Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 7 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trình bày khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học; các tính chất cơ bản của tích phân xác định; phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phân từng phần.

BÀI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ThS Đồn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG • Giả sử hồ nước có hình dạng tam giác cong sau: y A y= x2 • B x Trong điểm B có hồnh độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2 Hãy tính diện tích hồ hình tam giác cong v1.0014105206 MỤC TIÊU • Nắm định nghĩa tích phân xác định qua cơng thức Newton – Leibnitz; • Nắm ý nghĩa hình học tích phân xác định; • Đổi biến thành thạo dạng tích phân bản, đặc biệt tích phân hàm chứa căn; • Sử dụng tốt phương pháp tích phân phần v1.0014105206 NỘI DUNG Khái niệm tích phân xác định ý nghĩa hình học Các tính chất tích phân xác định Phương pháp đổi biến số Phương pháp tích phân phần v1.0014105206 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC 1.1 Tích phân xác định hàm số liên tục 1.2 Ý nghĩa hình học tích phân xác định v1.0014105206 1.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC • Định nghĩa: Cho f(x) hàm số xác định liên tục khoảng X, a, b hai số thực thuộc khoảng X Tích phân xác định từ a đến b hàm số f(x) hiệu số: F(b) – F(a) với F(x) nguyên hàm f(x) • Ký hiệu: b  f(x).dx  F(b)  F(a)  F(x) a • b a Cơng thức gọi công thức Newton – Leibnitz Chú ý: Định nghĩa nêu áp dụng cho hàm liên tục v1.0014105206 1.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ: x2 I1   x.dx   2   cos 2x I2   sin 2x.dx    dx ln3 I3    ln 2x   2x  2 v1.0014105206 1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khơng âm [a, b] • Khi tích phân xác định f(x) [a, b] diện tích hình thang cong AabB giới hạn đồ thị hàm số f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b y (x) f y= B A b S   f(x).dx a a v1.0014105206 b x CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Với giả thiết tích phân tồn tại, ta có: 1) a  f(x)dx  0; 5) b a c b b a c a  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx b b b a a a  f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx 3) 4) b  f(x)dx    f(x)dx a 2) a b b a a  k.f(x)dx  k. f(x)dx, k   b b a a f(x)  g(x), x  [a;b]   f(x)dx   g(x)dx 6) Nếu f(x) liên tục [a;b] tồn điểm   (a; b) cho: b  f(x)dx  f().(b  a) a v1.0014105206 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Xét tích phân: b I   f(x)dx a Đặt x = (t) với t  [; ] thỏa mãn điều kiện:  (t) xác định, liên tục có đạo hàm liên tục [; ]  () = a; () = b Khi đó: b   a   I   f(x)dx   f  (t). '(t)dt   f(t)dt v1.0014105206 10 VÍ DỤ Tính tích phân I1  1 dx 5x  • Đặt t  5x  • t2  Ta có x  , • Đổi cận theo t: x = ↔ t = 2; x = ↔ t = • Theo cơng thức đổi biến ta có: dx  2t dt 3 2t.dt t.dt          1  I1    dt  t t t        2 3 2 4   t  ln  t   1  ln  5 3 v1.0014105206 11 VÍ DỤ 2 Tính tích phân I2    x dx • Đặt: x = sin t • Ta có: dx = cos t dt • Đổi cận theo t: x0 •  t  0; x  t  Theo cơng thức đổi biến ta có:    0 I2    sin2 t.cos t.dt   cos t.cos t.dt   cos2 t.dt  v1.0014105206   1  sin 2t  1   0 1  cos 2t  dt   t   2 0 12 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Cơng thức tích phân phần tích phân xác định có dạng b b b  udv  uv a   vdu a a u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [a;b] v1.0014105206 13 VÍ DỤ 1 3x Tính tích phân I1   x.e dx Ta đặt: u  x  3x dv  e dx  du  dx   e3 x 3x v   e dx  Theo phương pháp tích phân phần ta có: 1 e3 x 1 3x e3 x e3 x I1  x   e dx  x  30 v1.0014105206 1  2e3  14 VÍ DỤ  x Tính tích phân I2   x.sin dx Ta đặt: u  x   x dv sin dx    du  dx   x x v sin dx 3cos      3 Theo phương pháp tích phân phần ta có:     x x x x   cos dx  3x cos  sin I2  3x cos 30 30 30  v1.0014105206  3 15 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Theo ý nghĩa hình học tích phân xác định, diện tích tam giác cong OAB x3 S   x dx  20 v1.0014105206 20  8000  2666,67 (m2) 16 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM dx Giá trị  x là: A 9/2 B 4/3 C 3/2 D 5/2 Trả lời: • Đáp án là: A 9/2 • Vì: Sử dụng cơng thức Newton – Leibnitz ta có: dx 8 32 3   x dx x  x  (4  1)  1 1 2 2 x 8  → Chọn đáp án A v1.0014105206 17 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giá trị tích phân  (x  3e  x )2 dx là: 12  2 2e e B   3e e C   e 3e 12 D    2e e A Trả lời: Đáp án là: D    12 2e e v1.0014105206 18 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vì: • • Khai triển tích phân 1 0 x x 2 x  (x  3e ) dx   (x  6xe  9e )dx Lại có: x3  0 x dx  3 1  9e dx   e 2 x • 2 x 9   (e2  1)  (1  e 2 ) 2 (Sử dụng tích phân phần)  6xe  x dx  6[1  2e 1 ] • Tích phân có giá trị là: v1.0014105206  12  2 2e e 19 CÂU HỎI TỰ LUẬN Tính tích phân xác định: x3 1 x  I  dx Giải: Đặt x t t  x   x  t   dx  3t dt t3  t  4t I  3t dt   dt 1 t t 1 1 dt t 1   [t  t  t  3t  3]dt   t t 3t t   3     3t   9ln t  5 0 73   9ln 20 v1.0014105206 20 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • b b Tích phân xác định  f(x)dx  F(x) a  F(b)  F(a) với F(X) ngun hàm f(x) a • Các tính chất tích phân xác định giống tích phân bất định • Khi sử dụng phương pháp đổi biến, đổi biến phải kèm theo đổi cận tính tích phân • Cơng thức tích phân phần: b b b  udv  uv   vdu a • a a Các dạng tích tích phân phần: b  P(x)cosax dx b b a  P(x)sinax dx a v1.0014105206 b x  P(x)e dx a  x ln (kx)dx  n a 21 ...     3t   9ln t  5 0 73   9ln 20 v1.0014105206 20 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • b b Tích phân xác định  f(x)dx  F(x) a  F(b)  F(a) với F(X) ngun hàm f(x) a • Các tính chất tích phân xác định... hình học tích phân xác định v1.0014105206 1.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC • Định nghĩa: Cho f(x) hàm số xác định liên tục khoảng X, a, b hai số thực thuộc khoảng X Tích phân xác định từ... F(b)  F(a)  F(x) a • b a Cơng thức gọi công thức Newton – Leibnitz Chú ý: Định nghĩa nêu áp dụng cho hàm liên tục v1.0014105206 1.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ: x2 I1   x.dx