Bài giảng Toán cao cấp (Handout): Chương 4 - TS. Nguyễn Phúc Sơn

Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 19 tháng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính SilComputers Đề SilComputer cần xác định số lượng laptop desktop sản xuất quý tới Mục tiêu hãng tối đa hóa lợi nhuận Biết bán laptop lời $750 bán desktop lời $1000 Tuy nhiên, hãng bị ràng buộc sau: Mỗi máy tính cần CPU kho có 10,000 CPU Trong kho có 15,000 16MB memory chipset Mỗi laptop gắn 16MB desktop gắn 32MB Cần phút để ráp laptop phút để ráp desktop Tổng số phút lao động 25,000 phút Tìm lời giải tối ưu cho toán Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Mơ hình Đặt x1 số laptops định sản xuất x2 số desktops định sản xuất (decision variables) Hàm mục tiêu: z = 750x1 + 1000x2 (objective function) Các ràng buộc: (Đơn vị: 1000) (constraints) x1 + x2 ≤ 10 x1 + 2x2 ≤ 15 4x1 + 3x2 ≤ 25 Ràng buộc tự nhiên dấu x1 , x2 ≥ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Thuật ngữ Phương án (PA): Mỗi giá trị (α1 , α2 ) (x1 , x2 ) thỏa mãn tất ràng buộc gọi phương án (feasible solution) Tập phương án hay miền ràng buộc: Tập hợp tất phương án toán (feasible region) Phương án tối ưu (PATU): PA (α1 , α2 ) làm cho hàm mục tiêu z đạt max gọi PATU Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Lời giải hình học Ràng buộc Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Lời giải hình học (tt) Miền ràng buộc Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Lời giải hình học (tt) Lời giải Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Lời giải hình học (tt) Từ hình vẽ, ta thấy PATU xảy giao điểm đường thẳng x1 + 2x2 = 15 4x1 + 3x2 = 25 Từ PATU (1, 7) tương ứng với lợi nhuận tối đa z = $7, 750, 000 Nhận xét PATU xảy biên miền ràng buộc Trong phần lớn trường hợp, PATU xảy đỉnh đa diện ràng buộc Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Dạng tổng quát (Dạng (G)) Yêu cầu: Tất ràng buộc hàm mục tiêu phương trình hay bất phương trình tuyến tính biến số Ví dụ f= x1 + 2x2 − 5x3 + 3x4 − 2x5 + 5x6 2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 − 3x5 + 4x6    x1 + 3x2 − 2x3 + 6x4 − 4x5 + 2x6 3x − 2x2 + 3x3    x1 ≥ 0, x2 ≤ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn −→ =4 ≤6 ≥5 Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Dạnh tắc - Dạng (C) Yêu cầu: Tất rang buộc dạng phương trình tất biến khơng âm Ví dụ f = x1 + 2x2 − 5x3 + 3x4 −→ max   2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = x1 + 3x2 − 2x3 + 6x4 =  xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, Lưu ý Mọi toán max f tương đương với −f Mọi dạng (G) biến đổi dạng (C) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Dạnh tắc chuẩn - Dạng (N) Yêu cầu: Giả sử dạng tắc có hệ ràng buộc với m phương trình Khi đó, ta nói dạng tắc chuẩn Mỗi phương trình có vế phải không âm Ma trận hệ số chứa ma trận sơ cấp đơn giản cấp m (tức ma trận có từ Im cách đổi chỗ dịng) Lưu ý: Yếu cầu nói hệ phương trình ràng buộc độc lập (hay nói cách khác ta bỏ ràng buộc mà khơng làm thay đổi nghiệm tốn) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Phương án cực biên (PACB) Định nghĩa Đối với toán (G): Một PA x ? = (x1? , , xn? ) gọi PACB thỏa mãn dấu “=" với n ràng buộc, có n ràng buộc độc lập tuyến tính, nghĩa ma trận hệ số n ràng buộc có hạng n Đối với toán (C): Một PA x ? = (x1? , , xn? ) gọi PACB hệ cột ma trận hệ số ứng với xj? > lập thành hệ độc lập tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Trở lại ví dụ SilComputer Bảng đơn hình bắt đầu Biến sở Hệ số PACB sở x3 10 x4 15 x5 25 Bảng 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn x1 -0,75 1 0,75 x2 -1 x3 0 x4 0 0 Chương 4: Quy hoạch tuyến tính x5 0 λi 10 15/2 25/3 Ví dụ (tt) Vị trí xuất phát Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Trở lại ví dụ SilComputer (tt) Biến sở x3 x2 x5 Bảng Hệ số sở -1 PACB 2,5 15/2 2,5 -15/2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn x1 -0,75 0,5 1/2 5/2 1/4 x2 -1 0 x3 0 x4 -0,5 1/2 -3/2 -1/2 Chương 4: Quy hoạch tuyến tính x5 0 λi 15 Ví dụ (tt) Sau bước Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Trở lại ví dụ SilComputer (tt) Biến sở x3 x2 x1 Bảng Hệ số sở -1 -0,75 PACB -7,75 x1 -0,75 0 x2 -1 0 x3 0 x4 1/4 5/4 -3/5 -4/5 Lời giải tối ưu Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính x5 -1/5 -1/5 2/5 -1/10 λi Ví dụ (tt) Nghiệm tối ưu Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Vơ số nghiệm - Vơ nghiệm Vơ số nghiệm Dấu hiệu tốn vơ số nghiệm: Khi kiểm tra điều kiện tối ưu, ∆j ≤ (đối với toán MIN) đồng thời môt ∆j = ứng với biến phi sở xj tốn có vơ số nghiệm Ví dụ x1 + x2 −→ max   2x1 + x2 ≤ x1 + 2x2 ≤  x1 , x2 ≥ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính Vơ nghiệm tối ưu Khi chọn biến vào (từ phi sở thành sở) không chọn biến (từ sở thành phi sở) tốn vơ nghiệm tối ưu (lưu ý: Đây trường hợp miền ràng bc khơng bị chặn nên có phương án khả thi) Ví dụ 2x  + x2 −→ max  −x1 + x2 ≤ x1 − 2x2 ≤  x1 , x2 ≥ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 4: Quy hoạch tuyến tính