Bài giảng Toán kinh tế 2: Chương 3.2 - Trường ĐH Bách khoa Hà Nội trình bày các kiến thức trọng tâm về thanh toán nợ thông thường bao gồm: Kỹ thuật thanh toán nợ; Định luật về thanh toán nợ gốc; Tính số tiền thanh toán nợ gốc lần đầu; Tính số tiền thanh toán nợ gốc ở bất kỳ thời kỳ nào;... Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng dưới đây để nắm được nội dung chi tiết nhé!
3.3 Thanh tốn nợ thơng thường ▪ Thanh tốn nợ thông thường, tức khoản nợ liên quan đến chủ nợ ▪ Cơ sở để nghiên cứu toán nợ trái phiếu phần ▪ Các khoản nợ thơng thường tốn nhiều lần ▪ Trường hợp tốn nhiều lần tốn theo chuỗi niên kim cố định khơng cố định 76 Tài khoản vãng lai theo lãi gộp ▪ Ví dụ: Ngày 1/9/1982 A cho B vay 3.000 Ngày 1/9/1985 B trả cho A 1.000 Ngày 1/9/1986 B trả cho A 2.000 Lãi suất quy định 5%/năm (TK lãi suất) Hãy xác định số dư nợ B vào ngày 1/9/1987? (ngày tất toán tài khoản) 77 Tài khoản vãng lai theo lãi gộp ▪ Ta dùng phương pháp trực tiếp Tài khoản B (do A quản lý) Nợ 1/9/1982 Có 3000 1/9/1985 1000 1/9/1986 2000 78 Tài khoản vãng lai theo lãi gộp Tài khoản B Nợ Có V5 từ 1/9/1982 – 1/9/1987 V2 từ 1/9/1985 – 1/9/1987 V5 = 3000*1,055 = 3828,85 V2 = 1000*1,052 = 1102,5 V1 từ 1/9/1986 – 1/9/1987 V1 = 2000*1,05 = 2100 V1 + V2 = 1102,5 + 2100 = 3202,5 Ngày 1/9/1987, TK B dư Nợ là: 3828,85 – 3202,5 = 626,35 79 Kỹ thuật toán nợ ▪ Trong phần lớn trường hợp, việc toán nợ thường thực trả định kỳ niên kim cố định: a1, a2, a3 an ▪ Số tiền niên kim bao gồm phần lãi phần toán nợ gốc: V = m1 + m2 + m3 + + mn ▪ Ví dụ: Một người vay khoản tiền V (hay D0) n thời kỳ (năm), lãi suất i, toán nợ theo niên kim cố định 80 Kỹ thuật tốn nợ ▪ Cuối năm thứ 1, người phải toán nợ niên kim a1, số tiền để trả số lãi Vi phần nợ gốc m1 a1 = Vi + m1 ▪ Số dư nợ vào đầu năm thứ 2: D1 = D0 - m1 ▪ Cuối năm thứ 2, người tốn nợ niên kim a2 a2 = D1*i + m2 ▪ Số dư nợ vào đầu năm thứ 3: D2 = D1 – m2 ▪ Đến cuối năm thứ n, người phải tốn niên kim an an = Dn-1*i + mn 81 Bảng toán nợ Thời Số dư nợ đầu Lãi thời Thanh toán kỳ thời kỳ (D) kỳ (D.i) nợ gốc (m) Niên kim (a) D0 = V D0.i = V.i m1 a1 = D0.i + m1 D1 = D0 - m1 D1.i m2 a2 = D1.i + m2 D2 = D1 - m2 D2.i m3 a3 = D2.i + m3 p Dp-1 = Dp-2 - mp-1 Dp-1.i mp ap = Dp-1.i + mp n-1 Dn-2 = Dn-3 - mn-2 Dn-2.i mn-1 an-1 = Dn-2.i + mn-1 n Dn-1 = Dn-2 - mn-1 Dn-1.i mn an = Dn-1.i + mn D0 = V 82 Kỹ thuật toán nợ ▪ Nếu xem xét việc toán nợ theo tài khoản vãng lai theo lãi gộp ta lập bảng sau: Cuối Nợ Có Dư Nợ thời kỳ V(1+i) a1 V(1+i) - a1 V(1+i)2 a1(1+i) + a2 V(1+i)2 - [a1(1+i) + a2] V(1+i)3 a1(1+i)2 + a2(1+i) + a3 V(1+i)3 - [a1(1+i)2 + a2(1+i) + a3] n V(1+i)n a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + + an-1(1+i) + an 83 Kỹ thuật toán nợ ▪ Số dư nợ cuối thời kỳ số tiền thu khoản nợ V trừ số tiền thu số niên kim toán thời kỳ V(1+i)n = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + + an-1(1+i) + an Chia vế cho (1+i)n, ta có: V = a1(1+i)-1 + a2(1+i)-2 + + an-1(1+i)-(n-1) + an(1+i)-n => Số tiền vay V tổng giá trị niên kim mà người mặc nợ thỏa thuận toán cho chủ nợ 84 3.3.1 Thanh tốn nợ thơng thường theo chuỗi niên kim cố định ▪ Ta có chuỗi niên kim cố định: a = a1 = a2 = a3 = V = a1(1+i)-1 + a2(1+i)-2 + + an-1(1+i)-(n-1) + an(1+i)-n => 𝑉 = 𝑎 #'(#,-)!" ∗ - 85 Ví dụ Một khoản nợ 10000 với thời hạn năm, lãi suất 3% Hãy lập bảng toán khoản nợ biết lãi trả vào đầu hàng năm 122 Ví dụ Lãi suất danh nghĩa i = 0,03, lãi trả vào đầu năm - nên lãi suất thực tế t là: 𝑡 = #'- = 0,030927 Khoản toán nợ gốc lần đầu: 0,030927 𝑚# = 10000 ∗ = 3232,334 1,030927 − 𝑚0 = 𝑚# ∗ 1,030927 123 Ví dụ Năm Dư nợ cuối năm Lãi trả trước Thanh toán nợ gốc Niên kim 300 10000 203,03 3232,334 3435,363 6767,666 103,06 3332,303 3435,363 3435,363 3435,363 3435,363 10000 10306,090 606,09 124 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc cố định ▪ Niên kim ak gồm: ▪ Tiền toán nợ gốc: m ▪ Số lãi dư nợ D: D.i Þ 𝑎1 = 𝐷 ∗ 𝑖 + 𝑚 ▪ Niên kim ak+1 gồm: ▪ Tiền toán nợ gốc: m ▪ Số lãi dư nợ D-m: (D – m).i Þ 𝑎1,#= 𝐷 − 𝑚 ∗ 𝑖 + 𝑚 = 𝐷 ∗ 𝑖 + 𝑚 − 𝑚 ∗ 𝑖 125 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc cố định ▪ Ta thấy niên kim biến động theo cấp số cộng, cơng sai –m*i ▪ Vì khoản toán nợ gốc cố định nên: 𝑉 𝑉 =𝑛∗𝑚 ⇒𝑚 = 𝑛 ▪ Ta viết lại cơng sai: 𝑏 = 7∗− ! 126 Thanh tốn nợ theo khoản toán nợ gốc cố định ▪ Niên kim thứ nhất: 𝑉 𝑎! = 𝑉 ∗ 𝑖 + 𝑚 = 𝑉 ∗ 𝑖 + = 𝑉 𝑖 + 𝑛 𝑛 ▪ Niên kim thứ k: 𝑎" = 𝑎! + 𝑘 − 𝑉∗𝑖 𝑉∗𝑖 − =𝑉 𝑖+ − 𝑘−1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖 ⇒ 𝑎" = 𝑉 ∗ 𝑖 + − (𝑘 − 1) 𝑛 𝑛 127 Ví dụ Một khoản nợ 1000000 với lãi suất 5% phải toán năm Hãy lập bảng tốn nợ biết niên kim thực theo khoản toán nợ gốc cố định 128 Ví dụ Năm Số dư nợ cuối năm Số lãi toán năm Thanh toán nợ gốc Niên kim 1000000 50000 250000 300000 750000 37500 250000 287500 500000 25000 250000 275000 250000 12500 250000 262000 125000 1000000 1125000 129 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc biến động theo cấp số cộng, công sai khoản trả nợ gốc lần đầu Một khoản nợ A toán n niên kim bao gồm khoản toán nợ gốc có quan hệ với khoản tốn nợ gốc thứ a Tính số tiền khoản toán nợ gốc lần đầu m1 b Tính niên kim ap, thứ hạng p(n) thực vào cuối năm bao gồm khoản toán nợ gốc mp số lãi theo lãi suất i khoản dư nợ đầu năm c Lập bảng toán nợ biết khoản nợ phải lập bảng toán 42000, lãi suất 5% phải toán năm 130 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc biến động theo cấp số cộng, công sai khoản trả nợ gốc lần đầu a Ta có: m1 + m2 + m3 + + mn = A Mà: m2 = 2m1 ; m3 = 3m1 ; mk = km1 Þm1 + 2m1 + + nm1 = A Þm1(1 + + + + n) = A Þ𝑚# ∗ ! !,# ' = 𝐴 ⇒ 𝑚# = 𝐴 ∗ ' !(!,#) 131 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc biến động theo cấp số cộng, công sai khoản trả nợ gốc lần đầu b Niên kim ap bao gồm: - Số tiền toán nợ gốc mp - Số lãi Ip dư nợ vào đầu thời kỳ p Ta biết: 𝑚9 = 𝑝𝑚# = 𝐴 09 ∗ !(!,#) 132 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc biến động theo cấp số cộng, công sai khoản trả nợ gốc lần đầu Để tính số lãi Ip ta phải biết số dư nợ đầu thời kỳ p mà ta gọi D, có nghĩa D sau thực khoản toán nợ gốc thứ hạng (p-1) Ta diễn đạt D sau: D = A – (m1 + m2 + + mp-1) = A – (m1 + 2m1 + + (p-1)m1) 𝑝 𝑝−1 𝑝 𝑝−1 2𝐴 ⇒𝐷 =𝐴− ∗ 𝑚# = 𝐴 − ∗ 2 𝑛(𝑛 + 1) (𝑛 + 𝑝)(𝑛 − 𝑝 + 1) ⇒𝐷 =𝐴∗ 𝑛(𝑛 + 1) 133 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc biến động theo cấp số cộng, công sai khoản trả nợ gốc lần đầu ▪ Số lãi Ip theo lãi suất i là: (𝑛 + 𝑝)(𝑛 − 𝑝 + 1) 𝐼2 = 𝐴 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛(𝑛 + 1) ▪ Niên kim ap: 𝑎2 = 𝐴 ∗ '2 ! !,# +𝐴∗𝑖∗ ⇒ 𝑎2 = 𝐴 ∗ (!,2)(!$2,#) !(!,#) '2,+(!,2)(!$2,#) !(!,#) 134 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc biến động theo cấp số cộng, công sai khoản trả nợ gốc lần đầu Trường hợp niên kim cuối p = n, ta có: 2(1 + 𝑖) 𝑎! = 𝐴 ∗ (𝑛 + 1) 135 Thanh toán nợ theo khoản toán nợ gốc biến động theo cấp số cộng, công sai khoản trả nợ gốc lần đầu Năm Số dư nợ đầu năm Số lãi theo 5% Số tiền toán nợ gốc năm Niên kim 42000 2100 2000 4100 40000 2000 4000 6000 36000 1800 6000 7800 30000 1500 8000 9500 22000 1100 10000 11100 12000 600 12000 12600 9100 42000 51100 136 ... D2 = D1 - m2 D2.i m3 a3 = D2.i + m3 p Dp-1 = Dp-2 - mp-1 Dp-1.i mp ap = Dp-1.i + mp n-1 Dn-2 = Dn-3 - mn-2 Dn-2.i mn-1 an-1 = Dn-2.i + mn-1 n Dn-1 = Dn-2 - mn-1 Dn-1.i mn an = Dn-1.i +... niên kim tốn thời kỳ V(1+i)n = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + + an-1(1+i) + an Chia vế cho (1+i)n, ta có: V = a1(1+i )-1 + a2(1+i )-2 + + an-1(1+i )-( n-1) + an(1+i)-n => Số tiền vay V tổng giá trị niên... 84 3.3. 1 Thanh tốn nợ thơng thường theo chuỗi niên kim cố định ▪ Ta có chuỗi niên kim cố định: a = a1 = a2 = a3 = V = a1(1+i )-1 + a2(1+i )-2 + + an-1(1+i )-( n-1) + an(1+i)-n =>