Bài giảng Toán kinh tế 1: Chương 5 - ThS. Nguyễn Ngọc Lam

C5 HÀM NHIỀU BIẾN 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một gồm n số thực xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi  R, i = 1, n) gọi điểm n - chiều Tập hợp điểm n - chiều ký hiệu Rn Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi  R, i = 1, n} Trong xi toạ độ thứ i điểm x 118 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)  Rn: d ( x, y )  n ( x  y )  i i i 1 Lân cận: Cho x0Rn số r > Tập S(x0, r) = {x  Rn: < d(x,x0) < r} gọi lân cận x0 119 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Điểm trong: Điểm x0Rn gọi điểm D  Rn D chứa lân cận x0 Điểm biên: Điểm x0  Rn gọi điểm biên D  Rn lân cận x0 chứa điểm x, y: x  D, y  D Tập hợp điểm biên D gọi biên D Tập đóng: Nếu biên D thuộc D Tập mở: Nếu biên D không thuộc D 120 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Hàm biến: D  R2, ánh xạ f: D  R, gọi hàm số biến Ký hiệu: f : ( x, y )  z  f ( x, y ) • D: miền xác định • f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) z   x2 y2 Hàm n biến: D  Rn, ánh xạ f: D  R gọi hàm số n biến Ký hiệu: f : ( x1 , x2 , xn )  z  f ( x1 , x2 , xn ) 121 C5 HÀM NHIỀU BIẾN 2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định lân cận M0(x0,y0), khơng xác định M0 Số thực L gọi giới hạn f M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M0) <  => f(M) – L <  d(M, M )  lim M M0 f (M )  L (x - x )  (y - y ) lim ( x , y )  ( x0 , y ) f ( x, y )  L lim f ( x, y )  L x  x0 y  y0 122 C5 HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn định nghĩa tương tự hàm số biến • Các định lý giới hạn tổng, tích, thương hàm số biến cho hàm số nhiều biến Ví dụ: lim ( x , y ) ( 0,0 ) sin( x  y ) x2  y2 lim ( x , y ) ( 0,0 ) xy x2  y2 123 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục hàm: f gọi liên tục (x0,y0) lim f ( x , y )  f ( x0 , y ) ( x , y )  ( x0 , y ) Định lý: Nếu f(x,y) liên tục tập đóng bị chặn D  R2 thì: • Tồn số A>0: |f(x,y)| ≤ A • f đạt giá trị lớn nhỏ D Tương tự ta định nghĩa giới hạn liên tục hàm số hàm n biến (n≥3) 124 C5 HÀM NHIỀU BIẾN 3 ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định miền D, M0(x0,y0)  D Nếu cho y = y0 số, hàm số biến f(x,y0) có đạo hàm x = x0, gọi đạo hàm riêng f x M0 Ký hiệu: f z ' f x ( x0 , y ) , ( x0 , y ), ( x0 , y ) x x Đặt xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng f M0 f x' x f  lim x  x 125 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng f theo biến y y f ' f y  lim y  y Tương tự ta có đạo hàm riêng hàm n biến số (n3) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng: z  x  x3 y  y u  xy 126 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y) Các đạo hàm riêng f’x, f’y gọi đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp   f   f ''   f ( x , y )   xx x  x  x   f   f ''  f xy ( x , y )   x  y  xy   f   f ''   f   yx ( x , y ) y   x   y x   f   f ''  f yy ( x , y )   y   y  yy Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… 127 C5 HÀM NHIỀU BIẾN 3 ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn biến: Cho phương trình F(x,y) = Nếu tồn hàm y = f(x) cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) f gọi hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = Ví dụ: xy – ex + ey = 131 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm hàm số ẩn biến: Fx y '  f ' ( x)   Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = F(x,y) = xy – ex + ey = 132 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn biến: Cho phương trình F(x,y,z) = Nếu tồn hàm số hai biến z = f(x,y) cho F(x,y,z) = 0, với x, y thuộc miền xác định f, f gọi hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = Đạo hàm hàm số ẩn biến: Fy z z Fx   y Fz x Fz Ví dụ: tính zx, zy xyz = cos(2x+3y+4z) 133 C5 HÀM NHIỀU BIẾN 4 CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương điểm M0(x0,y0) tồn lân cận  M0 cho f(M)  f(M0), M   (f(M)  f(M0), M  ) f(M0) gọi chung cực trị Ví dụ: Tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) cực trị f f có đạo hàm riêng (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 134 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ cực trị: Cho hàm số z = f(x,y) Tại điểm thỏa zx = zy = 0, ta gọi định thức Hessian: z xx z xy H  z yx z yy Đặt: z xx H1  z xx, H  z yx z xy z yy • Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0: z đạt cực đại Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, 135 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ cực trị: Cho hàm số z = f(x1,x2…xn) Tại điểm thỏa fx1 = fx2 = … fxn = 0, giả sử tồn fij  f xi x j đạo hàm riêng cấp 2, đặt Ta có định thức Hessian: f11 H1  f11 , H  f 21 f11 f12 f 21 f 22 f12 , H n  f 22 f n1 f n • Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại f1n f2n f nn Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z 136 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c (c: số) gọi cực trị có điều kiện Định lý: Nếu M0(x0,y0) cực trị có điều kiện Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời thì:  Lx  f x  g x    L y  f y  g y    L  c  g ( x, y )   nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) hệ gọi điểm dừng 137 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm điểm dừng z(x,y), với điều kiện x + y = z   x2  y Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange L = f + (c-g)  L1  f1  g1   L  f  g  2    L  f  g  n n  n  L  c  g  138 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện: Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng: gx g y H  g x Lxx Lxy g y Lyx Lyy H  ( H  ) : f đạt cực đại (cực tiểu) có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện hàm số: f = – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 139 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange: L = f + (c-g) Xét điểm dừng M0, ta xét định thức Hessian đóng: g1 g g n g1 L11 L12 L1n H n  g L21 L22 L2n g n Ln1 Ln Lnn : f đạt cực tiểu H  0, H  (1) n H n  : f đạt cực đại H  0, H  H n  140 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm miền đóng bị chặn: Cho miền D có biên cho phương trình g=c, ta có qui tắc tìm giá trị lớn nhỏ sau: • Tìm điểm nghi ngờ có cực trị f với điều kiện g=c • Tìm điểm dừng f thuộc D • fmax, fmin giá trị lớn nhất, nhỏ giá trị Ví dụ, tìm fmax, fmincủa hàm f(x,y) = x2 + 2y2 – x miền x2 + y2  141 C5 HÀM NHIỀU BIẾN 4 MỘT VÀI ỨNG DỤNG Giá trị biên: Cho hàm sản xuất doanh nghiệp: Q  30 K / L1 / Giả sử doanh nghiệp sử dụng 27 đơn vị tư 64 đơn vị lao động, tìm giá trị biên cho nhận xét 142 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Hệ số co giãn: Ví dụ: Cho hàm cầu tổng quát sản phẩm thịt bò: Q1 = 7.300 – 6P1 + 2,5P2 + 0,2Y Trong : P1 : Giá thịt bò P2: Giá thịt heo Y: Thu nhập 1) Tính hệ số co giãn sản phẩm Q1 theo thu nhập theo giá sản phẩm có liên quan Y = 20.000, P1 = 300, P2 = 200 2) Nếu giá thịt heo tăng 10% (200 -> 220) nhu cầu thịt bị thay đổi bao nhiều phần trăm? 143 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Bài tốn cực trị tự do: Ví dụ, DN sản xuất loại sản phẩm với hàm cầu: Q1 = 15 – 1/5P1, Q2 = 20 – 1/3P2 với hàm tổng chi phí: TC = Q12 + 4Q1Q2 + Q22 DN cần sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa Bài tốn max, min: Ví dụ, chi phí sản xuất hai loại hàng hóa C = 2x2 + xy + y2 + 1000 Tìm mức sản xuất x,y để chi phí tối thiểu với điều kiện x + y = 200 144 C5 HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Một cơng ty cần phải cung ứng cho khách hàng 5.000 sản phẩm Cơng ty có xí nghiệp sản xuất sản phẩm với chi phí sau : Xí nghiệp : C1 = 0,01x2 + 70x + 9.300 Xí nghiệp : C2 = 0,01y2 + 72y + 5.200 Công ty cần phân bổ số lượng sản phẩm để chi phí sản xuất thấp 145