Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1a - Nguyễn Văn Tiến (2017)

14/09/2017 CHƯƠNG Dãy số TỐN CHO TÀI CHÍNH • Dãy số: hàm số xác định tập số tự nhiên khác u : N*  R Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến n  u n  • Ta thường ký hiệu dãy số (un) • un gọi số hạng thứ n dãy Bài giảng Toán cao cấp Dãy số • Cho dãy số: u n   Dãy số n 1 2n  • 10 giá trị đầu dãy: • Ta có: u1  11  2; u2  1; u3  ; 2.1  • Hỏi: u100  ? u999  ? u9999999  ? • Khi n lớn giá trị dãy số bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Nhận xét: u n   n 1 2n  n 10 un 0.8 0.714285714 0.666666667 0.636363636 0.615384615 0.6 0.588235294 0.578947368 • Các giá trị tiếp theo: 100 101 un 0.507537688 0.507462687 9999 10000 0.500075011 0.500075004 10000000 100000000 1000000000 0.500000075 0.500000008 0.500000001 n 10^ Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa giới hạn dãy số • Dãy số (un) có giới hạn a nếu: • Chênh lệch (un) a nhỏ tùy ý n đủ lớn • Giá trị dãy ngày gần với số 0.5 • Khi n lớn chênh lệch dãy số 0.5 nhỏ (tại số hạng thứ tỷ chênh lệch 109) • Độ chênh lệch nhỏ tăng n lên nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn • Vậy ta nói giới hạn dãy số 0.5 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến   0, n  : n  n  un  a   nhỏ tùy ý n đủ lớn Chênh lệch • Ký hiệu: n  lim un  a hay un  a n  hay Bài giảng Toán cao cấp lim un  a Nguyễn Văn Tiến 14/09/2017 Ví dụ Ví dụ • Chứng minh: lim n  n 1  0,  2n  • Bước Lấy >0 • Bước Lập hiệu: un  a • Bước Tìm điều kiện n để: (nếu có) un  a   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Bước Chọn n0, viết lại dạng định nghĩa kết luận • Giải • Với >0 Ta có: n 1 un  a     2n  2 2n  1 3 1  2n    n      2  4  Ví dụ • Chọn • Số a không giới hạn dãy (un) nếu:   0, n0  : n1  n0 un  a   • Ta có: 3 1   0, n0     : n  n  un     2  lim un  n  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giới hạn vô cực dãy số • Ta nói dãy (un) tiến đến + khi: • Tồn >0 cho với n0 tồn n1>n0 để chênh lệch un1 a lớn  • Nói cách khác ln tồn khoảng cách dãy (un) a Độ chênh lệch (un) a nhỏ tùy ý 10 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giới hạn vơ cực dãy số • Ta nói dãy (un) tiến đến - khi: A  0, n0  : n  n0  un  A A  0, n  : n  n  un  A • (un) lớn số dương tùy ý n đủ lớn • Ký hiệu: lim un   n  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hệ 3 1 n      2  Vậy theo định nghĩa: Bài giảng Tốn cao cấp • (un) nhỏ số âm tùy ý n đủ lớn • Ký hiệu: lim un   n  11 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 12 Nguyễn Văn Tiến 14/09/2017 Tính chất Tính chất • Giới hạn dãy số có • Cho lim un ; lim tồn hữu hạn Khi đó: n  n  n  n    n  lim un  lim zn  a n  13 Nguyễn Văn Tiến n   zn n  n  Nguyễn Văn Tiến • Tìm giới hạn dãy số: sin n a)un  n 1 • Ta có:  un  b)vn  5n nn sin n  n2  n2  0 • Vậy: lim un   lim un  n  15 Nguyễn Văn Tiến n  16 Bài giảng Toán cao cấp Cấp số nhân xn 1  xn q, n  1, 2,3 • Ta có: xn  x1q n1 Sn  x1  x2   xn  • với q khơng đổi • q gọi cơng bội cấp số nhân • |q|