 ta có x12015 < x22015 suy x12015 - x22015 < Û f ( x1 ) - f ( x2 ) < hay f ( x1 ) < f ( x2 ) Vậy hàm số đồng biến ¡ Trang 15 ìï x + > ïí ï x- 0 Với giá trị m hàm số sau đồng biến khoảng xác định nó: y = ( m + 1) x + m - a) m y= x- b) Lời giải a) Tập xác định D = ¡ Với x1 , x2 Ỵ D x1 < x2 ta có : ù é ù f ( x1 ) - f ( x2 ) = é ë( m + 1)x1 + m - 2û- ë( m + 1)x2 + m - 2û= ( m + 1) ( x1 - x2 ) f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = m +1 Suy Để hàm số đồng biến D = ¡ m + > Û m >- b) Tập xác định D = ( - ¥ ; 2) ẩ ( 2; +Ơ ổm ữ ữ f ( x1 ) - f ( x2 ) = ỗ ç ÷ ç ÷ ç x è ø Ta có ) ỉm ÷ - m ( x1 - x2 ) ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ỗ èx2 - ÷ ø ( x1 - 2) ( x2 - 2) x , x Ỵ ( - ¥ ; 2) Với x1 < x2 ta có : ïì x < ìï x - < f ( x1 ) - f ( x2 ) -m ïí Û ïí Þ ( x1 - 2) ( x2 - 2) > vaø = ïï x2 < ï x2 - < x1 - x2 ( x1 - 2) ( x2 - 2) ïỵ ïỵ Để hàm số đồng biến (- ¥ ; 2) - m > Û m < x , x ẻ ( 2; +Ơ ) Vi mi x1 < x2 ta có : ìï x > ìï x - > f ( x1 ) - f ( x2 ) -m ï Û ïí Þ ( x1 - 2) ( x2 - 2) > = í ïï x2 > ïï x2 - > x1 - x2 ( x1 - 2) ( x2 - 2) ỵ ïỵ Để hàm số đồng biến Câu ( 2; +¥ ) - m > Û m < y =- x2 +( m - 1) x + ( 1; 2) Với giá trị m hàm số nghịch biến Lời giải Tập xác định D = ¡ æ my =- x +( m - 1) x + =- ỗ xỗ ỗ ố Ta cú 2 ổm 1ữ + +ỗ ữ ỗ ữ ç ø è ỉ mç - ¥; ç ç Ta phân chia tập xác định ¡ thành hai khoảng è Trang 16 1ư ÷ ÷ ÷ ø 1ữ ữ ữ ứ v ổm - ỗ ; +Ơ ỗ ỗ ố ữ ữ ữ ứ ổ mỗ - Ơ; ỗ ỗ Trờn khong è 1÷ ÷ ÷ ø hàm số đồng biến, khoảng Do điều kiện để hàm số nghịch biến ( 1; 2) ( 1; 2) è ổm - ỗ ; +Ơ ỗ ỗ ố ổm - ỗ ; +Ơ ỗ ỗ ố ÷ ÷ ÷ ø nghịch biến ÷ ÷ ÷ ø hay m- £ 1Û m£ Cách Với x1 ¹ x2 , ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 é- x +( m - 1) x + 2ù1 ê ú û =ë x1 - Để hàm số nghịch biến ( 1; 2) Û m£ é- x +( m - 1) x + 2ù ê ú ë û =- ( x1 + x2 ) + m - x2 - ( x1 + x2 ) + m - < " x1 , x2 Î ( 1; 2) , DẠNG TẬP GIÁ TRỊ - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y f x Cho hàm số có tập xác định D T y f x x D y f x Tập hợp gọi tập giá trị hàm số Nhận dạng: Khi hàm số xuất tích biểu thức số tổng bình phương biểu thức số Bất đẳng thức: a b ab a , b +) Cho ta ln có hay hay a b 2 ab , đẳng thức xảy a b 2 +) a, b ta có a b 2ab , đẳng thức xảy a b Câu Tìm tập giá trị hàm số y x Lời giải D 2; 2 Điều kiện xác định: x 0 x 2 Tập xác định: 2 x D ta có x 0 x 4 x 2 x 0 Nên x 2, x D T 0; 2 Vậy tập giá trị hàm số Mặt khác: y Câu Tìm tập giá trị hàm số x2 4x Lời giải 2 x x x 2 1 , x Tập xác định: D 1 2 x x x x 1 x 1 Ta có 1 0 0 1 2 x x Mặt khác: Nên , x D T 0;1 Vậy tập giá trị hàm số Điều kiện xác định: Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x Trang 17 Lời giải TXĐ: Ta có Câu 2, y x x x x Tìm giá trị nhỏ hàm số y x y x x y x x với x Lời giải 2 x 1 x x Ta có Với x x Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có x 1 y 2 x x 1 2 x Suy y 2 x 1 2 x 1 DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Câu Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ Tính giá trị hàm số x Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta có Câu f 1 y Tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số Lời giải TXĐ: Ta có D \ 1 y x2 x x2 1 x x Tung độ điểm thuộc đồ thị hàm số số nguyên x (1) x 3 x 4 x x x 1 x 2 x x 0 Vì hồnh độ điểm số nguyên nên (1) x2 y x có tọa độ nguyên Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số Trang 18 A ; 2 B ; 0 C ; D ; 2 , , , Câu Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) = x - x + a) lên đơn vị ta thu đồ thị hàm số nào? y = g ( x) =- x +1 b) xuống đơn vị Sau sang trái đơn vị ta thu đồ thị hàm số nào? x- y = k ( x) = x + sang phải đơn vị Sau lên đơn vị ta thu đồ thị hàm số c) nào? Lời giải y = f ( x) = x - x + a) Tịnh tiến đồ thị hàm số hàm số y = f ( x) + = x - x + hàm số y = g ( x) - =- x - = h ( x) y = h ( x) Sau tịnh tiến đồ thị y = h ( x + 4) =- x + - xuống đơn vị ta thu đồ thị sang trái đơn vị ta thu đồ thị hàm số y = k ( x) = c) Tịnh tiến đồ thị hàm số số y = g ( x) =- x +1 b) Tịnh tiến đồ thị hàm số lên đơn vị ta thu đồ thị x- x + sang phải đơn vị ta thu đồ thị hàm x- = l ( x) x +1 y = k ( x - 1) = Sau lên đơn vị ta thu đồ thị hàm số Câu y = f ( x) = x - x + Từ đồ thị hàm số y = g ( x) = x + x + a) b) y = h ( x) = x - x + c) y = k ( x) =- x + x - y = l ( x) + = x- 11x +5 = 2x +1 x +1 , suy đồ thị hàm số sau y = l ( x) = x - 3x + d) Lời giải y = g ( x ) = x + x + = f ( - x) a) Ta có Vậy từ đồ thị hàm số y = f ( x) = x - x + y = g ( x) = x + x + ta lấy đối xứng qua trục tung đồ thị hàm số ìï f ( x) = x - 3x + x ³ y = h ( x) = x - x + = ïí ïï x + x + x < ỵ b) Ta có Hơn hàm số h ( x) hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung Trang 19 y = f ( x) = x - x + Do từ đồ thị hàm số sau: suy đồ thị hàm số y = h ( x) = x - x + y = f ( x) Giữ nguyên phần đồ thị hàm số bên phải trục tung Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số vừa giữ nguyên qua trục tung, ta toàn đồ thị hàm số y = h ( x) c) Ta có y = k ( x) =- x + 3x - =- ( x - 3x + 2) =- f ( - x) Vậy từ đồ thị hàm số số y = f ( x) = x - x + y = k ( x) =- x + 3x - ta lấy đối xứng qua trục hồnh đồ thị hàm ìï f ( x) = x - x + ï y = l ( x) = x - 3x + = ïí ïï - f ( x) =- ( x - 3x + ïỵ d) Ta có Do từ từ đồ thị hàm số sau: Câu y = f ( x) = x - x + x - x + ³ ) x - 3x + < suy đồ thị hàm số y = l ( x) = - x + x - Đồ thị hàm số y = f ( x) phần phía trục hồnh ta giữ ngun Đồ thị hàm số y = f ( x) phần phía trục hoành ta lấy đối xứng qua trục hoành Đồ thị hàm số 2 a) y =- x - suy từ đồ thị hàm số y = x - x + - 7x +6 x- y= y= - x + suy từ đồ thị hàm số 3x + b) Lời giải a) Đặt f ( x) = x - x + - x - =- ( x + 1) + ( x + 1) - =- f ( x + 1) Ta có 2 Vậy đồ thị hàm số y =- x - suy từ đồ thị hàm số y = x - x + cách tịnh tiến sang trái đơn vị, sau lấy đối xứng qua trục hoành ( - x) - - x + ( - x) + x- = = + = f ( - x) + f ( x) = - x + ( - x) + ( - x) + x + b) Đặt Ta có - 7x +6 x- y= y= - x + suy từ đồ thị hàm số 3x + cách tịnh tiến lên Vậy đồ thị hàm số đơn vị, sau lấy đối xứng qua trục tung Câu x x2 m2 x f x x 2 x x 1 Cho hàm số với m tham số Biết đồ thị hàm số cắt trục tung P f f 1 điểm có tung độ Hãy tính Lời giải Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Suy Trang 20 f 3 m 3 m 9