Bài giảng Toán kinh tế 2: Chương 3.2 - Trường ĐH Bách khoa Hà Nội trình bày các kiến thức trọng tâm về chuỗi niên kim bao gồm: Chuỗi niên kim cố định; Chuỗi niên kim không cố định; Chuỗi niên kim theo cấp số nhân;... Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng dưới đây để nắm được nội dung chi tiết nhé!
3.2 Chuỗi niên kim ▪ Niên kim: khoản tiền bỏ với khoảng thời gian để hình thành khoản vốn ▪ Chuỗi niên kim: tập hợp niên kim mà khoảng cách thời gian thực hai niên kim không đổi, khoảng thời gian gọi thời kỳ chuỗi niên kim ▪ Thời điểm gốc: thời điểm có khoảng cách thời gian thời kỳ trước niên kim thực (trường hợp niên kim thực cuối thời kỳ) ▪ Có dạng chuối niên kim ▪ Chuỗi niên kim cố định ▪ Chuỗi niên kim không cố định 30 3.2.1 Chuỗi niên kim cố định ▪ Số tiền thu Vn chuỗi niên kim cố định tổng số tiền thu n niên kim tính thực niên kim cuối (Trong trình nghiên cứu tiếp theo, ta giả thiết niên kim thực cuối thời kỳ) ▪ Cơng thức tính Vn: (1 + 𝑖)! −1 𝑉! = 𝑎 ∗ 𝑖 31 Ví dụ Một người vào cuối năm bỏ số vốn 10000, lãi suất năm 5,5% Hỏi sau 20 năm người có số vốn bao nhiêu? 32 Ví dụ ▪ Số tiền thu 15 niên kim cố định, niên kim 5000 100000 Hãy xác định lãi suất i? 33 Ví dụ Một người muốn sau 14 năm có số vốn 400000, lãi suất 50% Hỏi người năm phải bỏ số vốn la bao nhiêu? 34 Ví dụ Một người muốn sau 10 năm có khoản vốn 1000000 Lãi suất 6% năm Hỏi người tháng phải bỏ số tiền bao nhiêu, biết số tiền lần bỏ nhau; 35 Ví dụ Một người muốn có khoản vốn 400000 cách năm người gửi đặn vào ngân hàng 10000 với lãi suất 5% Hỏi người phải gửi vào Ngân hàng niên kim để có số vốn với điều kiện số niên kim n số nguyên 36 Giá trị chuỗi niên kim cố định (giá trị thời điểm gốc) ▪ Giá trị V0 chuỗi niên kim cố định giá trị chuỗi niên kim với lãi suất i giá trị xác định trước thời kỳ trước niên kim thứ thực ▪ Thời điểm xác định giá trị thời điểm gốc ▪ Cơng thức tính V0: − (1 + 𝑖)$! 𝑉" = 𝑎 ∗ 𝑖 37 Ví dụ Tính số tiền chuỗi niên kim vào ngày 15/10/1982, biết rằng, số tiền niên kim 12500, niên kim thực vào ngày 15/10/1983, niên kim cuối thực vào 15/10/1997 Lãi suất 10,5% 38 Ví dụ Số tiền thời điểm gốc chuỗi 10 niên kim cố định, lãi suất 4% 20000 Hãy tính số tiền niên kim? 39 Ví dụ Tính số tiền thu chuỗi niên kim theo cấp số cộng biết niên kim thứ = 20000, công sai r = 1000, n =15 niên kim, i = 0,05 61 Ví dụ Số tiền thu là: 𝑎 𝑉#$ 1,05#$ − 1000 15 ∗ 1000 = ∗ 20000 + − 0,05 0,05 0,05 ⇒ 𝑎 𝑉#$ = 563142,56 62 Ví dụ Tính số tiền thu chuỗi niên kim theo cấp số cộng biết niên kim thứ = 20000, công sai r = -1000, n =15 niên kim, i = 0,05 63 Ví dụ Số tiền thu là: 𝑎 𝑉#$ 1,05#$ − 1000 15 ∗ 1000 = ∗ 20000 − + 0,05 0,05 0,05 ⇒ 𝑎 𝑉#$ = 300000 64 Chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng ▪ Giá trị Trong lãi gộp ta có: Số tiền thu = Giá trị nhân với (1+i)n Giá trị = Số tiền thu nhân với (1+i)-n 65 Chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng ▪ Giá trị 𝑎 𝑉( = (1 + 𝑖)'! 1+𝑖 !−1 𝑟 𝑛𝑟 𝑎+ − 𝑖 𝑖 𝑖 1− 1+𝑖 ⇒ 𝑎 𝑉( = 𝑖 '! 𝑟 𝑛𝑟 𝑎 + − (1 + 𝑖)'! 𝑖 𝑖 66 Ví dụ Cho biết; a = 20000; r = 1000; n = 15 niên kim; i = 0,05 Tính giá trị chuỗi niên kim theo cấp số cộng? 67 Ví dụ Giá trị chuỗi niên kim: − 1,05'#$ 1000 15 ∗ 1000 𝑎 𝑉( = ∗ 20000 + − ∗ 1,05'#$ 0,05 0,05 0,05 ⇒ 𝑎 𝑉( = 270881,19 68 Chuỗi niên kim theo cấp số nhân ▪ Số tiền thu a aq aq2 aqn-2 n-1 aqn-1 n (g) Vn = a(1+i)n-1 + aq(1+i)n-2 + + aqn-2(1+i) + aqn-1 Các số hạng vế thứ hai đẳng thức biến động theo cấp số nhân với công bội q(1+i)-1 (các số hạng đọc từ trái sang phải) với số hạng thứ a(1+i)n-1 với n số hạng 69 Chuỗi niên kim theo cấp số nhân ▪ Số tiền thu được: 𝑞! − (1 + 𝑖)! 𝑔 𝑉! = 𝑎 ∗ 𝑞 − (1 + 𝑖) ▪ Trong trường hợp đặc biệt, q = + i, ta có: 𝑔 𝑉! = 𝑛𝑎(1 + 𝑖)!'# 70 Ví dụ Một người bỏ năm thứ khoản vốn 5.000 Trong 15 năm mồi năm người tăng thêm 4% số tiền năm trước vào số vốn bỏ Lãi suất 5%/năm Hỏi số vốn người có được, biết lãi nhập vào vốn hàng năm? 71 Ví dụ Số vốn người có là: 𝑔 𝑉#% 1,04#% − 1,05#% = 5000 ∗ = 154946,67 1,04 − 1,05 72 Chuỗi niên kim theo cấp số nhân ▪ Giá trị tại: 𝑔 𝑉( = (𝑔)𝑉! (1 + 𝑖)'! 𝑞! − + 𝑖 ⇒ 𝑔 𝑉! = 𝑎 ∗ 𝑞− 1+𝑖 ! ∗ 1+𝑖 '! 𝑎 = 1+𝑖 𝑞! − + 𝑖 !∗ 𝑞− 1+𝑖 ! ▪ Trường hợp đặc biệt q = (1+i), ta có: 𝑔 𝑉( = 𝑛𝑎(1 + 𝑖)'# 73 Ví dụ Một hợp đồng tín dụng ký kết với điều kiện hoàn trả sau: Cuối năm thứ 5000 Cuối năm thứ hai 5200 Cuối năm thứ ba 5408 Và tiếp tục thời gian 16 năm cách năm tăng thêm 4% số trả nợ năm trước vào khoản trả nợ tiếp theo, lãi suất 5% Hãy tính số tiền mà khách hàng vay được? 74 Ví dụ Số tiền mà khách hàng vay là: 1,04#% − 1,05#% 𝑔 𝑉( = 5000 ∗ ∗ 1,05'#% = 70982,85 1,04 − 1,05 75 ... tiền thu a aq aq2 aqn-2 n-1 aqn-1 n (g) Vn = a(1+i)n-1 + aq(1+i)n-2 + + aqn-2(1+i) + aqn-1 Các số hạng vế thứ hai đẳng thức biến động theo cấp số nhân với công bội q(1+i )-1 (các số hạng đọc từ... số nhân 58 Chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng ▪ Số tiền thu được: a a+r a+2r a+(n-2)r a+(n-1)r n-1 n (r công sai dương hay âm) Số tiền thu chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng tổng... dụ Một người muốn có khoản vốn 400000 cách năm người gửi đặn vào ngân hàng 10000 với lãi suất 5% Hỏi người phải gửi vào Ngân hàng niên kim để có số vốn với điều kiện số niên kim n số nguyên 36