Bài giảng Toán kinh tế 1: Chương 2 - ThS. Nguyễn Ngọc Lam

C2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các khái niệm HPTTT Crame Phương pháp Gauss HPTTT Thuần Một số ứng dụng 32 I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: Định nghĩa: hệ phương trình đại số bậc gồm m phương trình n ẩn có dạng:  a x1  a x2  a xn  b1 12 1n  11  a21x1  a22 x2  a2n xn  b2 (1)   a x  a x  a x  b mn n m  m1 m2 xj biến aij gọi hệ số (của ẩn) bi: gọi hệ số tự 33 I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  a11 a12 a1n   a21 a22 a2n  A Ma trận hệ số:    am1 am amn  Ma trận cột ẩn ma trận cột hệ số tự do:  x1  b1  x  b  2 2 T T   X   x1 x2 xn  B  b1 b2 bm      x  b   n  m Hệ phương trình (1) viết: AX = B 34 I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ma trận bổ sung:  a11 a12 a a22 21 A  ( A, b)    a  m1 am b1  b2    amn bm  a1n a2n Đây dạng viết tắt hệ PTTT 35 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình Crame hệ PTTT n phương trình, n ẩn det(A)0 2.2 Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm tính cơng thức: X = A-1B Aj xj  A Aj ma trận thu từ A cách thay cột thứ j cột phần tử tự 36 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Ví dụ: Giải hệ phương trình: x3   x1  x2    x1  x2  x3  2 x  x  x   3 37 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1 Định nghĩa: hệ PTTT tương đương có chung tập hợp nghiệm 3.2 Phương pháp: Nghiệm hệ PTTT không đổi nếu: Đổi chỗ hai phương trình hệ Nhân phương trình hệ với số thực k  Nhân phương trình hệ với với số thực sau cộng vào phương trình khác • Sử dụng phép biến đổi sơ cấp biến ma trận bổ sung ma trận bậc thang 38 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ: Giải hệ phương trình:  x1  x2  x3   x2  x3   x1   x  11 x  x    x1 3 x    x1  x1 2  x2  x2  x2  x3  x3  x3  x4  x4  x4     x2  24 x3  19 x4  39 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Hệ định lý Kronecker-Capelli: • r(A)  r(A,b): Hệ vơ nghiệm • r(A) = r(A,b): Hệ có nghiệm • r(A) = n: Hệ có nghiệm • r(A) = k < n: Hệ có vơ số nghiệm, k ẩn phụ thuộc n-k ẩn cịn lại Ví dụ: Xác định tham số a để hệ phương trình có nghiệm: ax1  x2  x3    x1  ax2  x3   x  x  ax  1 40 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.1 Định nghĩa:  a x1  a x2 12  11  a21x1  a22 x2   a x  a x  m1 m2  a1n xn   a2n xn   amn xn  4.2 Nghiệm hệ: • Hệ ln có nghiệm tầm thường X=(0,0,…0)T • Hệ có nghiệm khơng tầm thường hệ có vơ số nghiệm (r(A) (a1+b1)P = (a0+b0) Ví dụ: Một sản phẩm thị trường có thơng tin: Hàm cung : Qs = -1 + P Hàm cầu : Qd = - P 44 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Thị trường loại hàng hóa: • Sản phẩm 1: Q s1  a10  a11 P1  a12 P2 Qd1  b10  b11 P1  b12 P2 • Sản phẩm 2: Q s2  a 20  Qd  b20  a 21 P1  a 22 P2 b21 P1  b22 P2 Mơ hình cân bằng: Qs1  Qd1  Qs2  Qd 45 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Thị trường n loại hàng hóa: • Sản phẩm i: Qsi   ai1P1  P2   ain Pn  Qdi  bi  bi1P1  bi P2   bin Pn • Hệ phương trình cân bằng: QS1  QD1 Q  Q  S2 D2   QSn  QDn 46 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ: Giả sử thị trường có sản phẩm: Qs1  5  P1  P2  P3  Qd1   P1  P2  P3 Qs2  2  P1  P2  P3  Qd  10  P1  P2  P3 Qs3  1  P1  P2  P3  Qd3  14  P1  P2  P3 47 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.2.Mơ hình cân đối liên ngành (I/O): Giả sử quốc gia có nhiều ngành sản xuất Tổng cầu ngành: - Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách - Cầu tiêu dùng xuất (cầu cuối cùng): phục vụ cho hộ gia đình, phủ xuất Để không xảy tượng khủng hoảng thừa khủng hoảng thiếu ngành phải sản xuất theo nhu cầu kinh tế 48 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG xi : tổng cầu ngành i xịj : giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ ngành i mà ngành j làm yếu tố đầu vào di : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng xuất I/O … n x11 x21 x12 X22 … … … x1n x2n di d1 d2 xn1 xn2 … xnn dn 49 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Tổng cầu ngành i: xi  xi1  xi   xin  bi xi1 xi  x1  x1 Đặt: aij  xi x2   x2 xin xn  bi xn xij xj • aij: Để SX 1$ GTSP Nj mua Ni aij$ GTSP • Trong tổng GTSP Nj Ni tham gia vào aij100% 50 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Từ aij  xij xj   x1  a11x1  a12 x2   a1n xn  b1  x  a x  a x   a x  b  21 22 2n n    xn  an1x1  an x2   ann xn  bn (1  a11) x1  a12 x2   a1n xn  b1  a x  (1  a ) x   a x  b  21 22 2n n    an1x1  an x2  (1  ann ) xn  bn 51 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG  a11 a12 a21 a22 A   an1 an a1n  a2 n    ann   ( I  A ) X  B • A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp • aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật • Dịng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho ngành • Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua ngành • [I-A] ma trận Leontief 52 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ 1: Giả sử kinh tế có ngành, ma trận hệ số kỹ thuật sau: 0,2 0,3 0,2 A  0,4 0,1 0,2    0,1 0,3 0,2 1) Giải thích ý nghĩa số 0,4 ma trận A 2) Cho biết tỷ trọng giá trị gia tăng ngành đóng góp cho kinh tế 3) Biết mức cầu cuối b1=10,b2=5,b3=6 Hãy xác định mức tổng cầu ngành 53 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ: Giả sử kinh tế có ngành, thơng tin quan hệ trao đổi sau:  I / O N1 N N bi   N1 30 50 20 60     N 40 20 90 20  N 50 40 40 50    1) Hãy giải thích ý nghĩa số 90 ma trận 2) Hãy xác lập ma trận hệ số kỹ thuật kinh tế 3) Tìm giá trị gia tăng ngành 54