Giải bài toán Fermat–Torricelli tổng quát bằng kĩ thuật trơn hóa Nesterov_2

Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– PHẠM THỊ HỒNG DUYÊN GIẢI BÀI TOÁN FERMAT-TORICELLI TỔNG QUÁT BẰNG KĨ THUẬT TRƠN HÓA NESTEROV LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– PHẠM THỊ HỒNG DUYÊN GIẢI BÀI TOÁN FERMAT-TORICELLI TỔNG QUÁT BẰNG KĨ THUẬT TRƠN HÓA NESTEROV Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI VĂN ĐỊNH Hà Nội - 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Văn Định, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả Phạm Thị Hồng Duyên Footer Page of 54 Header Page of 54 ii Lời cam đoan Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn TS Bùi Văn Định, luận văn chun ngành Tốn Giải tích với đề tài “Giải toán Fermat-Toricelli tổng quát kĩ thuật trơn hóa Nesterov” Trong khóa luận em có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận Em xin chịu hồn tồn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả Phạm Thị Hồng Duyên Footer Page of 54 Header Page of 54 iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu vii Nội dung x Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết từ giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.2 Phương pháp gradient 10 1.3 Kĩ thuật trơn hóa Nesterov tăng tốc thuật tốn gradient 14 1.3.1 Kĩ thuật trơn hóa Nesterov 14 1.3.2 Tăng tốc thuật toán gradient 20 1.3.3 Nguyên lý MM 21 Bài toán Fermat - Torricelli hệ hữu hạn điểm 23 2.1 Phát biểu toán Fermat - Torricelli 23 2.2 Phương pháp giải 25 2.2.1 Thuật toán 2.1 26 2.2.2 Chú ý 27 Footer Page of 54 Header Page of 54 iv Bài toán Fermat–Torricelli hệ hữu hạn tập hợp 28 3.1 Phát biểu toán Fermat–Torricelli 28 3.2 Phương pháp giải 30 3.2.1 Thuật toán 2.2 30 3.2.2 Một số ví dụ 39 Tài liệu tham khảo 45 Footer Page of 54 Header Page of 54 Các kí hiệu Rn bdF N (x, Θ) dF (x, Θ) πF (x, Θ) ∂f (x) Footer Page of 54 Không gian Euclid n - chiều Biên F Nón pháp tuyến Θ x Hàm khoảng cách suy rộng Hình chiếu suy rộng gradient f x Header Page of 54 vi Danh sách hình vẽ 1.1 Tập lồi, Tập khơng lồi 1.2 Hàm lồi, Hàm lõm 1.3 Nếu ∇f (x) = 0, ta có f (x − α∇f (x)) < f (x), ∀α ∈ (0, σ) 11 1.4 Hướng d tạo với ∇f (x) góc lớn 900 ∇f (x) d < f (x − α∇f (x)) < f (x), ∀α ∈ (0; σ) 3.1 Thuật toán MM toán Fermat-Torricelli suy rộng 3.2 11 30 Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng với chuẩn khác 40 3.3 Bài toán Fermat-Torricelli với thành phố Mỹ 41 3.4 Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng với phương pháp MM 42 Footer Page of 54 Header Page of 54 vii Mở đầu Lý chọn đề tài Vào năm 1643, nhà toán học tiếng người Pháp Pierre de Fermat đưa sách Treatise on Maxima and Minima tốn: Cho ba điểm mặt phẳng, tìm điểm thứ tư cho tổng khoảng cách từ điểm tới ba điểm nhỏ Bài toán giải nhà toán học người Ý Evangaelista Torricelli (1608-1647) gọi toán Fermat-Torricelli Kể từ tới nay, tốn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học tổng qt hóa tốn từ hệ điểm sang hệ k điểm mặt phẳng không gian hữu hạn chiều; từ tổng khoảng cách hệ điểm khơng có trọng số đến tổng khoảng cách có trọng số từ hệ hữu hạn điểm hệ hữu hạn tập Ngày nay, tốn tìm nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật Một vấn đề quan trọng đặt tiếp cận toán Fermat-Torricelli tổng quát xây dựng thuật toán hữu hiệu để giải, mục tiêu luận văn nhằm xây dựng số thuật toán giải toán Fermat-Torricelli cho hệ hữu hạn điểm toán FermatTorricelli cho hệ hữu hạn tập Do toán viết dạng tốn tối ưu với hàm mục tiêu không trơn, nên chúng tơi trình bày cách tiếp cận tốn cách sử dụng kĩ thuật trơn hóa hàm mục tiêu Nesterov sử dụng thuật toán gradient cải biên để Footer Page of 54 Header Page 10 of 54 viii giải tốn Từ lí trên, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “GIẢI BÀI TOÁN FERMAT-TORICELLI TỔNG QUÁT BẰNG KĨ THUẬT TRƠN HĨA NESTEROV” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức ứng dụng vào giải lớp toán nảy sinh từ thực tế Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số kĩ thuật giải Bài toán Fermat-Torricelli tổng quát ứng dụng giải số tập nảy sinh thực tế Nhiệm vụ nghiên cứu [1] Xây dựng thuật toán số hữu hiệu giải toán Fermat-Torricelli hệ hữu hạn điểm [2] Xây dựng thuật toán số hiệu giải toán Fermat-Torricelli hệ hữu hạn tập Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài tốn Fermat-Torricelli tổng qt Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu báo tài liệu liên quan đến toán Fermat-Torricelli tổng quát để xây dựng thuật toán giải toán Fermat-Torricelli Footer Page 10 of 54 Header Page 44 of 54 31 Bước lặp thứ k Có xk thực bước sau: Tính yk,i ∈ πF (xk ; Ωi ) Bước Giải toán m σF (x − yk,i ) : x ∈ Ω , M in M (x, w) = i=1 thu nghiệm tối ưu x¯k Bước Đặt xk+1 = x¯k kiểm tra điều kiện dừng: xk+1 − xk ≤ ε dừng Nếu khơng, thay k := k + quay Bước lặp thứ k Chú ý 3.2.1 Xét toán Ferrmat-Torricelli m x − , x ∈ Ω} M in{ϕ(x) := i=1 Với x ∈ / {a1 , , am } , ta có m ∇ϕ(x) := i=1 x − x − Giải phương trình ∇ϕ(x) = 0, ta m x= i=1 m i=1 x − x − Vậy ta có: F (x) := Footer Page 44 of 54 m       i=1 m      x i=1 x − : x ∈ / {a1 , , am } x − : x ∈ {a1 , , am } (3.2) Header Page 45 of 54 32 Trong trường hợp này, thuật toán trở thành Thuật toán sau: Chọn x0 ∈ Ω, tìm xk+1 := π (F (xk ); Ω) , k ≥ Trong trường hợp F hình cầu Euclide đóng Rn , ta có σF (x) = x Bài toán (*) trở thành: m x − yk,i M in x∈Ω i=1 thực bước giải toán sau: Mệnh đề 3.2.1 Xét tốn Fermat – Torricelli (2.2) F trơn tròn Giả sử {xk } dãy sinh Thuật tốn 2.3 cho cơng thức: m xk+1 ∈ arg σF (x − πF (xk ; Ωi )) |x ∈ Ω i=1 Khi đó, {xk } hội tụ đến x¯ không thuộc Ωi với i = 1, , m, x¯ nghiệm tối ưu toán (3.1) Chứng minh Vì dãy {xk } hội tụ đến x¯ khơng thuộc Ωi với i = 1, , m, nên ta giả sử xk ∈ / Ωi , i = 1, , m với k Từ định nghĩa dãy {xk } ta có m 0∈ ∇σF (xk+1 − π(xk ; Ωi )) + N (xk+1 ; Ωi ) i=1 Sử dụng tính liên tục ∇σF (.) tính chất phép chiếu πF (.) lên tập hợp lồi, đóng khác rỗng với tính đóng ánh xạ nón chuẩn tắc ta được: m 0∈ ∇σF (¯ x − π(¯ x; Ωi )) + N (¯ x; Ω) i=1 Do đó, m 0∈ ∂dF (¯ x; Ωi ) + N (¯ x; Ω) = ∂T (¯ x) + N (¯ x; Ω) i=1 Footer Page 45 of 54 Header Page 46 of 54 33 Điều chứng tỏ, x¯ nghiệm tối ưu cho toán (3.1) Bây ta thiết lập số điều kiện đủ để đảm bảo hội tụ dãy {xk } Để đơn giản, giả sử tập hợp hạn chế Ω khơng có giao với tập mục tiêu Ωi với i = 1, , m Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.1 Xét tốn Fermat–Torricelli suy rộng (2.2) có tập mục tiêu Ωi , với i = 1, , m bị chặn, F trơn tròn Giả sử tập Ω khơng có điểm chung với tập mục tiêu Ωi nào, i = 1, , m, với x, y ∈ Ω, x = y đường thẳng nối x y, L (x, y) giao với tập mục tiêu Khi đó, với x ∈ Ω, xét ánh xạ ψ : Ω → Ω xác định m σF (y − πF (x; Ωi )) : y ∈ Ω ψ(x) := arg i=1 Thì ψ liên tục điểm x¯ ∈ Ω T (ψ(x)) < T (x), x = ψ(x) Chứng minh Lấy x ∈ Ω Theo Mệnh đề 2.1.1 từ giả thiết cho, hàm m σF (y − πF (x; Ωi )), g(y) := i=1 hàm lồi chặt Ω, nghiệm tối ưu cho toán Fermat-Torricelli suy rộng sinh πF (x; Ωi ), i = 1, , m Do đó, ψ xác định tốt Cố định dãy {xk } hội tụ x¯ Thì yk := ψ(xk ) thỏa mãn m 0∈ ∇σF (yk − π(xk ; Ωi )) + N (yk ; Ω) i=1 Do tập hợp Ωi với i = 1, , m bị chặn, dãy {yk } bị chặn Thật vậy, giả sử Ωi bị chặn {yk } khơng bị chặn Thì tồn dãy ykp cho ykp → ∞, p → ∞ Khi p Footer Page 46 of 54 Header Page 47 of 54 34 m đủ lớn y ∈ Ω cố định, ykp = arg σF y − πF (xkp ; Ωi ) |y ∈ Ω , i=1 ta có: m m σF y − πF (xkp ; Ωi ) ≥ i=1 σF ykp − πF (xkp ; Ωi ) i=1 ≥ σF ykp − πF (xkp ; Ω1 ) ≥ γ ykp − πF (xkp ; Ω1 ) , γ số xác định Mệnh đề 1.1.1 Cho p → ∞ ta thấy {yk } bị chặn Điều mâu thuẫn Bây giờ, cố định dãy {yk } dãy {yk } hội tụ đến y¯ ∈ Ω Khi đó, m 0∈ ∇σF (yk − π(xk ; Ωi )) + N (yk ; Ω), i=1 điều m 0∈ ∇σF (¯ y − π(¯ x; Ωi )) + N (¯ y ; Ω) i=1 Do đó, y¯ = ψ(¯ x) Từ đó, yk = ψ(xk ) hội tụ đến y¯ = ψ(¯ x), ψ liên tục x¯ Với x ∈ Ω cố định cho x = ψ(x) Bởi hàm g lồi chặt Ω ψ(x) nghiệm cực tiểu Ω, ta có m m dF (ψ(x); Ωi ) ≤ T (ψ(x)) = i=1 σF (ψ(x) − πF (x; Ωi )) i=1 m σF (x − πF (x; Ωi )) = T (x) < i=1 Ta có điều phải chứng minh Định lý trình bày hội tụ thuật toán MM Định lý 3.2.1 Xét toán Fermat – Torricelli suy rộng Bổ đề 3.2.1 Giả sử {xk } dãy sinh thuật toán MM, tức là, Footer Page 47 of 54 Header Page 48 of 54 35 xk+1 = ψ(xk ), x0 ∈ Ω Khi đó, điểm tụ dãy {xk } nghiệm tối ưu toán (2.2) Nếu giả sử thêm tập Ωi , i = 1, , m lồi chặt, {xk } hội tụ tới nghiệm tối ưu toán cho Chứng minh Từ giả thiết cho [4, Mệnh đề 1] ta suy xk+1 + xk → Do xk+1 := ψ(xk ), áp dụng Bổ đề 3.2.1 ta có T (xk+1 ) ≤ T (xk ) ≤ ≤ T (x0 ), với k Từ giả thiết, ta suy ra, {xk } dãy bị chặn Với {xk } dãy dãy {xk } hội tụ x¯ Do xk+1 + xk → nên {xk+1 } hội → ∞ Bởi xk ∈ / Ωi với i = 1, , m với l, tụ x¯ theo định nghĩa dãy {xk } ta có: m 0∈ ∇σF (xk +1 − π(xk ; Ωi )) + N (xk +1 ; Ω) i=1 Nên chuyển qua giới hạn ta thu m 0∈ ∇σF (¯ x − π(¯ x ; Ωi )) + N (¯ x ; Ω) i=1 Do đó, m 0∈ ∂dF (¯ x ; Ωi ) + N (¯ x ; Ω) = ∂T (¯ x ) + N (¯ x ; Ω) i=1 Do đó, x¯ nghiệm tối ưu toán (2.2) Nếu Ωi , i = 1, , m hàm lồi chặt tốn 2.2) có nghiệm tối ưu x¯ theo Mệnh đề 3.1.1 Khi đó, x¯ = x¯ dãy {xk } hội tụ x¯ Cần lưu ý trường hợp tổng qt thuật tốn khơng hội tụ ví dụ sau Footer Page 48 of 54 Header Page 49 of 54 36 Ví dụ 3.2.1 Xét hai tập hợp Ω1 Ω2 tập R2 xác định Ω1 := (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 ≥ , Ω2 := (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 ≤ −1 Xét toán Fermat-Torricelli suy rộng (2.2) hai tập Ω1 Ω2 với ràng buộc Ω := R × {0} sinh chuẩn ∞ Tức F = (u1 , u2 ) ∈ R2 | |u1 | + |u2 | ≤ Điểm khởi tạo x0 = (0, 0), ta có y0,1 = (1, 1) y0,2 = (1, −1) Thì x1 = (1, 0) nghiệm tối ưu toán Fermat-Torricelli tổng quát y0,1 y0,2 sinh chuẩn ∞ Hoàn toàn tương tự, chọn y1,1 = (2, 1) y1,2 = (2, −1) ta thu x2 = (2, 0) Lặp lại trình ta thu dãy {xk } sinh thuật toán MM xk = (k, 0) Rõ ràng dãy phân kỳ Ví dụ sau Thuật tốn khơng hội tụ kể với toán Fermat-Torricelli suy sộng sinh chuẩn Euclide Ví dụ 3.2.2 Cho Ωi , i = 1, 2, ba hình tròn bán kính R2 với tâm có tọa độ (−4, 0), (0, 0) (4, 0) Xét tốn Fermat-Torricelli suy rộng khơng ràng buộc (2.2) với chuẩn Euclide Sử dụng điểm khởi tạo x0 = (0, 1) ta có y0,2 = x0 = (0, 1) y0,1 y0,3 giao điểm đoạn thẳng nối với tâm Ω1 Ω3 với biên chúng Dễ thấy, dãy xk sinh thuật toán MM là: xk = x0 với k, Tuy nhiên, x0 nghiệm tối ưu toán Tập nghiệm toán cho đoạn thẳng nối (−1, 0) (1, 0) Gọi Θ tập lồi, đóng, khác rỗng Xét hàm khoảng cách suy rộng dF (.; Θ) sinh F Với điểm x¯ ∈ / Θ điểm w¯ ∈ πF (¯ x; Θ) Footer Page 49 of 54 Header Page 50 of 54 37 gọi điểm đại diện vi phân ∂dF (¯ x; Θ) ∂σF (¯ x − w) ¯ ⊆ N (w; ¯ Θ) Từ định nghĩa ta thấy, F tròn trơn, w¯ := πF (¯ x; Θ) biểu diễn tập vi phân ∂dF (¯ x; Θ) Ví dụ 3.2.3 Với Θ khối lập phương [c1 − r, c1 + r] × [c2 − r, c2 + r] × [c3 − r, c3 + r] R3 F := (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 | |u1 | + |u2 | + |u3 | ≤ Với x ∈ / Θ, ta có w := y ∈ R3 |yi = max {ci − r, {xi , ci + r}} ∈ πF (x; Θ) điểm tập vi phân ∂dF (¯ x; Θ) Mệnh đề 3.2.2 Xét toán Fermat–Torricelli suy rộng (3.1) với {xk } dãy thuật toán MM xác định m xk+1 ∈ arg σF (x − yk,i ) : x ∈ Ω , i=1 yk,i ∈ πF (xk ; Ωi ) Giả sử {xk } hội tụ x¯ không thuộc Ωi , i = 1, , m Hơn nữa, với điểm giới hạn, y¯k ∈ πF (¯ x; Ωi ) {yk,i } điểm vi phân ∂dF (¯ x; Θ) Khi đó, x¯ nghiệm tối ưu toán cho Chứng minh Với k đủ lớn, từ định nghĩa dãy {xk }, ta có m 0∈ ∂σF (xk+1 − yk,i ) + N (xk+1 ; Ω) i=1 Từ bất đẳng thức σF (−yk,i ) ≤ σF (−xk )+∂σF (xk+1 − yk,i ) ≤ sup [σF (−xk ) + dF (xk ; Ωi )] < ∞, k Footer Page 50 of 54 Header Page 51 of 54 38 suy {yk,i }k dãy bị chặn Ωi , i = 1, , m Không giảm tổng quát, ta giả sử yk,i → y¯i ∈ πF (¯ x; Ωi ) k → ∞ Do ∂σF (u) compắc với u ∈ Rn ánh xạ nón chuẩn tắc u → → N (u; Ω) có đồ thị đóng nên m 0∈ ∂σF (¯ x − y¯i ) + N (¯ x; Ω) i=1 Bởi ∂σF (¯ x − y¯i ) = ∂σF (¯ x − y¯i ) ∩ N (¯ yi ; Ωi ) = ∂dF (¯ x; Ωi ), m 0∈ ∂dF (¯ x; Ωi ) + N (¯ x; Ω) = ∂T (¯ x) + N (¯ x; Ω) i=1 Nên x¯ nghiệm tối ưu toán (3.1) Chú ý 3.2.2 Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng trình bày chương chương giải phương pháp chiếu gradient Khi áp dụng thuật toán chiếu gradient vào toán Fermat-Torricelli suy rộng (2.2), bước lặp thứ k ta cần phải tìm gradient ui,k hàm thành phần ϕi (x) = dF (x; Ωi ) với i = 1, , m xk Theo quy tắc tổng vi phân giải tích lồi, ta có m wk := uk,i i=1 gradient T xk Mệnh đề 1.1.4 trường hợp đặc biệt trường hợp hàm khoảng cách Hệ 1.1.1 cho phép ta tính gradient Lưu ý rằng, xk ∈ Ωi , ∈ ∂dF (xk ; Ωi ), đó, ta chọn uk,i = Trong trường hợp xk ∈ / Ωi gradient uk,i xác định thơng qua điểm pk,i ∈ πF (xk ; Ωi ) va ta tìm uk,i phân tử tập uk,i ∈ ∂σF (xk − pk,i ) ∩ N (pk,i ; Ωi ) Footer Page 51 of 54 Header Page 52 of 54 39 Thuật tốn chiếu gradient có tốc độ hội tụ chậm áp dụng vào toán Fermat-Torricelli tổng quát (2.2) (3.1) Một lý bước lặp, ta cần phải tính tất gradient uk,i với i = 1, , m Việc tính tốn có chi phí cao số tập mục tiêu lớn Để khắc phục vấn đề này, ta áp dụng phương pháp gradient ngẫu nhiên sau Trong lần lặp, thay tính tất gradient phương pháp gradient, ta chọn biến ngẫu nhiên t có phân phối từ I tìm gradient wk,t ∈ ∂dF (xk ; Ωt ) Sau đó, xác định w˜k := mwk,t thực bước lặp xk+1 := π(xk − αk w˜k ; Ω) 3.2.2 Một số ví dụ Để minh họa thuật tốn trình bày trên, ta xét ví dụ số Ví dụ 3.2.4 Sử dụng hệ tọa độ địa lý kinh độ vĩ độ theo định dạng thập phân 1217 thành phố Hoa Kỳ lưu trữ tại, http://www.realestate3d.com/gps /uslatlongdegmi.htm Ta thực việc chuyển đổi kinh độ trang web từ dương sang âm để phù hợp với liệu thực Mục tiêu tìm điểm làm cực tiểu tổng khoảng cách đến điểm cho trước đại diện cho thành phố Nếu xem xét trường hợp σF (x) = x , chuẩn Euclid, từ Thuật toán 2.1 ta xác định giá trị tối ưu V ∗ ≈ 23409.33 nghiệm tối ưu x∗ ≈ (38.63, −97.35) Tương tự, σF (x) = x giá trị tối ưu V ∗ ≈ 28724.68 nghiệm tối ưu x∗ ≈ (39.48, −97.22) Với trường hợp vậy, ta xét theo chuẩn Footer Page 52 of 54 ∞, ta có giá trị tối ưu V ∗ ≈ Header Page 53 of 54 40 21987.76 nghiệm tối ưu x∗ ≈ (37.54, −97.54) Hình 3.2 cho ta mối quan hệ số lần lặp k giá trị tối ưu Vk = H(yk ) chuẩn Hình 3.2: Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng với chuẩn khác Ví dụ 3.2.5 Với giả thiết Ví dụ 3.2.4, ta xét 1217 vng có tâm tọa độ thành phố với cạnh 2r = Đường giới hạn đường thẳng cho phương trình x − y = −180 Ta áp dụng Thuật toán 2.2 với điểm xuất phát x0 = (0, 180) để giải toán Fermat-Torricelli suy rộng với tập đích vng chuẩn Euclide Trong bước thuật toán MM, sử dụng thêm thuật toán Weiszfeld để giải toán Fermat-Torricelli cổ điển tạo phép chiếu yk,i với i = 1, , 1217 Trong ví dụ này, phương pháp MM cho tốc độ hội tụ nhanh Với năm lần lặp thuật toán MM mười lần lặp thuật tốn Weiszfeld, ta xác định giá trị tối ưu V ∗ ≈ 38161.35 nghiệm tối ưu x∗ ≈ (56.84, −123.16), xem hình 3.3 Tuy nhiên, ta cần phải thực 15.000 lần lặp thuật toán gradient ngẫu nhiên để đạt kết tương tự Tuy nhiên, thuật toán MM khơng hội tụ số trường hợp xk thuộc vào tập đích, phương pháp gradient ngẫu nhiên có Footer Page 53 of 54 Header Page 54 of 54 41 thể áp dụng cho trường hợp Hình 3.3: Bài toán Fermat-Torricelli với thành phố Mỹ Ví dụ 3.2.6 Xét sáu khối lập phương R3 cho trước với tâm xác định hàng ma trận  −6  −5        −5 −3 −4 −2 −4 −6 −5 −6          độ dài cạnh 2ri = với i = 1, , Áp dụng thuật toán để giải toán Fermat–Torricelli suy rộng với khối lập phương ứng với chuẩn Euclide ta nghiệm tối ưu xấp xỉ x∗ = (−1.0405, 0.8402, −1.4322) Cũng thu kết phương pháp gradient với tốc độ hội tụ thấp nhiều Cùng toán ta xét theo chuẩn ∞ việc lựa chọn hình chiếu từ điểm x tới khối lập phương Ω với tâm c bán kính r cho y ∈ R3 |yi = max {ci − r, {xi , ci + r}} ∈ π (x; Ω) Từ ta thu nghiệm tối ưu xấp xỉ x∗ = (−0.6511, 0.6511, −0.3489), Footer Page 54 of 54 Header Page 55 of 54 42 xem Hình 3.4 Hình 3.4: Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng với phương pháp MM Footer Page 55 of 54 Header Page 56 of 54 43 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu việc sử dụng kĩ thuật trơn hóa hàm mục tiêu có cấu trúc Nesterov để giải toán FermatTorricelli tổng quát hệ hữu hạn điểm toán Fermat-Torricelli tổng quát hệ hữu hạn tập đồng thời áp dụng vào việc giải số lớp toán cụ thể Trên luận văn em Do thời gian lực có hạn nên luận văn nhiều sai sót Em mong q thầy góp ý, bảo để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page 56 of 54 Header Page 57 of 54 44 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng việt [1] Nguyễn Năng Tâm (2011), Lý thuyết tối ưu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] S Boyd and L Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press US [3] F H Clarke (1983), Nonsmooth Analysis and Optimization, John Wiley and Sons, New York [4] E Chi, H Zhou and K Lange (2014), Distance majorization and its applications, Math Program., 146, 409-436 [5] L, Dalla (2001), A note on the Fermat-Torricelli point of a d-simplex J Geom 70, 38-43 [6] J B Hiriart-Urruty and C Lemarechal (1993), Convex Analysis and Minimization Algorithms I and II, Grundlehren Math Wiss 305 and 306, Springer-Verlag, Berlin [7] B S Mordukhovich and N M Nam (2014), An Easy Path to Convex Analysis and Applications, Synth Lect Math Stat 14, S G Krantz, ed., Morgan and Claypool Publishers, Williston, VT Footer Page 57 of 54 Header Page 58 of 54 45 [8] N M Nam, N T An, R B Rector and J Sun (2014), Nonsmooth algorithms and Nesterov’s smoothing technique for generalized FermatTorricelli problems, SIAM J Optim., 24, no 4, 1815-1839 [9] Y Nesterov (2004), Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course, Appli Optimi 87, Kluwer Academic Publ., Boston, MA [10] Y Nesterov (2005), Smooth minimization of non-smooth functions, Math Program., 103, 127–152 [11] T V Tan (2010), An extension of the Fermat-Torricelli problem, J Optim Theory Appl., 146, 735-744 Footer Page 58 of 54 ... thuật toán gradient cải biên để Footer Page of 54 Header Page 10 of 54 viii giải tốn Từ lí trên, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “GIẢI BÀI TOÁN FERMAT-TORICELLI TỔNG QUÁT BẰNG KĨ THUẬT TRƠN... dụng khoa học kĩ thuật Một vấn đề quan trọng đặt tiếp cận toán Fermat-Torricelli tổng quát xây dựng thuật tốn hữu hiệu để giải, mục tiêu luận văn nhằm xây dựng số thuật toán giải toán Fermat-Torricelli... ——————–o0o——————– PHẠM THỊ HỒNG DUYÊN GIẢI BÀI TOÁN FERMAT-TORICELLI TỔNG QUÁT BẰNG KĨ THUẬT TRƠN HĨA NESTEROV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA