Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 34 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
34
Dung lượng
1,32 MB
Nội dung
C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định (a,b), x0 (a,b) Đạo hàm f x0 định nghĩa ký hiệu: f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 ) lim x x0 x x0 Gọi x = x – x0: Số gia x x0 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia y x0 y y ' lim x x 87 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm phía: - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: f ( x0 ) f lim x x f ( x0 ) f ' ( x0 ) lim x x ' ( x0 ) Định lý: f’(x0) tồn f’(x0+) = f’(x0-) Định lý: Nếu f có đạo hàm x0 f liên tục x0 Ví dụ: Xét đạo hàm tính liên tục f = |x| x0 = 88 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm khoảng, đoạn: - f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) có đạo hàm điểm khoảng đó, - f(x) có đạo hàm đoạn [a,b] có đạo hàm điểm khoảng (a,b), có đạo hàm phải a đạo hàm trái b Ví dụ: Tìm đạo hàm y = x2, y = sinx Ý nghĩa đạo hàm: • Hệ số góc tiếp tuyến x0 • Đường cong liên tục • Sự biến động y x tăng lên đơn vị 89 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm tổng thương tích hai hàm số: • (u + v)’ = u’ + v’ • (u.v)’ = u’v + v’u ' u u ' v v' u • (v 0) => (ku)’ = ku’ (k số) v v Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx Đạo hàm hàm số hợp: Cho u = u(x) có đạo hàm x0, hàm y = f(u) có đạo hàm u hàm hợp f(u) có đạo hàm x0 y’x = y’u.u’x Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x 90 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm hàm số ngược: Cho y = f(x) có đạo hàm x, f’(x) ≠ có hàm số ngược x = f-1(y) thì: 1 ' ( f )y ' fx Ví dụ, tìm đạo hàm y = arcsinx 91 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN (c)’ = Đạo hàm hàm số (x)’ = x-1 sơ cấp (ax)’ = axlna bản: (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx (tgx )' cos x (cot gx )' sin x Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x) (log a x )' x ln a (ln x )' x (arcsin x )' x2 (arccos x )' x2 ( arctgx )' x2 ( arc cot gx )' x2 92 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) gọi đạo hàm cấp Đạo hàm, có, đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2y d2 f , dx dx Tương tự, đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x) dny dn f , n dx dx n 93 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n: y = ex y = ax y = lnx y = x Một vài công thức: y sin x y (n) y cos x y (n) sin( x n ) cos( x n ) 94 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Cơng thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) (uv ) (n) n C nk u ( n k ) v ( k ) u(0) = u, v(0) = v k 0 95 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2 VI PHÂN Định nghĩa: Hàm số y = f(x) gọi khả vi x0 tồn A cho f = A.x + 0(x) Biểu thức df = A.x gọi vi phân f x0 Định lý: f(x) khả vi x0 f có đạo hàm f’(x0) = A Vi phân tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv u vdu udv d v v2 96 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị điểm x0 có đạo hàm điểm f’(x0) = Ví dụ: Xét đạo hàm x = 0: y = x3 , y = |x| Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau gọi chung điểm tới hạn f: a) Không tồn f’(x) b) f’(x) = Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = gọi điểm dừng f 106 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ cực trị: Định lý 1: Giả sử f khả vi (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương f(x) đạt cực tiểu x0 c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) khơng đổi dấu f(x) khơng đạt cực trị x0 Ví dụ: Tìm cực trị hàm số: y ( x 1) x 107 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Quy tắc tìm cực trị: 1.Tìm miền xác định Tính f’(x) Tìm f’(x)=0 khơng tồn f’(x) Lập bảng biến thiên Suy điểm cực trị Ví dụ: Tìm cực trị hàm số: y ( x 1) x 108 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm x0 f’(x) = a) Nếu f”(x0) > f(x) đạt cực tiểu b) Nếu f”(x0) < f(x) đạt cực đại Quy tắc tìm cực trị: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm x0 f’(x) = Tìm miền xác định Tính f’(x) Tìm nghiệm f’(x)=0, xi Tính f’’(x) f’’(xi) Dựa vào dấu f’’(xi) suy cực trị Ví dụ: Tìm cực trị hàm số: y = x – ln(1+x) 109 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT: Cho f(x) xác định D: • M gọi giá trị lớn y=f(x) tập D f(x) ≤ M với xD tồn x0D cho f(x0) = M • M gọi giá trị nhỏ y=f(x) tập D f(x) ≥ m với xD tồn x0D cho f(x0) = m 110 C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn nhất, bé hàm số [a,b]: Tính f điểm tới hạn [a,b] f(a), f(b) fmax (fmin) giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị tìm Ví dụ: tìm fmax ,fmin f(x) = x3 – 3x2 +1 [-1, 1] 111 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá C Cost Chi phí TC Total Cost Tổng chi phí R Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư L Labour Lao động FC Fix Cost Định phí VC Variable Cost Biến phí 112 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu: TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) = VC(Q) + FC • Hàm lợi nhuận : = TR - TC Ví dụ: Một qn bún bình dân, tính ngày bán tơ có lời với giá bán 5.000đ/tơ chi phí sau: Thuê mặt bằng, điện nước 50.000đ/ngày Bún 300đ/tơ Gia vị 200đ/tơ Thịt bị, heo Nhân viên 2.000đ/tô 500đ/tô 113 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ý nghĩa đạo hàm kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường thay đổi sản lượng tăng lao động hay vốn thêm đơn vị Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên doanh nghiệp cho nhận xét L=100 cho hàm sản xuất sau: Q5 L 114 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC đại lượng đo lường thay đổi chi phí sản lượng tăng lên đơn vị Ví dụ: Tìm MC MC Q = 50 cho nhận xét TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 115 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ MR đại lượng đo lường thay đổi doanh thu sản lượng hay giá tăng thêm đơn vị • Ví dụ: Một sản phẩm thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR p = 40 p = 30 116 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận: = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên đại lượng đo lường thay đổi lợi nhuận giá hay sản lượng tăng thêm đơn vị 117 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Hệ số co giãn: (Elasticity) • Lượng thay đổi tuyệt đối: x x • Lượng thay đổi tương đối: x • Hệ số co dãn: Đo lường thay đổi tương đối y phụ thuộc vào thay đổi tương đối x y y y x yx x x x y y x x yx lim y'( x) y x x y • Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 – 4P – P2 Tìm hệ số co dãn điểm P = 118 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận: = TR – TC = Px – TC(x) d d (TR TC ) dx dx d d (TR TC ) dx dx 119 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Ví dụ: Một cơng ty độc quyền, phịng kinh doanh cung cấp thơng tin: Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -8/7 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 120