Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Sylvester và bài toán Fermat - Torricelli cho các hình cầu Euclid

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli của N.M.Nam, N.Hoang và N.T. An đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 160 (2014) bằng phương pháp giải tích lồi. Mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - HỒNG THỊ THÙY LINH BÀI TỐN SYLVESTER VÀ BÀI TỐN FERMAT – TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - HỒNG THỊ THÙY LINH BÀI TỐN SYLVESTER VÀ BÀI TỐN FERMAT– TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ : 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐỖ VĂN LƯU Hà Nội – Năm 2016 Thang Long University Library Lời cảm ơn Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS ĐỗVăn Lưu – Người Thầy giúp đỡ hướng dẫn em suốt học tập làm luận văn Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội Em xin cảm ơn tới Giáo sư, Tiến sỹ Thầy, cô giáo mơn Tốn giảng dạy cho em kiến thức bản, tảng quý báu thời gian học cao học Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận Cảm ơn bạn lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long, chun ngành Phương pháp tốn sơ cấp, ln thân thiện nhiệt tình giúp đỡ tơi thời gian học tập vừa qua Tôi cảm ơn người thân u gia đình bạn bè ln ủng hộ, động viên chỗ dựa tinh thần vững suốt trình học tập thời gian làm luận văn Tác giả Hoàng Thị Thùy Linh MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI 1.1 Tập lồi nón lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Nón lồi 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Hàm lồi 1.2.2 Các phép toán hàm lồi .14 1.3 Dưới vi phân hàm lồi 17 1.4 Dưới vi phân hàm max 23 Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TỐN FERMAT TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID 2.1 Khái niệm định nghĩa .25 2.2 Bài tốn Sylvester cho hình cầu Euclid 26 2.2.1 Sự tồn tại, nghiệm điều kiện tối ưu 26 2.2.2 Bài tốn Sylester suy rộng cho ba hình cầu 32 2.3 Bài tốn Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid 49 2.3.1 Sự tồn nghiệm nghiệm tối ưu 49 2.3.2 Cấu trúc nghiệm .56 KẾT LUẬN .63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 Thang Long University Library MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích lồi cho ta lý thuyết phong phú đẹp đẽ hàm lồi ứng dụng tối ưu hóa với nhiều kết tiếng chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau hàm liên hợp, Định lý Moreau – Rockafellar vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tucker cho tốn tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi đối tượng đẹp tối ưu hóa.Với tốn lồi ta có điều kiện đặc trưng cho nghiệm tốn ngơn ngữ vi phân hàm lồi Trong tốn sơ cấp nhiều toán phát biểu với hàm lồi Với toán cực trị, hàm lồi đóng vai trị quan trọng Cực trị địa phương hàm lồi miền lồi cực tiểu toàn cục, cực đại hàm lồi đa giác lồi đạt đỉnh đa giác Nhiều tốn sơ cấp hay phát biểu theo hướng Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid phát biểu sau: “ Cho hai họ hữu hạn hình cầu Euclid Tìm hình cầu Euclid nhỏ chứa hình cầu họ thứ cắt tất hình cầu họ thứ hai” Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid phát biểu sau: “ Cho hai họ hình cầu Euclid Hãy tìm điểm làm cực tiểu tổng khoảng cách xa đến hình cầu họ thứ khoảng cách gần đến hình cầu họ thứ hai” Các tốn nghiên cứu cơng cụ giải tích lồi [3] Chính vậy, tơi chọn đề tài “BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID ” Nội dung đề tài Luận văn trình bày số kiến thức hàm lồi, vi phân hàm lồi kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Sylvester toán Fermat – Torricelli N M Nam, N Hoang N T An đăng tạp chí J Optim Theory Appl 160 (2014) phương pháp giải tích lồi Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: “Các kiến thức vê hàm lồi vi phân hàm lồi” Trình bày số kiến thức tập lồi, nón lồi, hàm lồi phép tốn hàm lồi, vi phân hàm lồi vi phân hàm max Chương 2: “ Bài toán Sylester tốn Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid” Trình bày kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải Nam – Hoang – An (2014) cho tốn Sylester với hình cầu Euclid tốn Fermat – Torricelli với ba hình cầu Euclid Trường hợp quan trọng tốn Sylester với ba hình cầu mối quan hệ với toán Apollonius trình bày chương Thang Long University Library Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI Chương trình bày số kiến thức tập lồi, nón lồi, hàm lồi phép toán hàm lồi, vi phân hàm lồi vi phân hàm max Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1], [2] 1.1 TẬP LỒI VÀ NÓN LỒI 1.1.1 Tập lồi Giả sử X khơng gian tuyến tính, R tập số thực Định nghĩa 1.1 Tập A  X gọi lồi, nếu:  x1, x2  A,    R :      x1 + (1 -  ) x2  A Giả sử A  X; x1, x2  A Định nghĩa 1.2 Đoạn nối x1, x2 định nghĩa sau: [x1, x2] = { x  A : x =  x1 + (1 -  ) x2,    1} Định nghĩa 1.3 Vectơ x  X gọi tổ hợp lồi vectơ x1, , xm  X , i  ( i = 1, , m), m m i 1 i 1  i = 1, cho x =  i xi Nhận xét 1.1 Tập A lồi, nếu:  x1, x2  A  [x1, x2]  A Ví dụ 1.1 Các nửa khơng gian tập lồi Các tam giác hình trịn mặt phẳng tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi Mệnh đề 1.1 Giả sử A   X (   I) tập lồi, với I tập số Khi đó, tập A = A   I lồi Từ định nghĩa 1.1 ta nhận mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 Giả sử tập Ai  X lồi, i  R ( i = 1, , m) Khi đó, 1 A1 + + 2 A2 tập lồi Mệnh đề 1.3 Giả sử Xi khơng gian tuyến tính, tập Ai  Xi lồi ( i = 1, , m) Khi đó, tích Đề A1   Am tập lồi X1   Xm Mệnh đề 1.4 Giả sử X, Y không gian tuyến tính, T : X  Y tốn tử tuyến tính Khi a) A  X lồi  T(A) lồi; b) B  Y lồi  Nghịch ảnh T –1(B) B tập lồi Định lý 1.1 Giả sử tập A  X lồi; x1, , xm  A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1, , xm 1.1.2 Nón lồi Giả sử X khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.4 Tập K  X gọi nón có đỉnh , nếu: Thang Long University Library  x  K,  >   x  K K gọi nón có đỉnh x0, K – x0 nón có đỉnh Định nghĩa 1.5 Nón K có đỉnh gọi nón lồi, K tập lồi, có nghĩa là:  x, y  K ,  ,  >   x +  y  K Ví dụ 1.2 Các tập sau Rn : {( 1 , ,  n )  Rn : i  0, i = 1, , n}, {( 1 , ,  n )  Rn : i > 0, i = 1, , n} nón lồi có đỉnh Mệnh đề 1.5 Giả sử K (   I ) nón lồi có đỉnh x0 với I tập số Khi đó,  I K nón lồi có đỉnh x0 Ví dụ 1.3 n X = Rn , b  R (   I ) Khi đó: K = { x  Rn : < x , b >  0,   I } nón lồi K =  I K , đó: K = { x  Rn : < x , b >  0} nón lồi Định lý 1.2 Tập K  X nón lồi có đỉnh khi:  x, y  K,  >  x + y  K,  x  K Chứng minh a) Giả sử K nón lồi Khi đó, K tập lồi, ta có: z= (x + y)  K Do K nón có đỉnh 0, ta lại có: x + y = 2z  K b) Ngược lại, với  x  K,  > ta có  x  K, K nón có đỉnh Với <  < 1, x, y  K ta có (1 -  )x  K,  y  K (1 -  )x +  y  K Chú ý với  = ta có (1 -  )x +  y  K Vậy K nón lồi có đỉnh Hệ 1.1 Tập K  X nón lồi  K chứa tất tổ hợp tuyến tính dương phần tử K, tức x1, , xm  K, 1 , , m > m  x K i 1 i i Hệ 1.2 Giả sử A tập X, K tập tất tổ hợp tuyến tính dương A Khi đó, K nón lồi nhỏ chứa A Định nghĩa 1.6 Tương giao tất nón lồi (có đỉnh 0) chứa tập A điểm nón lồi gọi nón lồi sinh A, ký hiệu KA Định nghĩa 1.7 Tương giao tất không gian tuyến tính chứa tập A gọi bao tuyến tính tập A, ký hiệu lin A Nhận xét 1.2 lin A = KA - KA Mệnh đề 1.7 a) KA = KconvA , b) Nếu A tập lồi : Thang Long University Library Với u  ℝ2, kí hiệu: A(u) := {i  {1, 2, 3} | u  i } Mệnh đề 2.12 Giả sử |A(x*)| = Khi x* nghiệm tối ưu (2.13) x* nghiệm toán Fermat – Torricelli sinh tâm hình cầu: b1, b2, b3 Chứng minh Giả sử |A(x*)| = x* nghiệm tối ưu (14) Khi x*  i với i = 1, 2, Chọn  > cho 𝔹(x*;  ) i =  với i = 1, 2, Khi điều kiện sau với x  𝔹(x*;  ):  i 1 x*  bi -  si = inf2 ℋ(x) = ℋ(x*)  ℋ(x) = i 1 xR  i 1 x  bi - s i 1 i Như vậy, x* cực tiểu toán Min ℱ(x) :=  i 1 x  bi , x  ℝ2 Vì cực tiểu tốn cục tốn ℱ hàm lồi Do đó, x* nghiệm Fermat – Torricelli sinh b1, b2, b3 Điều ngược lại dễ dàng chứng minh Bổ đề 2.1 Giả sử S tập nghiệm (2.13) Giả sử tồn x*  S cho A(x*) =  Khi S tập điểm, cụ thể S = {x*} Chứng minh Giả sử A(x*) =  , tồn y*  S với x*  y* Bởi A(x*) =  , ta có x*  i với i = 1, 2, Khi x * nghiệm toán Fermat – Torricelli sinh tâm hình cầu b1, b2 b3 Bởi S lồi , ta có [x *, y*]  S 53 Thang Long University Library Như vậy, tìm z*  x* , z*  S, z*  i với i = 1, 2, Khi z* nghiệm tốn Fermat – Torricelli sinh tâm hình cầu Điều mâu thuẫn tốn có nghiệm Bổ đề 2.2 Với  > 0, a, b  ℝ2 với a  b, xét tập hợp: E := {x  ℝ2 | ||x – a|| + ||x – b|| =  } Giả sử rằng||a – b|| <  Với x, y  E x  y, ta có x y x y a + b <  , 2 x y  E nói riêng, Chứng minh Ta có: x y x y a +  b = (||x – a + y – a|| + ||x – b + y – b||) 2  (||x – a|| + ||y – a|| + ||x – b|| + ||y – b||) =  Giả sử ngược lại: x y x y a + b =  2 Điều nghĩa (2.14) x y  E Do tính chất chuẩn Euclid, ta có: x – a = k(y – a) x – b = m(y – b), với số k, m (0,  ) \ {1} x  y Điều kéo theo: a= k x y  L(x, y) 1 k 1 k b= m x y  L(x, y) 1 m 1 m Bởi  > ||a – b||, dễ x, y  L(x, y) \ [a, b] Ta có 54 x y  [a, b] Thật vậy, giả sử chẳng hạn, thứ tự điểm là: x, x y , a, b, y Khi đó: x y x y a +  b < ||x – a|| + ||x – b|| =  2 Điều mâu thuẫn với (2.14) Vì x y  [a, b], ta có: x y x y a +  b = ||a – b|| <  2 Đây mâu thuẫn Ta chứng minh Như vậy, x y x y a + b <  2 x y  E Giả sử  tập ℝn Ta nói  lồi chặt với x, y  với x  y với t  (0, 1), ta có tx + (1 – t)y  int  Trong Bổ đề 2.2, tập: E := {x  ℝ2 | ||x – a|| + ||x – b||   } lồi chặt Bổ đề 2.3 Giả sử S tập nghệm (2.13) Giả sử tồn x*  S cho A(x*) = {i} x*  [bj, bk], i, j, k số phân biệt {1, 2, 3} Khi S tập điểm, cụ thể S = {x*} Chứng minh Giả sử A(x*) = {1} Khi x*  1 , x*   , x*  3 x*  [b2, b3] Giả sử: 55 Thang Long University Library  := ||x* - b2|| + ||x* - b3|| = inf ℋ(x) + s2 + s3 xR2 Khi  > ||b2 – b3|| Kí hiệu: E := { x  ℝ2 | ||x – b2|| + ||x – b3|| =  } Rõ ràng, x*  E 1 Giả sử ngược lại S không tập điểm Khi tồn y*  S y*  x* Bởi S lồi, [x* , y*]  S Ta chọn z*  [x* , y*] đủ gần phân biệt với x * cho [x* , z*] [x* , z*]  =  3 =  Trước hết ta z*  1 Thật vậy, giả sử z*  1 Khi D(z* ; 1 ) = 0, thế: ℋ(z*) = inf ℋ(x) = D(z* ;  ) + D(z* ; 3 ) = ||z* - b2|| - s2 + ||z* - b3|| - s3 xR2 Điều kéo theo z*  E Bởi S 1 lồi, x*  z*  S 1 Hơn nữa, x*  z* x z x z   * *  3 Ta lại có * *  E Điều khơng thể xảy 2 theo Bổ đề 2.2 Ta z*  S A(z*) =  Điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.1 Do đó, S phải tập điểm Bổ đề 2.4 Giả sử S tập nghiệm (2.13) Giả sử x*  S A(x*) = {i, j}  {1, 2, 3} Khi x*  bd( i  j ) Chứng minh Giả sử A(x*) = {1, 2} Khi x*  1 2 x*  3 Giả sử ngược lại x* inf( 1 2 ) Khi tồn  > với 𝔹(x* ;  )  1 2 Giả sử p := Π(x* ; 3 )  := ||x* - p|| > Giả sử q  [x* , p] – p|| < ||x* - p|| = D(x* ; 3 ) Khi đó: 56 𝔹(x* ;  ) thỏa mãn ||q ℋ(q) =  D(q;  ) i i 1 = D(q; 3 )  ||q – p|| < ||x* - p|| = D(x* ; 3 ) =  D( x ;  ) * i 1 i = ℋ(x*) Đây mâu thuẫn với kiện x*  S Định lý 2.3 Giả sử i1 i =  Khi (2.13) có nhiều nghiệm tòn tập [bi , bj]  k , với số phân biệt i, j, k  {1, 2, 3}, mà chứa điểm u thuộc phần  k |A(u)| = Chứng minh Giả sử [b1 , b2] chứa điểm u mà thuộc vào phần 3 |A(u)| = Khi u  1 u   Ta chọn v  u, v  [b1 , b2], v  1 , v   v  int 3 Khi |A(v)| = Trước hết ta chứng minh u nghiệm toán Thật vậy, trường hợp này, ℋ(u) = D(u ; 1 ) + D(u ;  ) + D(u ; 3 ) = ||b1 – b2|| - s1 – s2 Chọn  > cho 𝔹(u ;  ) 1 =  𝔹(u ;  )  =  𝔹(u ;  )  3 Với x  𝔹(u ;  ) , ta có: ℋ(x) = D(x ;  ) + D(x ; 3 ) = ||x – b1|| + ||x – b2|| - s1 – s2  ||b1 – b2|| -s1 – s2 = ℋ(u) Điều kéo theo u cực tiểu địa phương ℋ Vì cực tiểu tồn cục ℋ(u) lồi Một lý luận tương đương áp dụng với v Khi u, v  S Bây ta giả sử S có nhiều phần tử Giả sử x * , y* hai phần 57 Thang Long University Library tử riêng biệt S Khi [x* , y*]  S theo mệnh đề 2.11 Nếu tồn nghiệm mà không thuộc vào i với i  {1, 2, 3}, S qui tập điểm, điều mâu thuẫn Ta giả sử 1 chứa vơ hạn nghiệm Khi int 1 chứa vơ hạn nghiệm tính lồi chặt 1 Nếu tồn nghiệm u với A(u) = {1} u  int 1 u không thuộc vào 2 , 3 Như vậy, u  [b2, b3], vì, khơng, nghiệm phải bổ đề 2.3 Do đó, kết luận Giả sử |A(u)| = với nghiệm mà thuộc vào int 1 Khi có vơ hạn nghiệm nằm tương giao hai tập, lồi chặt trường hợp Vì có nghiệm mà thuộc vào phần tương giao này, điều mâu thuẫn Bổ đề 2.4 Ví dụ 2.1 Trong hình 11, cho tốn Fermat – Torricelli suy rộng có vơ hạn nghiệm [b1, b2] cắt phần 3 , |A(u)| = với u  (B, C) Thật vậy, tập nghiệm S = [B, C] b3 B C b1 b2 Hình 11 Một tốn Fermat – Torricelli suy rộng với vô hạn nghiệm Giả sử Vk := [bi , bj] int  k với số phân biệt i, j, k  {1, 2, 3} 58 Như hệ trực tiếp định lý 2.3, ta có hệ sau: Hệ 2.1 Giả sử i1 i =  Khi (2.13) có nghiệm suy luận sau với k  {1, 2, 3}: [Vk   ]  [|A(u)| = với u  Vk] Hệ cho ta điều kiện đủ để (2.13) có nghiệm Hệ 2.2 Giả sử [bi , bj] i1 i =  Khi (2.13) có nghiệm  k chứa nhiều điểm với số phân biệt i, j, k  {1, 2, 3} Chứng minh Giả sử ngược lại (2.13) có nhiều nghiệm Do định lý trước, tồn khoảng, chẳng hạn [b1 , b2], mà chứa điểm thuộc phần 3 Khi [b1, b2] 3 chứa vơ hạn điểm, điều mâu thuẫn 2.3.2 Xây dựng nghiệm Trong mục này, trình bày phương pháp xây dựng nghiệm (2.13) với ba hình cầu i , i  J = {1, 2, 3} Mệnh đề 2.13 Một phần tử x* nghiệm tối ưu (2.13) nếu: -  iJ \ A ( x* ) ei := ei   iA( x* ) [N ( x* ; i ) B] , (2.15) x*  bi x*  bi Chứng minh Theo công thức vi phân Fermat (3) công thức vi phân (5), x * 59 Thang Long University Library nghiệm tối ưu (2.13) nếu:  D( x ;  ) =    ℋ(x*) = * iJ i iJ \ A( x* ) D( x* ; i ) +  iA( x* ) D( x* ; i ) Khi kết luận suy từ kết mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.14 Xét (2.13) Giả sử i1 i   Khi đó: i S= i1 Chứng minh Cố định x*  i1 i   Khi ℋ(x*) = 0, x*  S inf2 ℋ(x)  xR Ngược lại, với x  S, ta có ℋ(x)  ℋ(x*) = Như vậy, D(x ; i ) = 0, với i = 1, 2, Điều kéo theo x  i với i = 1, 2, 3, tương đương x  i1 i   Từ ta xét trường hợp i1  j =  Khi |A(x*)| < với x*  S Mệnh đề 2.15 Giả sử |A(x*)| = x* nghiệm tối ưu (2.13), chẳng hạn x*  1 2 Khi điều kiện sau đúng: (i) Điểm x* tương giao [b1, b3] biên 1 , x*  int  (ii) Điểm x* tương giao [b2, b3] biên  , x*  int 1 (iii) Điểm x* thuộc vào giao biên 1 biên  , –e3 = se1 + te2 , 60 s, t  [0, 1] ei = x*  bi với i = 1, 2, x*  bi Ngược lại, điều kiện thỏa mãn, x * nghiệm tối ưu toán (2.13) Chứng minh Giả sử |A(x*)| = x* 1 2 Theo mệnh đề 2.13, –e3  [N(x*, 1 ) 𝔹] + [N(x*,  ) 𝔹] (2.16) Bởi e3  0, ta có x*  bd 1 x*  bd  Trường hợp 1: x*  bd 1 x*  int  Trong trường hợp này, (2.16) qui về: –e3  N(x*, 1 ) Điều tương đương với kiện x * giao [b1, b3] biên 1 Như vậy, (i) thỏa mãn Trường hợp 2: x*  bd  x*  int 1 Tương tự trường hợp 1, với điều kiện này, (ii) thỏa mãn Trường hợp 3: x*  bd 1 x*  bd  Trong trường hợp này, (2.16) qui về: –e3 = se1 + te2 , s, t  [0, 1] Chú ý trường hợp này, x * tương giao bd 1 bd  Vì có nhiều hai điểm tương giao này, điều kiện thỏa mãn Mệnh đề 2.16 Giả sử |A(x*)| = x* nghiệm tối ưu (2.13), chẳng hạn x*  1 Khi đó: – e2 – e3  N(x*; 1 ) e2 , e3  61 1 Thang Long University Library Ngược lại, điều kiện thỏa mãn, x* nghiệm (2.13) b2 b3 b1 Hình 12 Bài tốn Fermat – Torricelli suy rộng nghiệm Chứng minh Điều kiện (2.15) viết sau: – e2 – e3  N(x* ; 1 ) || e2 + e3||  Chú ý || e2 + e3||  e2 , e3  1 Bổ đề chứng minh Việc xây dựng để tìm nghiệm sau: trước hết ta tìm tất nghiệm tập i với i = 1, 2, Nếu nghiệm tìm được, khơng có nghiệm bên ngồi tập Bổ đề 2.1 Nếu khơng có nghiệm tìm được, nghiệm tối ưu tìm cách giải tốn Fermat – 62 Torricelli sinh bi với i = 1, 2, Chẳng hạn, nghiệm 1 tìm bước sau Bước 1: Nếu i1 i   , điểm tương giao nghiệm Nếu không, ta chuyển sang bước Bước 2: Nối tâm [b1, bj], j = 2, Nếu chẳng hạn, [b1, b3] giao với bd 1 điểm thuộc vào int  , điểm nghiệm Nếu khơng, ta chuyển sang bước Bước 3: Tìm giao biên hình cầu 1  , 1 3 Chẳng hạn, giả sử p q giao bd 1 bd  Khi kiểm tra điều kiện –e3  [0, 1]e1 + [0, 1]e2 thỏa mãn điểm Nếu điều kiện thỏa mãn, chẳng hạn, p, p nghiệm (xem Hình 12) Nếu khơng, ta đến bước Bước 4: Kiểm tra [b2, b3] giao với 1 Nếu chẳng hạn, [b2, b3] giao với 1 , tìm tất điểm giao không thuộc vào  3 , nghiệm Trong trường hợp này, [b2, b3] khơng cắt 1 Khi ta tìm u2 := [b1, b2] bd 1 , u3 := [b1, b3] bd 1 Tiếp theo, tìm điểm q1 đường cong u2u3 cho b2 q1b1 = b3q1b1 Nếu q1 không thuộc vào  3 (trong trường hợp khác, ta có |I(q1)|  2, q1 nghiệm, tìm trước đây), b2q1b3  120o, q1 nghiệm tốn Bài toán Fermat – Torricelli cho ba điểm trường hợp đặc biệt toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid (2.12) Ví dụ 2.2 (Bài tốn Fermat – Torricelli cho ba điểm) Cho trước ba điểm mặt phẳng Hãy tìm điểm thứ tư cho tổng khoảng 63 Thang Long University Library cách từ điểm tới ba điểm cho trước nhỏ F D A P B C E Bài toán Fermat E Torricelli giải phương pháp hình học sau: Cho  ABC Dựng tam giác đều:  ABD,  BCE,  ACF bên  ABC Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABD,  BCE,  ACF Ba đường tròn cắt điểm, ký kiệu P Điểm P điểm có tổng khoảng cách đến ba điểm A, B, C ngắn Điểm gọi điểm Torricelli  ABC cho Điểm Torricelli P nhìn ba cạnh  ABC góc 120o Một phương pháp khác tìm điểm Torricelli sau: vẽ ba đường nối đỉnh tam giác nằm  ABC với ba đỉnh đối diện  ABC Ba đường cắt điểm, điểm điểm Torricelli (phương pháp giải T Simpson) 64 D F A P B C E 65 Thang Long University Library KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi, vi phân hàm lồi kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Sylester toán Fermat – Torricelli công cụ vi phân hàm lồi N M Nam, N Hoang N T An (2014) Nội dung luận văn gồm : - Một số kiến thức tập lồi, nón lồi; - Hàm lồi phép tính hàm lồi; - Dưới vi phân hàm lồi tính chất; - Dưới vi phân hàm max; - Các kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Sylvester với hình cầu Euclid cơng cụ vi phân hàm lồi; - Các kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Fermat – Torricelli với ba hình cầu Euclid cơng cụ vi phân hàm lồi Sử dụng phương pháp giải tích lồi để giải toán sơ cấp nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] N M Nam ; N Hoang N T An (2014), Problem Sylvester and Problem Fermat – Torricelli, J Optime Theory Appl, Vol 160, pp.483 – 509 [4] J.-B Hiriart-Urruty, C Lemaréchal (1993), Convex Analysis and Minimization Algorithms I Fundamentals, Springer, Berlin [5] D Gisch, J M Ribando (2004), Apollonius’ Problems : a study of Solutions and their connections, Am J Undergrad Res 3, 15 – 26 [6] B Mordukhovich, N M Nam (2011), Applications of variational analysis to a generalized Fermat – Torricelli problem, J Optim Theory Appl 148, 431 – 454 67 Thang Long University Library ... hướng Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid phát biểu sau: “ Cho hai họ hữu hạn hình cầu Euclid Tìm hình cầu Euclid nhỏ chứa hình cầu họ thứ cắt tất hình cầu họ thứ hai” Bài toán Fermat – Torricelli. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - HỒNG THỊ THÙY LINH BÀI TỐN SYLVESTER VÀ BÀI TỐN FERMAT? ?? TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN... 2.2 Bài tốn Sylvester cho hình cầu Euclid 26 2.2.1 Sự tồn tại, nghiệm điều kiện tối ưu 26 2.2.2 Bài tốn Sylester suy rộng cho ba hình cầu 32 2.3 Bài tốn Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid