Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơ. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: véc tơ n – chiều; phép toán trên véctơ; không gian véctơ; sự độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính; hạng và cơ sở của hệ véctơ cơ sở của không gian ℝn;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Chƣơng VÉC TƠ BÀI 1: VÉC TƠ N – CHIỀU Các khái niệm Định nghĩa: Một véc tơ n chiều X n số thực 𝑥𝑖 đƣợc xếp theo thứ tự 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑥𝑖 đƣợc gọi thành phần thứ i vectơ X Véctơ không n chiều =(0, 0, …, 0) Véctơ đối véctơ X −𝑋 = (−𝑥1 , −𝑥2 , … , − 𝑥𝑛 ) Hai véctơ n chiều 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) nếu: 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , ∀𝑖 = 1, 𝑛 Phép toán véctơ Cho hai véctơ 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) Phép cộng: 𝑋 + 𝑌 = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ) Phép trừ: 𝑋 − 𝑌 = (𝑥1 − 𝑦1 , 𝑥2 − 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ) Nhân véctơ với số thực: 𝛼𝑋 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑥2 , … , 𝛼𝑥𝑛 ) 3 Không gian véctơ Định nghĩa: Tập hợp tất vectơ n chiều, xác định phép cộng hai véctơ phép nhân véctơ với số thỏa mãn tính chất đƣợc gọi khơng gian véctơ – n chiều Ký hiệu: ℝ𝑛 Ví dụ 1: Đƣờng thẳng không gian véctơ chiều ℝ1 Tập điểm mặt phẳng không gian véctơ chiều ℝ2 Tập điểm không gian không gian véctơ chiều ℝ3 BÀI 2: SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH Tổ hợp tuyến tính hệ m véctơ n chiều Cho m véctơ n chiều: 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 Một tổng có dạng: 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 , 𝜆𝑖 ∈ ℝ Đƣợc gọi tổ hợp tuyến tính m véctơ cho 2 Sự ĐLTT, PTTT hệ véc tơ a Định nghĩa: Hệ m véctơ n chiều {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 } đƣợc gọi phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 không đồng thời cho 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 = (*) Ngƣợc lại đẳng thức (*) xảy 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑚 = hệ véctơ độc lập tuyến tính b Ví dụ 2: Cho ba véctơ: 𝑋1 = 2, 𝑋2 = 1, 𝑋3 = 4, Xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ: a) {𝑋1 , 𝑋2 } b) {𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 } c Dấu hiệu nhận biết - Hệ gồm véc tơ ĐLTT véc tơ khác không - Hệ gồm véc tơ ĐLTT véc tơ khơng tỉ lệ - Hệ chứa véc tơ không hệ PTTT - Một hệ chứa hai véc tơ tỉ lệ PTTT - Một hệ PTTT có véc tơ hệ tổ hợp tuyến tính véc tơ cịn lại - Hệ có số véc tơ lớn số chiều PTTT BÀI 3: HẠNG VÀ CƠ SỞ CỦA HỆ VÉCTƠ CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN ℝ𝒏 1.Cơ sở hạng hệ véctơ Xét hệ m véctơ n chiều: {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 } Định nghĩa 1: Một hệ gồm k véctơ (k ≤ m) đƣợc gọi độc lập tuyến tính cực đại hệ ĐLTT thêm vào hệ véctơ số véctơ cịn lại hệ trở thành PTTT Định nghĩa 2: Mỗi hệ ĐLTT cực đại hệ véctơ gọi sở hệ véctơ Mỗi hệ véctơ có nhiều sở, nhƣng số véctơ sở nhƣ nhau, số gọi hạng hệ véctơ Kí hiệu: r{X1 , X2 , … , Xm } Ví dụ 3: Cho véctơ 𝑋1 = (1,2,3,0,4) 𝑋2 = (−1, 3,4,1,2) 𝑋3 = (0,5,7,1,6) Tìm sở hạng hệ véc tơ Định nghĩa 3: Trong không gian ℝn , hệ n véctơ độc lập tuyến tính gọi sở khơng gian ℝn Ví dụ 4: Trong ℝ𝑛 , n véctơ đơn vị: 𝑒1 = 1, 0, … , 𝑒2 = 0, 1, … , … 𝑒𝑛 = 0, 0, … 0, Lập thành sở ℝ𝑛 , gọi sở tắc 2 Biểu diễn véctơ theo sở Định lý: Mỗi véctơ hệ biểu diễn cách dƣới dạng tổ hợp tuyến tính vectơ sở hệ Ví dụ 5: Biểu diễn tuyến tính véctơ X = (5, -5, -6) qua véctơ 𝑋1 = (1,2,3) 𝑋2 = (−1, 3,4) Liên hệ hạng hệ véc tơ hạng ma trận Định lí: Hạng hệ m véc tơ n chiều hạng ma trận cỡ 𝑛 × 𝑚 tạo thành cách xếp liên tiếp véc tơ theo cột 4 Liên hệ hạng hệ véctơ tính ĐLTT, PTTT Định lý: Một hệ m véctơ n chiều {X1 , X2 , … , Xm } ĐLTT ⇔ r X1 , X2 , … , Xm = m Một hệ m véctơ n chiều {X1 , X2 , … , Xm } PTTT ⇔ r X1 , X2 , … , Xm < 𝑚 Ví dụ 6: Cho hệ véctơ: 𝑋1 = (1,2,3) 𝑋2 = (0, −1, −2) 𝑋3 = (3,5,7) 𝑋4 = (0,3,1) a Tìm 𝑟 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ? Hệ 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ĐLTT hay PTTT? b Tìm 𝑟 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4 Cách tìm sở hệ véctơ biến đổi sơ cấp Cho hệ m véctơ n – chiều Xếp m véctơ thành m cột ma trận A Biến đổi sơ cấp dòng ma trận đƣa ma trận dạng đặc biệt tam giác hình thang Tìm định thức cấp cao khác 0, sở gồm véc tơ cột định thức Ví dụ 7: Tìm hạng tìm tất sở hệ véctơ 𝑋1 = (1,3,4,5) 𝑋2 = (3,4,0, −1) 𝑋3 = (5,10,6,9) 𝑋4 = (1,3,3,5) ... gồm véc tơ ĐLTT véc tơ khác khơng - Hệ gồm véc tơ ĐLTT véc tơ khơng tỉ lệ - Hệ chứa véc tơ không hệ PTTT - Một hệ chứa hai véc tơ tỉ lệ PTTT - Một hệ PTTT có véc tơ hệ tổ hợp tuyến tính véc tơ. .. …, 0) Véctơ đối véctơ X −