Bài giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học): Phần 2 - TS. Trần Ngọc Hội

CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN A-TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Định nghĩa nguyên hàm Hàm số F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) F′(x)= f(x), ∀ x∈(a,b) Ví dụ 1) x nguyên hàm x3 R 2) cosx nguyên hàm − sinx R Khi nói đến nguyên hàm f(x) mà không rõ khoảng (a,b) ta hiểu ngun hàm f(x) khoảng xác định f(x) 1.2 Định lý Cho F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) Khi 1) Với số C, F(x) + C nguyên hàm f(x) (a, b) 2) Ngược lại, nguyên hàm f(x) (a,b) có dạng F(x) + C 1.3 Định nghĩa tích phân bất định Tập hợp tất nguyên hàm f(x) gọi tích phân bất định hàm f(x), ký hiệu ∫ f (x)dx Nếu biết F(x) nguyên hàm f(x) thì: ∫ f (x)dx = F(x) + C Ví dụ ∫ x4 x dx = + C; ∫ sin xdx = − cos x + C 1.4 Tính chất 1) Nếu f(x) có ngun hàm ( ∫ f (x)dx )′ = f (x) 2) 2)∫ f ′(x)dx = f (x) + C 3) Với k số, ta có ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx + C 4) ∫ [f (x) + g(x)]dx =∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx 59 1.5 Bảng tính phân α ∫ x dx = ∫ x α +1 +C α +1 (-1 ≠ α : Const) dx = − +C x x ∫ dx = x ∫ dx = ln | x | + C x x +C x x ∫ e dx = e + C ax ∫ a dx= ln a +C (0 < a ≠ 1: Const) ∫ sinxdx = ∫ cosxdx = sinx dx ∫ cos2 x x − cosx + C ∫ (1 + tg = ∫ cot gxdx = + C = a rcsin a2 − x2 x + C a ∫ dx x = arctg + C +x a a (0 ≠ a: Const) ∫ dx x − a dx x2 + h dx ∫ a2 − x2 2 x)dx ln | sin x | + C = n x + x2 + h + C (h: Const) (0< a: Const) ∫a = − cot gx + C ∫ tgxdx = − ln | cos x | ∫ dx ∫ sin x = ∫ (1+ cotg x)dx = tgx +C dx +C x+a +C ln 2a x−a (0 ≠ a: Const) x − a ln 2a x + a = = + C (0 ≠ a:Const) ∫ a − x2 dx = ∫ x + h dx = 1 x x a − x + a a rcsin + C 2 a 1 x x + h + h.ln | x + 2 x + h | +C (0 < a : C o n st) (h: Const) Chú ý Nếu ∫ f (x)dx = F(x) + C với a ≠ b số, ta có ∫ f ( ax + b ) dx = a F(ax + b) + C Ví dụ ∫ e3x −4dx = 3x − e + C 60 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2.1 Phương pháp phân tích Muốn tính tích phân bất định hàm số f(x) ta dùng tính chất tích phân phân tích f(x) để đưa tích phân cần tính dạng tích phân Ví dụ Tính tích phân sau: 1) 2) ∫ x +1 x x4 dx = ∫ x2 + dx = = 3) 1/ ∫x ∫ dx + ∫ xdx= x4 − 16 + 16 x +4 x x + x + C dx = ∫ (x − + 16 x +4 )dx = ∫ x 2dx − ∫ dx + 16∫ dx x +4 x x − 4x + arctg + C 1 ∫ sin 5x.sin 3xdx = ∫ (cos 2x − cos 8x)dx = ∫ cos 2xdx − ∫ cos 8xdx = 4) ∫ sin2 2x dx = 5) ∫ (1 + 2x 6) ∫ (1 + 2x) ∫ 1 sin 2x − sin 8x + C 16 − cos 4x 1 dx = ∫ (1 − cos 4x)dx = x − sin 4x + C 2 2 ) dx = ∫ (1 + 4x + 4x )dx = x + 10 dx = 4 x + x +C 1 (1 + 2x)11 + C = (1 + 2x)11 + C 11 22 2.2 Phương pháp đổi biến số Đổi biến số dạng 1: Giả sử tích phân có dạng: I = u'(x) liên tục Đặt t = u(x) ⇒ dt = u'(x)dx Ta có I= ∫ f [u(x)] u '(x)dx , u(x) ∫ f [u(x) ] u '(x)dx = ∫ f (t)dt (1) Tính tích phân sau (1) theo t, sau thay t = u(x) để suy I Đổi biến số dạng 2: Xét tích phân I = ∫ f (x)dx Đặt x = ϕ(t), ϕ(t) có đạo hàm −1 ϕ '(t) liên tục x = ϕ (t) có hàm ngược t = ϕ (x) Khi dx = ϕ '(t)dt I = ∫ f (x)dx = ∫ f[ϕ(x)] ϕ′ (t)dt (2) Tính tích phân sau (2) theo t, sau thay t = ϕ−1(x) để suy I Ví dụ Tính tích phân sau: 1) I = ∫ x2 (3 + 2x3 )4dx 61 Đặt t = + 2x ⇒ dt = 6x 2dx ⇒ x 2dx = I = ∫ t4 Suy 2) I = dt t5 (3 + 2x3 )5 dt = +C= + C 30 30 2x + ∫ x2 + x − dx Đặt t = x2 + x − ⇒ dt = (2x + 1)dx Suy I= 3) I = I= ∫x ∫ dt = ln t + C = ln x2 + x − + C t xdx Ta có +x−3 2x + 1 dx 1 dx − ∫ = ln| x + x − 3| − J ∫ 2 x +x−3 x +x−3 2 J Xét J = ∫x dx Ta có +x−3 13 x + x − = (x + )2 − Suy J = = ∫ dx = x +x−3 13 ln ∫ dx = 13 (x + ) − 2x + − 13 2x + + 13 ∫ ) ⎛ 13 (x + ) − ⎜ ⎜ 2 ⎝ d(x + − n = 13 ⎞ x+ + ⎟ 2 ⎟ ⎠ x+ + C Vậy I= 4) I = ∫ xdx 1+ x 1 2x + − 13 ln| x + x − 3| − ln + C 2 13 2x + + 13 Đặt t = x2 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = dt Suy 62 13 +C 13 I= I = dt 1 = ln t + + t + C = ln x + + x + C ∫ 2 + t2 ln2 x + 5) I = ∫ dx x ln x Đặt t = lnx ⇒ dt = I= I=∫ 6) I = I= ∫ 7) I = Suy t2 + 1 t2 ln x dt = ∫ (t + )dt = + ln t + C = + ln ln x + C t t 2 ∫ Đặt t = dx x 3x + 4x + dx 4x + ⇒ x = t2 − 1 ⇒ dx = tdt Suy t2 − +5 17 t 17t 17 tdt = ∫ ( t + )dt = + = (4x + 1)3 + 4x + + C t 8 8 8 ∫ a − x dx (0 < a: Const) π π Đặt x = asint, ⎛⎜ − ≤ t ≤ ⎞⎟ ⇔ t = arc sin x Khi ⎝ 2⎠ a a − x2 = a|cos t|= a cos t;dx = a cos tdt Suy I = ∫ a cos2 tdt = 1 1 a ∫ (1 + cos 2t )dt = a (t + sin 2t) + C = a t + a sin 2t + C 2 2 Mặt khác, 1 a sin 2t = a sin t cos t = a sin ta cos t = x a − x 2 Vậy I= x a arc sin + x a − x2 + C a 2.3 Phương pháp tích phân phần Cho hàm số u = u(x) v= v(x) co1ca1c đạo hàm u′ = u′(x) v′ = v′(x) liên tục Khi (uv)′ = u′v + uv′ nên uv′= (uv)′ − vu′ Suy ∫ uv′dx = ∫ (uv)′dx −∫ u′vdx = uv − ∫ u′vdx Ta chứng minh cơng thức tích phân phần: 63 ∫ uv′dx = uv − ∫ vu′dx Ta cịn viết cơng thức dạng: ∫ udv = uv − ∫ vdu Chú ý 1) Để tính ∫ g(x)h(x)dx phương pháp tích phân phần có cách đặt: ⎧ u = g(x) ⇒ ⎨ ⎩dv = h(x)dx ⎧⎪du = g′(x)dx ⎨ ⎪⎩ v = ∫ h(x)dx (thường chọn C = 0) ⎧ u = h(x) ⇒ ⎨ ⎩dv = g(x)dx ⎧⎪du = h′(x)dx ⎨ ⎪⎩ v = ∫ g(x)dx (thường chọn C = 0) Ta thường chọn cách đặt để tính ∫ vdu 2) Đối với số tốn, sau áp dụng tích phân phần, ta mộ hệ thức có dạng ∫ f (x)dx = F(x) + α ∫ f (x)dx, (1 ≠ α : Const) Khi ∫ f ( x ) dx = − α F(x) + C 3) Các tích phân sau dược tính phương pháp tích phân phần với cách đặt tương ứng (ở p(x) đa thức theo x có a số): LOẠI CÁCH ĐẶT ∫ p(x) sin axdx, ∫ p(x) cos axdx, ∫ p(x)e dx, ∫ p(x) ln axdx, ∫ p(x)arctgaxdx, ∫ p(x) arcsin axdx, ax u = p(x); dv = sinaxdx (cosaxdx, eaxdx,…) u = lnax (arctgax,arcsinax,…); dv = p(x)dx Ví dụ Tính tích phân sau: ⎧u = x ⎧du = dx ⇒⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x 1) I = ∫ x cos x dx Đặt ⎨ Suy I = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C ⎧u = x ⎧du = dx ⎪ 2) I = ∫ Đặt ⎨ dx ⇒ ⎨ sin x ⎩ v = − cot gx ⎪⎩dv = sin2 x x dx Suy 64 I = − x cot gx + ∫ cot gx dx = − x cot gx + ∫ cos x d(sin x) dx = − x cot g x + ∫ = − x cot g x + ln sin x + C sin x sin x ⎧⎪du = cos x dx ⎧⎪u = sin x ⇒ ⎨ 3) I = ∫ ex sin x dx Đặt ⎨ ⎪⎩ v = e x ⎪⎩dv = e x dx I = ex sin x − ∫ ex cos xdx Suy I1 ⎧⎪du = − sin x dx ⎧⎪ u = cos x ⇒ ⎨ ⎪⎩ v = e x ⎪⎩dv = e x dx Tính I1 : Đặt ⎨ I1 = ex cos x + ∫ ex sin x dx = ex cos x + I Vậy Suy I = e x sin x − e x cos x − I Từ I = x e (sin x − cos x) + C dx ⎧ du = ⎪ ⎧ u = ln x ⎪ x ⇒⎨ 4) I = ∫ x α ln xdx (−1 ≠ α : Const) Đặt ⎨ α α+1 Ta có ⎩dv = x dx ⎪v = x α +1 ⎩⎪ I= x α+1 x α+1 dx x α+1 xα x α+1 x α+1 = +C ln x − ∫ ln x − ∫ dx = ln x − α +1 α +1 x α +1 α +1 α +1 (α + 1)2 ⎧ ⎪ u = x2 5) I = ∫ x e dx Đặt ⎨ 3x ⎪⎩dv = e dx 3x I= ⎧du = 2xdx ⎪ ⇒⎨ e 3x Suy v = ⎪⎩ x2e3x − ∫ xe3xdx 3 I1 ⎧ ⎧ du = dx ⎪ u=x ⎪ 3x Tính I1: Đặt ⎨dv = e 3x ⇒ ⎨v = e Ta có ⎪⎩ ⎪⎩ I1 = xe3x 3x xe3x 3x − ∫ e dx = − e +C 3 Vậy 65 I = x 2e3x xe3x 3x 3x − ( − e )+ C = e (9 x − x + 2) + C 3 27 dx ⎧ ⎪⎪du = + x ⇒⎨ Ta có ⎪v = + x ⎪⎩ ⎧u = arc tgx 6) I = ∫ x arc tg x dx Đặt ⎨ ⎩dv = x + x2 + x2 dx + x2 I= arctgx − ∫ = arctgx − x + C 2 + x2 2 7) I = ∫ a2 − x2 dx (0 < a: Const) ⎧ xdx ⎪du = − ⇒⎨ a − x2 Ta có ⎪ ⎩v = x ⎧⎪u = a − x2 Đặt ⎨ ⎩⎪dv = dx ⎛ x2 I = x a − x2 − ∫ ⎜ − ⎜ a − x2 ⎝ = x a − x2 − ∫ ⎞ (a − x ) − a 2 − − dx = x a x ⎟⎟ ∫ a − x2 dx ⎠ dx x = x a − x + a arcsin − I a − x dx + a ∫ a a − x2 Suy I = 8)I = ∫ 1 x x a − x + a a rc sin + C 2 a x + h dx = (h: Const) ⎧⎪u = x2 + h Đặt ⎨ ⎩⎪dv = dx I = x x2 + h − ∫ ⎧ xdx ⎪du = ⇒⎨ x2 + h Ta có ⎪v = x ⎩ x2 x2 + h dx = x x + h − ∫ = x x2 + h − ∫ x + hdx + h ∫ dx x2 + h (x + h) − h x2 + h dx = x x + h + h.ln| x + x + h | −I Suy I = x x2 + h + h ln | x + 66 x + h | + C TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 3.1 Tích phân phân thức đơn giản Xét tích phân có dạng sau: Ik = ∫ A (x − a) k ∫ A (x − a) k Mx + N (x + px + q ) dx , m ; k , m nguyên dương p2 – 4q < A, M, N, a, p, q ∈ 1) Ik = ∫ dx , J m = dx tính sau: A I1 = ∫ x − a dx = A ln x − a + C I2 = ∫ A (x − a) ∫ 2) Tính tích phân J1 = k dx = − A ( k − 1)( x − a ) Mx + N (x + px + q ) +C k −1 (k > 1) dx : m ⎛ ⎛ p⎞ p2 ⎞ x + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ 2⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Ta có Vì p2 – 4p < nên q − p2 p2 > Đặt a = q − Thực đổi biến 4 t=x+ Ta có x2 + px + q = t2 + a2 Mx + N = Mt + ⎛⎜ N − ⎝ J1 = ∫ Mx + N x + px + p ( dx = d t2 + a2 ∫ Mp ⎞ ⎛ Mt + ⎜ N − ⎟ ⎠ ⎝ dt t2 + a2 ) + ⎛⎜ N − Mp ⎞⎟arctg t + C p ⇒ dt = dx Mp ⎞ ⎟ Do ⎠ M = M 1⎛ Mp ⎞ t ln t + a + ⎜ N − ⎟arctg + C a⎝ ⎠ a ∫ 2tdt t +a ( = M = M 2N − Mp 2x + p ln x + px + q + arctg +C 2 4q − p 4q − q ∫ t +a ( a⎝ ⎠ a ) 3) Tính tích phân J m = ∫ Mx + N ( x + px + q ) m dx (m > 1): Biến đổi giống J1 ta 67 Mp ⎞ dt ⎛ + ⎜N − ⎟∫ 2 ⎠ t + a2 ⎝ = ) Jm = ∫ ( Mx + N x2 + px + q ) m ⎛ Mp ⎞ Mt + ⎜ N − ⎟ ⎠ ⎝ 2tdt dt = M dx = ∫ m ∫ 2 t2 + a2 t +a ( ) ( ) m ⎛ Mp ⎞ dt + ⎜N − ⎟∫ ⎠ t2 + a2 ⎝ ( Km ) m Lm Ta tính Km cách đổi biến u = t + a ⇒ du = 2tdt Km = Ta tính Lm = ∫ (t ∫ (t 2 2tdt = + a )m ∫ (t ⎧ ⎪u = (t + a )m ⎨ ⎪dv = dt ⎩ Lm = m = −1 1 +C= − + C m −1 (m − 1)u (m − 1)(t + a )m −1 dt công thức truy hồi sau: + a )m 4) Tính tích phân Lm = Đặt du ∫u (t t +a ) m dt + a )m (m nguyên dương) ⎧ 2mt dt ⎪du = − ⇒⎨ (t + a ) m +1 Ta có ⎪ v=t ⎩ + 2m ∫ (t t2 +a ) m +1 dt , L (t + a ) − a L=∫ dt = (t + a ) m +1 ∫ (t dt dt − a2 ∫ = L m − a L m +1 m m +1 +a ) (t + a ) Do Lm = t + 2mLm − 2ma 2Lm +1 2 m (t + a ) Suy Lm +1 = t 2m − 1 L + 2 m 2m a m 2ma (t + a ) Đây công thức truy hồi để tính Lm, L1 = dt t = arctg + C ∫ t2 + a2 a a 3.2 Tích phân hàm hữu tỉ Hàm hữu tỉ hàm số có dạng: P(x) b + b1 x + + b m x m = f ( x) = Q ( x) a + a x + + a n x n 68 (1) 4.2 Định lý Cho phương trình f(x,y) = 0, f(x,y) hàm hai biến có đạo hàm riêng liên tục D ⊂ R2 (x0,y0)∈ D nghiệm phương trình Khi đó, f y′ (x , y ) ≠ với số ε > đủ nhỏ, tồn δ > cho: 1) Với x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), phương trình f(x,y) = có nghiệm y = y(x) ∈ (y0 − ε, y0 + ε) 2) Hàm số y = y(x) hàm ẩn xác định phương trình f(x,y) = có đạo hàm (x0 -δ, x0 + δ) định bởi: y′(x) = − f x′ (x, y) f y′ (x, y) với y = y(x) Ví dụ Cho phương trình 2y – siny − 2x = Tính đạo hàm hàm ẩn y = y(x) xác định phương trình x0 = (ĐS: 2) Giải Đặt f(x,y) = 2y – siny − 2x Ta có f x′ = −2; f y′ = − cos y Suy y′(x) = − f x′ = ′ f y − cos y Tại x = x0 = ta có 2y – siny = nên y = y0 = Do y′(0) = 2 = = 2 − cos y − cos 4.3 Định lý Cho phương trình f(x,y,z) = 0, f(x,y,z) hàm ba biến có đạo hàm riêng liên tục D ⊂ R3 (x0,y0,z0)∈ D nghiệm phương trình Khi đó, fz′ (x0 , y0 , z0 ) ≠ với số ε > đủ nhỏ, tồn δ > cho: 1) Với (x,y) ∈ (x0 − δ, x0 + δ)×(y0 − δ, y0 + δ), phương trình f(x,y,z) = có nghiệm z = z(x,y) ∈ (z0 − ε, z0 + ε) 2) Hàm số z = z(x,y) hàm ẩn xác định phương trình f(x,y,z) = có đạo hàm riêng (x0 − δ, x0 + δ)×(y0 − δ, y0 + δ) định bởi: f y′ (x, y, z) f ′ (x, y, z) z′x (x, y) = − x , z′y (x, y) = − , fz′ (x, y, z)) f z′ (x, y, z) với z = z(x,y) Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp 1, hàm ẩn hàm ẩn z = z(x,y) xác định phương trình: a) xyz = x + y + z; b) x + y + z = ez; c) x/z = ln(z/y) + Giải Sử dụng cơng thức ta tính được: 106 yz − xz − 2y(yz − 1) ; z′y = − ; z′′x2 = ; xy − xy − (xy − 1)2 2x(xz − 1) xyz − x − y + z z′′y = ; z′′xy = (xy − 1) (xy − 1)2 a)z′x = − b)z′x = z′y = ez ′′ ; z = − = z′′ = z′′ xy y ez − x (ez − 1)3 c)z′x = z z2 ′ ; zy = ; x+z y(x + z) z′′x2 = − z2 x2z2 xz2 ′′ ′′ ; z ; z = = − xy (x + z)3 y y (x + z)3 y(x + z)3 VI PHÂN Cho hàm f = f(x, y) có đạo hàm riêng liên tục điểm M0(x0,y0) Khi với Δx, Δy bé, ta có: f(x0+Δx,y0+Δy) − f(x0,y0) = fx'(x0,y0)Δx + fy'(x0,y0)Δy + o(ρ) 0(ρ) 2 = , nghĩa o(ρ) VCB cấp cao ρ ρ → ρ = Δx + Δy lim ρ→0 ρ 5.1 Vi phân toàn phần Đặt df(x0,y0) = fx'(x0,y0)Δx + fy'(x0,y0)Δy Ta gọi df(x0,y0) vi phân toàn phần f(x,y) (x0,y0) Tổng quát, vi phân toàn phần của f(x,y) định bởi: df = fx'Δx + fy'Δy Chú ý với g(x,y) = x, ta có: dg = gx'Δx + gy'Δy = Δx Do dx = Δx Tương tự, dy = Δy Do vi phân tồn phần f(x,y) có biểu thức sau: df = f x′ dx + f y′ dy Khi Δx Δy bé, ta có: f(x0+Δx,y0+Δy) − f(x0,y0) ≈ fx'(x0,y0)Δx + fy'(x0,y0)Δy Suy công thức tính gần đúng: f(x + Δx, y + Δy) ≈ f(x0 ,y ) + df(x0 ,y ) 107 Ví dụ Cho z = xy Tìm dz; dz(2,3) Tính gần A = 2,022,97 Giải: • dz = zx′dx + zy′dy = yxy–1dx + xylnxdy • dz(2,3)= 3.23–1dx + 23ln2dy = 12dx + 8ln2dy • Đặt (x0,y0) = (2,3); (Δx;Δy) = (0,02;-0,03) Theo cơng thức tính gần đúng, ta có: A = z(x0+Δx,y0+Δy) ≈ z(x0,y0) + dz(x0,y0) ≈ z(2,3) + dz(2,3) ≈ + 12.0,02 + 8.ln2.(−0,03) ≈ 8,24 − 0,24ln2 5.2 Vi phân cấp Vi phân cấp hàm f(x, y), ký hiệu d2f, vi phân vi phân toàn phần nó, nghĩa d2f = d(df) Ta có: d2f = d(fx'dx + fy'dy) = (fx'dx + fy'dy)x'dx + (fx'dx + fy'dy)y'dy " " " = (fx')x'dx2 + (fy')x'dydx + (fx')y'dxdy + (fy')y'dy2 = f x2 dx + 2f xy dxdy + f y2 dy Vậy: ′′ dxdy + f y′′2 dy d f = f x′′2 dx + 2f xy hay ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f df =⎜ dx + dy ⎟ f = dx + dxdy + dy ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ 5.3 Vi phân cấp n Vi phân cấp n hàm f(x, y), ký hiệu dnf, vi phân vi phân cấp n-1 nó, nghĩa dnf = d(dn−1f) Tổng qt, ta có cơng thức tính vi phân cấp n trường hợp đạo hàm riêng liên tục sau: n ⎛ ∂ ∂ ⎞ d f =⎜ dx + dy ⎟ f = ∂y ⎝ ∂x ⎠ n n ∑ k =0 Cnk ∂ nf dx n − k dy k n−k k ∂x ∂y Ví dụ Cho z = 2x3cos2y – 3x2 + y2 Tìm vi phân cấp z Giải Với z = 2x3cos2y – 3x2 + y2, ta có: • z′x = 6x2cos2y – 6x 108 • z′y = – 2x sin2y + 2y • z′′x2 = 12xcos2y – • z′′xy = – 6x2sin2y • z′′y2 = – 4x3cos2y + Suy ra: d 2z = z′′x2 dx + 2z′′xy dxdy + z′′y2 dy = (12xcos2y–6)dx2–12x2sin2ydxdy+(–4x3cos2y+2)dy2 CỰC TRỊ 6.1 Định nghĩa Xét hàm f(x,y) Ta nói f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) M0(x0,y0) với điểm M(x,y) gần M0(x0,y0), M ≠ M0, ta có: f(x, y) < f(x0,y0) [f(x, y) > f(x0,y0)] Cực đại hay cực tiểu gọi chung cực trị 6.2 Cách tìm cực trị: Qui tắc tìm cực trị hàm f(x,y) gồm bước sau: Bước 1: Tìm điểm dừng: ⎧⎪ f x′ = 0; ⎪⎩ f y′ = Giải hệ ⎨ Mỗi nghiệm (x0,y0) hệ gọi điểm dừng f(x,y) Bước 2: Tìm đạo hàm riêng: ′′ ; C := f y′′2 A := f x′′2 ; B := f xy Đặt Δ = B2 – AC Bước 3: Xác định cực trị: Với điểm dừng M0(x0,y0) tìm Bước 1, xét: Δ = Δ(x0,y0); A = A(x0,y0) Ta có: Δ>0 Δ0 f không đạt cực trị M0(x0,y0) f đạt cực tiểu M0(x0,y0) A nên z khơng đạt cực trị M1(0,0) • M2(2,2): Δ = 36(1–xy) = –108 < 0; A = 6x = 12 > nên z đạt cực tiểu M2(2,2) với z(2,2) = – CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 7.1 Định nghĩa Xét hàm f(x,y) Ta nói f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) M0(x0,y0) với điều kiện: ϕ(x,y) = (*) hai tính chất sau thỏa: 1) Điểm M0(x0,y0) có tọa độ thỏa (*), nghĩa ϕ( x0,y0) = 2) Với điểm M(x,y) có tọa độ thỏa (*), gần M0(x0,y0), M ≠ M0, ta có: f(x, y) < f(x0,y0) [f(x, y) > f(x0,y0)] Cực đại có điều kiện hay cực tiểu có điều kiện gọi chung cực trị có điều kiện 7.2 Cách tìm cực trị có điều kiện: Để tìm cực trị hàm f(x,y) với điều kiện: ϕ(x,y) = ta có phương pháp: 110 (*) 1) Phương pháp thế: Từ (*) ta tính y theo x (hoặc x theo y) vào f(x,y) ta hàm biến Cực trị hàm biến cho ta cực trị có điều kiện f(x,y) Ví dụ : Tìm cực trị hàm z = x2 + y2 thỏa điều kiện ràng buộc x + y = 10 (*) Giải Từ điều kiện (*) ta suy ra: y = 10 – x Thế vào z ta hàm biến: z1 = x2 + (10 – x)2 = 2x2 – 20x + 100 Hàm z1 đạt cực tiểu x = với z(5) = 50 Do đó, với điều kiện (*), z đạt cực tiểu (x,y)=(5,5) với z(5,5) = 50 2) Phương pháp nhân tử Lagrange: Phương pháp nhân tử Lagrange gồm bước sau: Bước 1: Lập hàm Lagrange: Lλ(x,y) = f(x,y) + λϕ (x,y), Trong λ tham số thực, gọi nhân tử Lagrange Bước 2: Xác định điểm dừng nhân tử: ⎧ ∂Lλ ⎪ ∂x = f x′ (x, y) + λϕ′x (x, y) = 0; ⎪ ⎪ ∂Lλ = f y′ (x, y) + λϕ′y (x, y) = 0; ⎨ Giải hệ ⎪ ∂y ⎪ϕ(x, y) = ⎪ ⎩ tìm tất điểm dừng với giá trị tương ứng nhân tử λ Bước 3: Tìm vi phân cấp 2: ∂ 2Lλ ∂ 2Lλ ∂ 2Lλ d Lλ = dx + dxdy + dy 2 ∂x ∂x∂y ∂y Bước 4: Xác định cực trị có điều kiện: Với điểm dừng M0(x0,y0) với nhân tử λ0 tìm Bước 2, xét: D = d L λ0 (x , y ) dx, dy thỏa ràng buộc biểu thị phương trình: dϕ(x , y ) = hay ϕ′x (x , y )dx + ϕ′′y (x0 , y )dy = (**) Ta có: Cho dx, dy thay đổi, không đồng thời thoả (**) Khi 111 D khơng đổi dấu dx, dy D > thay đổi D với dx, dy không đồng thời thỏa (**) Do đó, z đạt cực tiểu M1(– 1,–2) với điều kiện (*), z(–1,–2) = –5 • Tại M2(1,2) ứng với λ2 = –1/2: 2 2 D2 = d Lλ2 (1, 2) = 2λ 2dx + 2λ 2dy = −(dx + dy ) , dx, dy thỏa: dϕ(1, 2) = , nghĩa 112 (2xdx + 2ydy) (x,y)=(1,2) = hay 2dx + 4dy = (***) Ta thấy D2 < với dx, dy không đồng thời thỏa (***) Do đó, z đạt cực đại M2(1,2) với điều kiện (*), z(1,2) = GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 8.1 Định nghĩa Cho hàm số f(x,y) xác định D Ta định nghĩa: 1) M ∈ R giá trị lớn (GTLN) f(x,y) D ⎧∀(x, y) ∈ D, f (x, y) ≤ M; ⎨ ⎩∃(x1 , y1 ) ∈ D, f (x1 , y1 ) = M 2) m ∈ R giá trị nhỏ (GTNN) f(x,y) D ⎧∀(x, y) ∈ D, f (x, y) ≥ m; ⎨ ⎩∃(x , y ) ∈ D, f (x , y ) = m 8.2 Định lý Cho hàm số f(x,y) liên tục miền đóng, bị chặn D (D đóng D chứa phần biên; D bị chặn D nằm đường trịn đó) Khi f(x,y) đạt GTLN GTNN D 8.3 Cách tìm GTLN GTNN Cho hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng liên tục miền đóng, bị chặn D Khi f(x,y) liên tục D, đạt GTLN GTNN D Cách tìm giá trị sau: Bước 1: Tìm điểm dừng ⎧f x′ = 0; tìm tất điểm dừng thuộc phần D (tức thuộc D Giải hệ ⎨ ⎩f y′ = không thuộc biên D) Bước 2: Tìm điểm nghi ngờ biên D Giả sử biên D có phương trình định bởi: ϕ(x,y) = (*) Khi điểm thuộc biên D mà ta nghi ngờ hàm số f(x,y) đạt GTLN, GTNN xác định sau: • Nếu dùng phương pháp điểm ứng với giá trị đầu mút giá trị đạo hàm hàm biến triệt tiêu • Nếu dùng phương pháp Nhân tử Lagrange điểm dừng hàm Lagrange Bước 3: Xác định GTLN GTNN So sánh giá trị f(x,y) điểm dừng tìm Bước điểm nghi ngờ tìm Bước 2, giá trị lớn chúng GTLN giá trị nhỏ chúng GTNN Ví dụ: Tìm GTLN GTNN hàm số : 113 z = x2 + y2 – xy + x + y miền D định bởi: x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3 Giải Bước 1: Miền D biểu diễn sau: ⎧z′x = ⇔ ⎨ ⎩z′y = ⎧2x − y + = ⇔ x = y = −1 ⎨ ⎩2y − x + = Vậy z có điểm dừng M0(–1, –1) thuộc phần D, z(–1,–1) = –1 (1) Bước 2: Xét biên D ta có: • Trên OA: y = 0, –3 ≤ x ≤ Hàm z trở thành: z1 = x2 + x ⇒ z1′ = 2x + (z1′ = ⇔ x = –1/2) Các điểm nghi ngờ OA là: → (−3,0) với z( − 3,0) = ⎧x = − ⎪ → (0,0) với z(0,0) = ⎨x = ⎪ x = − 1/2 → ( − 1/2,0) với z( − 1/2,0) = − 1/4 ⎩ (2) • Trên OB: x = 0, − ≤ y ≤ Hàm z trở thành: z2 = y2 + y ⇒ z2′ = 2y + (z2′ = ⇔ y = −1/2) Các điểm nghi ngờ OB là: ⎧y = − ⎪ ⎨y = ⎪ y = − 1/2 ⎩ → (0, − 3) với z(0, − 3) = → (0,0) xét OA → (0, − 1/2) với z(0, − 1/2) = − 1/4 • Trên AB: y = − x − 3, − ≤ x ≤ Hàm z trở thành: z3 = 3x2 + 9x + ⇒ z3′ = 6x + z3′ = ⇔ x = − 3/2 (y = − 3/2) Các điểm nghi ngờ AB là: 114 (3) → ( − 3,0) xét OA ⎧ x = -3 ⎪ → (0, − 3) xét OB ⎨x = ⎪ x = − 3/2 → ( − 3/2, − 3/2) với z( − 3/2, − 3/2) = − 3/4 ⎩ (4) So sánh (1)-(4) ta suy GTLN GTNN z D sau: GTLN = = z(−3,0) = z(0,−3); GTNN = −1 = z(−1,−1) MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ 9.1 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất điều kiện cạnh tranh hồn hảo Bài tốn: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Đơn giá hai loại sản phẩm thị trường P1; P2 hàm tổng chi phí C = C(Q1,Q2) (Q1, Q2 sản lượng) Hãy định mức sản lượng Q1 Q2 để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Phưong pháp giải: Điều kiện mức sản lượng Q1, Q2 Q1 ≥ 0; Q2 ≥ Khi - Doanh thu R = P1Q1 + P2Q2 - Lợi nhuận là: π = R – C = P1Q1 + P2Q2 – C(Q1,Q2) Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định mức sản lượng Q1, Q2 dương cho π đạt cực đại Lưu ý cần kiểm tra lại đại lượng khác chi phí, lợi nhuận phải dương để phù hợp với thực tế Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với đơn giá thị trường P1 = 56 P2 = 40 Hàm tổng chi phí C = 2Q12 + 2Q1Q2 + Q22 Hãy định mức sản lượng Q1, Q2 để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Giải Điều kiện mức sản lượng Q1, Q2 Q1 ≥ 0; Q2 ≥ Ta có - Doanh thu R=P1Q1+P2Q2 = 56Q1 + 40Q2 - Lợi nhuận π = R – C = (56Q1 + 40Q2) – (2Q12 + 2Q1Q2 + Q22) = 56Q1 + 40Q2 – 2Q12 – 2Q1Q2 – Q22 Ta cần xác định mức sản lượng Q1, Q2 dương cho π đạt cực đại • Xét hệ: ⎧ ⎪π′Q1 = ⇔ ⎨ ′ π = ⎪⎩ Q2 ⎪⎧56 − 4Q1 − 2Q2 = ⇔ ⎨ ⎪⎩40 − 2Q1 − 2Q = ⎪⎧2Q1 + Q2 = 28 ⇔ ⎨ ⎪⎩Q1 + Q2 = 20 Vậy π có điểm dừng (Q1;Q2) = (8;12) 115 ⎪⎧Q1 = > ⎨ ⎪⎩Q2 = 12 > • Ta có A = π′′Q2 = −4; B = π′′Q1Q2 = −2; C = π′′Q2 = −2 ; Δ = B2 – AC = – < Suy π đạt cực đại (Q1;Q2) = (8;12) Khi đó: - Chi phí C = 2Q12 + 2Q1Q2 + Q22 > - Lợi nhuận π = 464 > Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần định mức sản lượng hai loại sản phẩm Q1 = Q2 = 12 9.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện sản xuất độc quyền Bài tốn: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm QD1 = D1(P1,P2); QD2 = D2(P1,P2) (P1, P2 đơn giá) hàm tổng chi phí C = C(Q1,Q2) (Q1, Q2 sản lượng) Hãy định mức sản lượng Q1 Q2 để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Phương pháp giải Điều kiện mức sản lượng Q1, Q2 Q1 ≥ 0; Q2 ≥ Do sản xuất độc quyền, với mức sản lượng trên, để tiêu thụ hết sản phẩm, xí nghiệp bán với đơn giá P1, P2 cho: ⎧⎪QD1 = Q1 ⎧D (P , P ) = Q1 ⇔⎨ 1 ⎨ ⎩D2 (P1 , P2 ) = Q2 ⎪⎩QD2 = Q2 Giải hệ ta ⎧P1 = P1 (Q1 , Q ) ⎨ ⎩P2 = P2 (Q1 , Q ) Khi đó; - Doanh thu R = P1(Q1,Q2) Q1+ P2(Q1,Q2)Q2 - Lợi nhuận là: π = R – C = P1(Q1,Q2) Q1+ P2(Q1,Q2)Q2 – C(Q1,Q2) Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định mức sản lượng Q1, Q2 dương cho π đạt cực đại Lưu ý cần kiểm tra lại đại lượng khác như: đơn giá, chi phí, lợi nhuận phải dương để phù hợp với thực tế Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm cầu là: 1230 − 5P1 + P2 ⎧ ⎪⎪Q D1 = 14 ⎨ 1350 P1 − 3P2 + ⎪Q = D2 ⎪⎩ 14 116 hàm tổng chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Hãy định mức sản lượng Q1, Q2 để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Giải Điều kiện mức sản lượng Q1, Q2 Q1 ≥ 0; Q2 ≥ Do sản xuất độc quyền, với mức sản lượng trên, để tiêu thụ hết sản phẩm, xí nghiệp bán với đơn giá P1, P2 cho: ⎧1230 − 5P1 + P2 = Q1 ⎧⎪QD1 = Q1 ⎪⎪ 14 ⇔ ⎨ ⎨ ⎪1350 + P1 − 3P2 = Q ⎩⎪QD2 = Q2 ⎪⎩ 14 ⎧−5P1 + P2 = 14Q1 − 1230 ⎧P = 360 − 3Q1 − Q2 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ P1 − 3P2 = 14Q2 − 1350 ⎩P2 = 570 − Q1 − 5Q2 Khi đó: - Doanh thu R = P1Q1 + P2Q2 = (360 – 3Q1 – Q2)Q1 + (570 – Q1 – 5Q2)Q2 = – 3Q12 – 5Q22 – 2Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 - Lợi nhuận π = R – C = – 4Q12 – 6Q22 – 3Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 Ta cần xác định mức sản lượng Q1, Q2 dương cho π đạt cực đại • Xét hệ: ⎧⎪ π′Q1 = ⎧ −8Q1 − 3Q + 360 = ⎧Q1 = 30 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩ −12Q − 3Q1 + 570 = ⎩Q = 40 ⎪⎩ π′Q2 = Vậy π có điểm dừng (Q1;Q2)= (30;40) • Ta có: A = π′′Q2 = −8; B = π′′Q Q = −3; C = π′′Q2 = −12 ;Δ = B2 – AC = – 87 < 1 2 Suy π đạt cực đại (Q1;Q2) = (30;40) Khi - Chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 > - Lợi nhuận π = 16800 > Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần định mức sản lượng hai loại sản phẩm Q1 = 30 Q2 = 40 9.3 Bài toán người tiêu dùng Bài toán: Một người dành số tiền B để mua hai loại sản phẩm có đơn giá P1 P2 hàm hữu dụng ứng với hai loại sản phẩm U = U(x1,x2) (x1,x2 số 117 lượng sản phẩm) Hãy xác định số lượng hai loại sản phẩm cho hàm hữu dụng đạt giá trị cao Phương pháp giải: Gọi x1,x2 số lượng sản phẩm Điều kiện: x1 ≥ 0; x2 ≥ Khi x1P1 + x2P2 = B Do để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn ta cần tìm cực đại hàm hữu dụng U = U(x1,x2) với điều kiện x1P1 + x2P2 = B Ví dụ: Một người muốn dùng số tiền 4.000.000đ để mua hai mặt hàng có đơn giá 400.000đ 500.000đ Hàm hữu dụng hai mặt hàng U = (x + 5)(y + 4) (x, y số lượng hai mặt hàng) Hãy xác định số lượng cần mua hai mặt hàng để hàm hữu dụng đạt giá trị cao Giải Với x, y số lượng hai mặt hàng, ta có điều kiện: x ≥ 0; y ≥ Khi 400000x + 500000y = 4000000 ⇔ 4x+5y =40(*) Ta cần tìm x, y ≥ để hàm hữu dụng U = (x + 5)(y + 4) đạt cực đại với điều kiện (*) Từ (*) ta suy ra: y = – x Thế vào U, ta U1 = (x + 5)(12 – 5 Ta có U1′ = (12 – x) – (x + 5) = − x) x U1′ = ⇔ x = > (y = > 0) U1′′ = − < Do U1 đạt cực đại x = Suy hàm hữu dụng U đạt cực đại (x,y) = (5,4) với U(5,4) = 80 Kết luận: Để hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất, người cần mua hai mặt hàng với số lượng Khi giá trị hàm hữu dụng U(5,4) = 80 BÀI TẬP Tính giới hạn sau: (x + y)2 a) lim x →0 x + y2 x →0 x sin y + y sin x x →∞ x2 + y b) lim (1 + xy ) x→0 y →3 x + 2xy x2 − y x →∞ x + y c) lim d) lim y →∞ y →∞ 2.Tìm vi phân tồn phần cấp cấp hàm số sau: 118 a) z = x3 + y3 – 3xy b) z = arctg x2 − y c) z = x + y2 d) z = xy x+y − xy 3.Tính gần giá trị sau nhờ vi phân cấp 1: a) (2,01)3,03 b) (2,02)2,97 c) sin29ocos62o Tìm đạo hàm hàm số sau: a) z = ln(ex + ey) với y = x3, tính ∂z dz , ∂x dx b) z = ex−2y với x= sint, y = t3, tính dz dt c) z = x2y − xy2 với x = ucosv, y = usinv, tính a) Tìm df(t) với f = ∂z ∂z , ∂u ∂v y , x = et , y = ln t x b) Tìm df(x,y) với f = u2lnv, u = y , v = x2 + y x Tìm đạo hàm đến cấp hàm số sau: ∂ 2z ∂ 2z , a) z = ln(x + x + y ) , tính ∂x2 ∂y 2 b) z = x ln(xy) , tính ∂ 3z ∂x2∂y ∂ 6z c) z = x siny + y sinx , tính ∂x3∂y 3 Cho hàm số z = x2 y Chứng minh rằng: x+y x a) Tính ∂ 2z ∂ 2z ∂z + y =2 ∂x ∂x∂y ∂x dy d y , với y hàm ẩn xác định bơi x + y = e x − y dx dx dy d y , với y hàm ẩn xác định bơi x – y + arctgy = dx dx2 ∂z ∂z xy , c) Tính với z hàm ẩn xác định bơi z ln(x + z) − = ∂x ∂y z b) Tính d) Tính d2z với z hàm ẩn xác định bơi x + y + z = ez Tìm cực trị các hàm số sau: 119 a) z = 8/x + x/y + y (x > 0, y > 0) b) z = e2x( x + y2 + 2y) c) z = x2 + xy + y2 – 2x – y d) z = 2x2 + 2xy + y2 – x + y +2 e) z = 2x3 + 6xy − 6x − 3y2 – 30y + f) z = x3 + 3xy2 – 15x – 12y h) z = x4 + y4 – 2x2 + 4xy – 2y2 10 Tìm cực trị có điều kiện các hàm số sau: a) z = – 4x – 3y, với điều kiện x2 + y2 = b) z = xy x2 + y2 = c) d) z = x2 + y2 x y + = 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau miền cho: a) z = x3 + y3 – 3xy miền ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ b) z = x2 + y2 – xy – x – y miền x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ c) z = xy2 miền x2 + y2 ≤ d) z = x2 + 2y2 – x miền x2 + y2 ≤ 25 12 Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với đơn giá thị trường P1 = 60 P2 = 75 Hàm tổng chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Hãy định mức sản lượng Q1, Q2 để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao 13 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm cầu là: ⎧⎪Q D1 = 40 − 2P1 + P2 ⎨ ⎪⎩Q D2 = 15 + P1 − P2 hàm tổng chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Hãy định mức sản lượng Q1, Q2 để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao 14 Một người muốn dùng số tiền 178.000.000đ để mua hai mặt hàng có đơn giá 400.000đ 600.000đ Hàm hữu dụng hai mặt hàng U = (x + 20)(y + 10) (x, y số lượng hai mặt hàng) Hãy xác định số lượng cần mua hai mặt hàng để hàm hữu dụng đạt giá trị cao - 120