Bài giảng Toán kinh tế 1: Chương 3 - ThS. Nguyễn Ngọc Lam

PHẦN II ĐẠO HÀM, VI PHÂN Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương HÀM NHIỀU BIẾN chương TÍCH PHÂN chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 55 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y hai tập Nếu x  X, cho tương ứng y = f(x)  Y theo qui tắc f, f gọi ánh xạ từ X vào Y Ký hiệu: f : X  Y x  f (x ) x  y  f ( x) • Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) • Tồn ánh: Với y  Y, x  X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa đơn ánh tồn ánh • Nếu f: XY song ánh f-1: YX ánh xạ ngược f 56 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X,Y  R, ta gọi ánh xạ f:XY hàm số biến Ký hiệu y = f(x) x: biến độc lập y: biến phụ thuộc Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị f 57 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g mxđ X: • f = g: f(x) = g(x),  x  X • f  g = f(x)  g(x), xX • fg = f(x)g(x), xX • af = af(x), xX • f/g = f(x)/g(x), xX, g(x)0 58 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x) Khi f = f[g(x)] hàm số hợp biến độc lập x thông qua biến trung gian u Ký hiệu fog Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog với g = lg2x, f = sinx, h=ex Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X Nếu f: XY song ánh f-1: YX gọi hàm số ngược f • Đồ thị f, f-1 đối xứng qua đường y = x 59 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi tăng (giảm) (a,b) nếu: x1,x2  (a,b): x1 < x2 => f(x1)  f(x2) (f(x1)  f(x2)) • f gọi tăng (giảm) nghiêm ngặt (a,b) nếu: x1,x2  (a,b): x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)) • Hàm số tăng giảm (a,b) gọi đơn điệu Hàm số bị chặn: • f gọi bị chặn M: |f(x)|  M, x • f gọi bị chặn M: f(x)  M, x • f gọi bị chặn m: f(x)  m, x 60 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hồn: Cho hàm số f có miền xác định X Hàm số gọi tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X Số T0 > nhỏ (nếu có) T gọi chu kỳ sở hàm số f Ví dụ: • Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ sở T0 = 2 • Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ sở T0 =  61 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x  X • f gọi hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X • f gọi hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X Ví dụ: f(x) = cosx + x- x2 g ( x )  log( x  x  1) Hàm số chẵn Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 62 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2 PHÂN LOẠI HÀM SỐ Hàm số luỹ thừa: y = x , với   R •   N: mxđ R •  nguyên âm: mxđ x ≠ •  có dạng 1/p, p  Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ •  số vô tỉ: qui ước xét y = x x  0,  > x >  < Đồ thị y = x qua điểm (1,1) qua góc toạ độ (0,0)  > 0, khơng qua góc toạ độ  < 63 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với x • Hàm số mũ tăng a > • Hàm số mũ giảm a < • Điểm (0,1) nằm đồ thị hàm số mũ 64 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn bên: • Bên phải:  > 0,  > 0: x0 < x < x0 +   f(x) – L <  lim f ( x )  L x  x0  • Bên trái:  > 0,  > 0: x0 -  < x < x0  f(x) – L <  lim f ( x)  L x x0  Định lý: lim f ( x )  L  lim x  x0 x  x0  Ví dụ, Tìm giới hạn f(x) x0 f ( x )  lim f ( x)  L x  x0   x x  f ( x)   1 - x x  72 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn lân cận : lim f ( x )  L x    > 0, N > đủ lớn: x > N  f(x) - L <  lim f ( x )  L x    > 0, N < đủ nhỏ: x < N  f(x) - L <  Ví dụ, chứng minh lim 0 x   x 73 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Giới hạn vô hạn hàm số: lim f ( x )   x  x0 M > lớn tuỳ ý,  > 0: < x – x0 <   f(x) > M lim f ( x )   x  x0 N < nhỏ tuỳ ý,  > 0: < x – x0<   f(x) < N Ví dụ: chứng minh lim x a ( x  a )   74 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Các tính chất giới hạn hàm số: Định lý: lim f(x) = A lim g(x) = B • lim (f ± g) = A ± B • lim (fg) = AB • lim (f/g) = A/B (B ≠ 0) • lim fg = AB • lim C = C • lim [Cf(x)] = CA Ghi chú: Nếu gặp dạng vô định 0/0, /,  - , 0., 1, 0, 00 phải biến đổi để khử chúng 75 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Tìm x3  a) lim x 2 x  b) lim x  3x  x  x2  c) lim ( x3  x  1) x 76 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) x thuộc lân cận x0 Nếu lim g ( x )  lim h ( x )  L  x  x0 x  x0 lim f ( x )  L x  x0 Ví dụ: Tìm lim x sin (1 / x ) x Định lý: Trong trình, lim u(x) = L f hàm sơ cấp xác định lân cận L, limf(u) = f(L) = f(limu) Ví dụ: Tìm  x    lim sin   2x  x  x   77 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Một số giới hạn đặc biệt: x 1 sin x  lim 1    e lim 1 x x  x0 x 1/ x a x 1   lim  x e lim  ln a x0 x 0 x ln(1  x) lim 1 x x 0 • Hàm số lũy thừa:   : lim x  ; lim x  x    : lim x  x   x 0   0; lim x  x  0   78 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ • Hàm mũ: a 1 : lim a x   ; lim a x  x   x x   x  a  : lim a  0; lim a   x   • Hàm logarit: a 1 x   : lim loga x  ; lim loga x   x 0  x   a  1: lim loga x  ; lim loga x   x 0 x  • Hàm ngược lượng giác:   lim arctgx  ; lim arctgx   2 x   x   lim arccotgx  0; lim arccotgx   x   x   79 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Chứng minh: tgx lim 1 x0 x Ví dụ: Tìm: arcsin x lim 1 x x0 3 x  lim   x   x  x arctgx lim 1 x 0 x x 3 x    lim   x   x   Vô bé vô lớn: Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi vơ bé (vơ lớn) q trình limf(x) = (limf(x) = ) 80 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Cho f(x), g(x) hai VCB trình lim(f/g) = A, nếu: • A = 0: f VCB bậc cao g Ký hiệu: f(x) = 0g(x) • A = : f VCB bậc thấp g • A (hằng số  0, ): f, g hai VCB bậc • A = 1: f, g hai VCB tương đương Ký hiệu f(x)~g(x) • Nghịch đảo VCB (VCL) VCL (VCB) 81 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f, g hai VCB, f~f1, g~g1 lim(f/g) = lim(f1/g1) Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g VCB bậc cao f q trình f + g ~ f Ví dụ: Chứng minh sin x  arcsin x  arctg x lim  3x x sin x x~ x  x Khi x 0+ 82 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa: Hàm số f gọi liên tục x0 nếu: lim f ( x )  f ( x0 ) Liên tục bên: • Liên tục phải: lim x  x0 x  x0  • Liên tục trái: lim x  x0  f ( x )  f ( x0 ) f ( x )  f ( x0 ) Định lý: f liên tục x0 f liên tục phải liên tục trái x0 83 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi gián đoạn x0 khơng liên tục x0 Hàm số f(x) gián đoạn x0 trường hợp sau: - f không xác định x0 - f xác định x0 lim f(x) ≠ f(x0) x  x0 - không tồn lim f(x) x  x0 Ví dụ: Xác định tính liên tục x0 =  x  x  f ( x)    x  x  f ( x)  x 84 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: f gọi liên tục khoảng mở (a,b) liên tục điểm thuộc khoảng Định nghĩa: f gọi liên tục khoảng đóng [a,b] liên tục điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải a liên tục bên trái b 85 C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f, g hàm số liên tục x0 hàm số sau liên tục x0: kf (k số), f+g, fg, f/g (g(x0)≠0) Định lý: Trong trình limu(x) = u0 f liên tục u0 limf(u(x)) = f(lim u(x)) = f(u0) Định lý: Nếu f liên tục [a,b] f(a)f(b) < x0  (a,b): f(x0) = Định lý: Nếu f liên tục [a,b] f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ [a,b] 86