Bài toán sylvester và bài toán fermat torricelli cho các hình cầu euclid

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - HOÀNG THỊ THÙY LINH BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT – TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - HOÀNG THỊ THÙY LINH BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT– TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ : 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐỖ VĂN LƯU Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS ĐỗVăn Lưu – Người Thầy giúp đỡ hướng dẫn em suốt học tập làm luận văn Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội Em xin cảm ơn tới Giáo sư, Tiến sỹ Thầy, cô giáo môn Toán giảng dạy cho em kiến thức bản, tảng quý báu thời gian học cao học Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận Cảm ơn bạn lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, thân thiện nhiệt tình giúp đỡ thời gian học tập vừa qua Tôi cảm ơn người thân yêu gia đình bạn bè ủng hộ, động viên chỗ dựa tinh thần vững suốt trình học tập thời gian làm luận văn Tác giả Hoàng Thị Thùy Linh MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI 1.1 Tập lồi nón lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Nón lồi 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Hàm lồi 1.2.2 Các phép toán hàm lồi 14 1.3 Dưới vi phân hàm lồi 17 1.4 Dưới vi phân hàm max 23 Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID 2.1 Khái niệm định nghĩa 25 2.2 Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid 26 2.2.1 Sự tồn tại, nghiệm điều kiện tối ưu 26 2.2.2 Bài toán Sylester suy rộng cho ba hình cầu 32 2.3 Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid 49 2.3.1 Sự tồn nghiệm nghiệm tối ưu 49 2.3.2 Cấu trúc nghiệm 56 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích lồi cho ta lý thuyết phong phú đẹp đẽ hàm lồi ứng dụng tối ưu hóa với nhiều kết tiếng chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau hàm liên hợp, Định lý Moreau – Rockafellar vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tucker cho toán tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi đối tượng đẹp tối ưu hóa.Với toán lồi ta có điều kiện đặc trưng cho nghiệm toán ngôn ngữ vi phân hàm lồi Trong toán sơ cấp nhiều toán phát biểu với hàm lồi Với toán cực trị, hàm lồi đóng vai trò quan trọng Cực trị địa phương hàm lồi miền lồi cực tiểu toàn cục, cực đại hàm lồi đa giác lồi đạt đỉnh đa giác Nhiều toán sơ cấp hay phát biểu theo hướng Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid phát biểu sau: “ Cho hai họ hữu hạn hình cầu Euclid Tìm hình cầu Euclid nhỏ chứa hình cầu họ thứ cắt tất hình cầu họ thứ hai” Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid phát biểu sau: “ Cho hai họ hình cầu Euclid Hãy tìm điểm làm cực tiểu tổng khoảng cách xa đến hình cầu họ thứ khoảng cách gần đến hình cầu họ thứ hai” Các toán nghiên cứu công cụ giải tích lồi [3] Chính vậy, chọn đề tài “BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID ” Nội dung đề tài Luận văn trình bày số kiến thức hàm lồi, vi phân hàm lồi kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Sylvester toán Fermat – Torricelli N M Nam, N Hoang N T An đăng tạp chí J Optim Theory Appl 160 (2014) phương pháp giải tích lồi Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: “Các kiến thức vê hàm lồi vi phân hàm lồi” Trình bày số kiến thức tập lồi, nón lồi, hàm lồi phép toán hàm lồi, vi phân hàm lồi vi phân hàm max Chương 2: “ Bài toán Sylester toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid” Trình bày kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải Nam – Hoang – An (2014) cho toán Sylester với hình cầu Euclid toán Fermat – Torricelli với ba hình cầu Euclid Trường hợp quan trọng toán Sylester với ba hình cầu mối quan hệ với toán Apollonius trình bày chương Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI Chương trình bày số kiến thức tập lồi, nón lồi, hàm lồi phép toán hàm lồi, vi phân hàm lồi vi phân hàm max Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1], [2] 1.1 TẬP LỒI VÀ NÓN LỒI 1.1.1 Tập lồi Giả sử X không gian tuyến tính, R tập số thực Định nghĩa 1.1 Tập A X gọi lồi, nếu: ⊂ ∀ x,x ∈ A, ∀ λ R : ≤ λ ≤ ⇒ λ x + (1 - λ ) x ∈ ∈ A Giả sử A ⊂ X; x1, x2 ∈ A Định nghĩa 1.2 Đoạn nối x1, x2 định nghĩa sau: [x1, x2] = { x ∈ A : x = λ x1 + (1 - λ ) x2, ≤ λ ≤ 1} Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∃λ ≥ i ∈ X gọi tổ hợp lồi vectơ x , , x m ( i = 1, , m), ∑ m λi = 1, cho x = i =1 ∑ λi xi i=1 Nhận xét 1.1 Tập A lồi, nếu: x , x ∀ Ví dụ 1.1 ∈ A ⇒ [x , x ] ⊂ A m ∈ X , Chứng minh Theo công thức vi phân Fermat (3) công thức vi phân (5), x* 59 nghiệm tối ưu (2.13) nếu: ∈ ∂ ℋ(x*) = ∑ = ∑ ∂D(x* ; Θ i ) i∈J \ A( x* ) ∂D(x*; Θi + ) ∑ i∈A( x* ) ∂D(x ; Θ ) * i i∈J Khi kết luận suy từ kết mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.14 i=1 Θ i ≠ ∅ Xét (2.13) Giả sử Khi đó: Θi S= Chứng minh Cố định x* i =1 S ∈ i=1 Θ i ≠ ∅ inf2 x∈R Ngược lại, với x Khi ℋ(x*) = 0, x* ℋ(x) ≥ ∈ ∈ S, ta có ℋ(x) ≤ ℋ(x ) = Như vậy, D(x ; Θ ) = 0, i * với i = 1, 2, Điều kéo theo x ∈ Θi với i = 1, 2, 3, tương đương x ∈ i=1 Θ i ≠ ∅ Từ ta xét trường hợp i=1 Θ j x* ∈ S = ∅ Khi |A(x*)| < với Mệnh đề 2.15 Giả sử |A(x*)| = x* nghiệm tối ưu (2.13), chẳng hạn x* ∈ Θ1 Θ2 Khi điều kiện sau đúng: (i) Điểm x* tương giao [b1, b3] biên Θ1 , x* (ii) Điểm x* tương giao [b2, b3] biên (iii) Điểm x* thuộc vào giao biên Θ1 biên –e3 = se1 + te2 , 60 Θ2 , x* Θ2 , ∈ int Θ2 ∈ int Θ s, t ∈ [0, 1] ei = x −b * i với i = 1, 2, x* − bi Ngược lại, điều kiện thỏa mãn, x* nghiệm tối ưu toán (2.13) Chứng minh ∈ Giả sử |A(x*)| = x* Θ1 Θ2 Theo mệnh đề 2.13, –e3 Bởi e3 ≠ 0, ta có x* Trường hợp 1: x* ∈ ∈ ∈ [N(x*, Θ1 ) �] + [N(x*, Θ2 ) bdΘ1 x* ∈ �] (2.16) bdΘ2 ∈ bd Θ1 x* intΘ2 Trong trường hợp này, (2.16) qui về: ∈ –e3 N(x*, Θ1 ) Điều tương đương với kiện x* giao [b1, b3] biên Θ1 Như vậy, (i) thỏa mãn ∈ ∈ Trường hợp 2: x* bdΘ2 x* intΘ1 Tương tự trường hợp 1, với điều kiện này, (ii) thỏa mãn Trường hợp 3: x* ∈ ∈ bd Θ1 x* bdΘ2 Trong trường hợp này, (2.16) qui về: –e3 = se1 + te2 , s, t ∈ [0, 1] Chú ý trường hợp này, x* tương giao bdΘ1 bdΘ2 Vì có nhiều hai điểm tương giao này, điều kiện thỏa mãn Mệnh đề 2.16 Giả sử |A(x*)| = x* nghiệm tối ưu (2.13), chẳng hạn x* Khi đó: ∈ Θ1 – e2 – e3 N(x*; ∈ Θ1 ) 61 e2 , e3 ≤ −1 gược lại, điều N kiện thỏa mãn, x* nghiệm (2.13) bb b1 Hình 12 Bài toán Fermat – Torricelli suy rộng nghiệm Chứng minh Điều kiện (2.15) viết sau: – e2 – e3 ∈ N(x* ; Θ1 ) || e2 + e3|| ≤ Chú ý || e2 + e3|| ≤ e2 , e3 ≤ −1 Bổ đề chứng minh Việc xây dựng để tìm nghiệm sau: trước hết ta tìm tất nghiệm tập Θi với i = 1, 2, Nếu nghiệm tìm được, nghiệm bên tập Bổ đề 2.1 Nếu nghiệm tìm được, nghiệm tối ưu tìm cách giải toán Fermat – 62 Torricelli sinh bi với i = 1, 2, Chẳng hạn, nghiệm Θ tìm bước sau i=1 Θ i Bước 1: Nếu ≠ ∅ , điểm tương giao nghiệm Nếu không, ta chuyển sang bước Bước 2: Nối tâm [b1, bj], j = 2, Nếu chẳng hạn, [b1, b3] giao với bdΘ1 điểm thuộc vào int Θ2 , điểm nghiệm Nếu không, ta chuyển sang bước Bước 3: Tìm giao biên hình cầu Θ1 Θ2 , Θ1 Θ3 Chẳng hạn, giả sử p q giao bdΘ1 bdΘ2 Khi kiểm tra điều kiện –e3 ∈ [0, 1]e + [0, 1]e2 thỏa mãn điểm Nếu điều kiện thỏa mãn, chẳng hạn, p, p nghiệm (xem Hình 12) Nếu không, ta đến bước Bước 4: Kiểm tra [b2, b3] giao với Θ1 Nếu chẳng hạn, [b2, b3] giao với Θ1 , tìm tất điểm giao không thuộc vào Θ Θ , nghiệm Trong trường hợp này, [b2, b3] không cắt Θ1 Khi ta tìm u2 := [b1, b2] bdΘ1 , u3 := [b1, b3] bdΘ1 Tiếp theo, tìm điểm q1 đường cong u2u3 cho b q = b3q1b1 Nếu q1 không thuộc vào b1 Θ3 Θ2 (trong trường hợp khác, ta có |I(q1)| ≥ 2, q1 nghiệm, tìm trước đây), b2q1b3 ≥ o 120 , q1 nghiệm toán Bài toán Fermat – Torricelli cho ba điểm trường hợp đặc biệt toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid (2.12) Ví dụ 2.2 (Bài toán Fermat – Torricelli cho ba điểm) Cho trước ba điểm mặt phẳng Hãy tìm điểm thứ tư cho tổng khoảng 63 ch từ điểm tới cába điểm cho trước nhỏ A P B C F D E Bài toán Fermat E Torricelli giải phương pháp hình học sau: 1.∆ ABC Dựng tam giác đều: ∆ ABD, ∆ BCE, C ∆ ACF bên ∆ ho A BC Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ ABD, ∆ BCE, ∆ ACF Ba đường tròn cắt điểm, ký kiệu P Điểm P điểm có tổng khoảng cách đến ba điểm A, B, C ngắn Điểm gọi điểm Torricelli ∆ ABC cho Điểm Torricelli P nhìn ba cạnh ∆ ABC góc 120o Một phương pháp khác tìm điểm Torricelli sau: vẽ ba đường nối đỉnh tam giác nằm ∆ ABC với ba đỉnh đối diện ∆ ABC Ba đường cắt điểm, điểm điểm Torricelli (phương pháp giải T Simpson) 64 F A P C D B E 65 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi, vi phân hàm lồi kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Sylester toán Fermat – Torricelli công cụ vi phân hàm lồi N M Nam, N Hoang N T An (2014) Nội dung luận văn gồm : - Một số kiến thức tập lồi, nón lồi; - Hàm lồi phép tính hàm lồi; - Dưới vi phân hàm lồi tính chất; - Dưới vi phân hàm max; - Các kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Sylvester với hình cầu Euclid công cụ vi phân hàm lồi; - Các kết tồn nghiệm, điều kiện tối ưu cách giải cho toán Fermat – Torricelli với ba hình cầu Euclid công cụ vi phân hàm lồi Sử dụng phương pháp giải tích lồi để giải toán sơ cấp nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] N M Nam ; N Hoang N T An (2014), Problem Sylvester and Problem Fermat – Torricelli, J Optime Theory Appl, Vol 160, pp.483 – 509 [4] J.-B Hiriart-Urruty, C Lemaréchal (1993), Convex Analysis and Minimization Algorithms I Fundamentals, Springer, Berlin [5] D Gisch, J M Ribando (2004), Apollonius’ Problems : a study of Solutions and their connections, Am J Undergrad Res 3, 15 – 26 [6] B Mordukhovich, N M Nam (2011), Applications of variational analysis to a generalized Fermat – Torricelli problem, J Optim Theory Appl 148, 431 – 454 67 [...].. .Các nửa không gian là các tập lồi Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi Mệnh đề 1.1 X (α Giả sử A ⊂ α tập A = ∩ α∈I A ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó, cũng lồi α Từ định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 Giả sử tập A i tập lồi ⊂ X lồi,... là nón lồi ⇔ K chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử của K, tức là nếu x , , x 1 m ∈ K, λ1 , , λm m >0 thì ∑ i=1 λ i xi ∈ K Hệ quả 1.2 Giả sử A là tập bất kỳ trong X, K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của A Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A Định nghĩa 1.6 Tương giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và điểm 0 là một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh... theo phương d ≠ 0, nếu A+ d A( 0), hay: λ ⊂ ∀λ ≥ x+ d A ( 0, ) λ ∈ ∀λ ≥ ∀x ∈ A (1.1) Nhận xét 1.4 Tập A lùi xa theo phương d nếu A chứa tất cả các nửa đường thẳng xuất phát từ các điểm của A và theo phương d Định nghĩa 1.10 Tập các vectơ d ∈ X thỏa mãn (1.1) và vec tơ d = 0 được gọi là nón lùi xa (recession cone) của A; ký hiệu là o+ A Định lý 1.3 10 Giả sử tập A ⊂ X lồi, khác ∅ Khi đó, o+ A là nón... có: Kí hiệu các tập mức của f là Lα f Lα f = x∈X:f { x ≤α ( ) = x∈X: } { 16 ( x,α ∈ epif ) } Vì vậy, epif đóng kéo theo tất cả các tập Lα f đóng Ngược lại, giả sử tất cả các tập Lα f đóng Ta chứng minh epif đóng? Thật vậy, Lα f = (1.5) Lβ f β >α Giả sử x ,α ∉ ( 0 0 ) Để chứng minh epif đóng, ta chứng minh tồn tại lân cận V epif của x ,α sao cho: ( 0 ) Bởi vì epif ( 0 ( x ,α 0 0 ) ∉ epif , cho ) ∩V... β , x ∉ ℒ f Vì vậy, f(x) > α , nghĩa là ) α β V=∅ 1.2.2 Các phép toán về hàm lồi Định lý 1.9 Giả sử là một hàm lồi Nhận xét 1.6 f1, , fm α là các hàm lồi chính f1 + thường trên X Khi đó + fm tổng Nếu f1, , fm là các hàm lồi chính thường, thì f1 + + fm là hàm lồi nhưng có thể không chính thường Định lý 1.10 17 Giả sử F là tập lồi trong f X×R và (1.6) x = inf µ : { ( ( ) x, µ ∈ ) F } Khi đó f chính... là không gian tuyến tính, tập A i tích Đề các A 1 × i A là tập lồi trong X × m 1 × ⊂ X lồi ( i = 1, , m) Khi đó, i X × m Mệnh đề 1.4 Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X → Y là toán tử tuyến tính Khi đó a) A b) B ⊂ ⊂ X lồi ⇒ T(A) lồi; Y lồi ⇒ Nghịch ảnh T –1(B) của B là tập lồi Định lý 1.1 Giả sử tập A ⊂ X lồi; x1, , xm ∈ A Khi đó, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1, , xm 1.1.2 Nón... dương, cho nên nếu x, r ∈ epif thì f x ≤ ( ) ( ) r và ⇒λ ( epif λ f (x) = f (λ x) ≤ λr x, r ∈ ) (0 < λ < ∞ ) Như vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Do đó, epif là một nón lồi Vậy f là hàm lồi Hệ quả 1.4 Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương Khi đó, ∀xi ∈ X ,∀λi > 0 ( i = 1, , m ) f λ x + + λ x ( 1 1 m m ) ≤λ f x 1 ( 1) + + λ f x m ( m ) Định lý 1.8 Hàm f đóng khi và. .. có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi, có nghĩa là: ∀ x, y ∀λ , ∈ K, Ví dụ 1.2 µ >0 ⇒ Các tập sau đây trong Rn : {( , , ξ1 {( , , ξ1 ) ξn ∈ ) ξn ∈ R : R : ≥ ξi λx+ y µ ∈ K 0, i = 1, , n}, n > 0, i = 1, , n} ξi n là các nón lồi có đỉnh tại 0 Mệnh đề 1.5 Giả sử Kα ( α ∈ I ) là các nón lồi có đỉnh tại x0 với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó, Kα là nón lồi có đỉnh tại x0 α∈I Ví dụ 1.3... là hàm lồi trên X, trong đó X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Ví dụ 1.6 Giả sử f là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lân trên tập lồi mở A ⊂ Rn Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ khi ma trận Hessian :  ∂2 f  Qx =     là bán xác định dương ( x ∀ ∈ i A), tức là : < z, Q z > ≥ 0 ( z x j ∂x  ∀ ∈ Rn, x ∀ ∈ A) Ví dụ 1.7 Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn : || x || = < x,... m), do epif lồi và (xi, f(xi)) ∈ epif (i = 1, , m), theo định lý 1.4, ta có: ( λ1 x1 + + λm x , λ1 f(x ) + m 1 + ⇒ + f( λ1 x1 + Mệnh λm xm)đề ≤ 1.8 λm f(xm)) ∈ epif λ1 f(x1) + +  λm f(xm) Giả sử f : X → [ −∞, +∞ ] Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi: f( λ x + (1 - λ )y) < λ r + (1 - λ )s 14 ( ∀ λ ∈ (0, 1), x, y : f(x) < r, f(y) < s) ∀ Định lý 1.6 Giả sử f là hàm lồi trên X, < } và {x : f(x) ≤