Bài giảng Toán kinh tế 1: Chương 1 - ThS. Nguyễn Ngọc Lam

C1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Ma trận Định thức Ma trận nghịch đảo 4/25/2018 Hạng ma trận 1 MA TRẬN 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng n cột gọi ma trận cấp m x n  a11 a12 a1n  a  a a 22 2n  A   21  [aij ]m x n  (aij )m x n   a  a a  m1 m mn  • aij phần tử ma trận A hàng i cột j • Ma trận ký hiệu chữ IN • Phần tử ghi chữ thường kèm theo số 4/25/2018 1 MA TRẬN Trong thực tiễn bảng chiều ma trận: Đại lý Sản phẩm A B C D 150 230 210 180 225 175 200 350 120 425 175 380 150 230 210 180  Q3x  225 175 200 350   120 425 175 380 Yếu tố hàng đại lý, yếu tố cột số sản phẩm tiêu thụ 4/25/2018 1 MA TRẬN 1.1.2 Ma trận vuông:  Ma trận vuông: Khi m = n  a11 a12 a1n  a  a a 21 22 2n   An    a  a a  n1 n nn  • a11,a22,…ann gọi phần tử chéo • Đường thẳng xuyên qua phần tử chéo gọi đường chéo 4/25/2018 1 MA TRẬN  Ma trận tam giác trên: aij = i > j  a11 a12 a1n   a11 a12 a1n   a    a a a 22 2n   22 2n  A          a a  nn   nn   Ma trận tam giác dưới: aij = i < j  a11   a11  a  a  a a 21 22 21 22     A      a    an ann   an1 an ann   n 4/25/2018 1 MA TRẬN  Ma trận chéo: aij = i ≠ j a11  a11  0 a    a 22 22   A     0    a a  nn   nn   Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aij=1,i=j; aij = 0, i≠j   1        I       0        4/25/2018 1 MA TRẬN 1.1.3 Vectơ hàng(cột): Ma trận có hàng(cột)  0   0   1.1.4 Ma trận không:  mxn      0    1.1.4 Ma trận nhau: A=B 1) A = [aij]m x n; B = [bij]m x n 2) aij = bij với i,j x  y  z  t X  Ví dụ, tìm X=B: z t  4/25/2018 y  z  t 3  1 ,B     t    1 MA TRẬN 1.1.5 Ma trận chuyển vị: A = [aij]m x n => AT = [aji]n x m Ví dụ: tìm AT: 1 3 A 4 9  7 6  2 4 1.1.6 Ma trận đối xứng: A = AT 1  3 4  Ví dụ: A   5 6 7  4/25/2018   1 MA TRẬN 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1 Phép cộng hai ma trận Định nghĩa: A = [aij]mxn; B = [bij]mxn => A+B = [aij+bij]mxn Ví dụ, tìm X:  4 4 3 X      3     Tính chất: •A+B=B+A • (A + B) + C = A + (B + C) • +A=A • Nếu gọi -A = [-aij]m x n ta có -A + A =  4/25/2018 1 MA TRẬN 1.2.2 Phép nhân số với ma trận: Định nghĩa: cho A = [aij]m x n, kR => kA = [kaij]m x n  1 A    Tính 3A? Tính chất: cho k, h  R: • k(A + B) = kA + kB • (k + h)A = kA + hA 4/25/2018 10 2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (cột) không 2 4 A 15 15 • Tính chất 4: Một định thức có hàng (cột) tồn số khơng khơng 4/25/2018 19 2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 5: Nhân phần tử hàng (cột) với số k (k0) định thức định thức cũ nhân với k Hệ quả: Ta đưa thừa số chung hàng (cột) định thức Ví dụ: 4/25/2018 A B 3A 4 20 2 ĐỊNH THỨC • Tính chất 9: Cộng k lần hàng r vào hàng s định thức khơng đổi Tính • Tính chất 10: Định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo: A  a11a 22 a nn a11 a11 a12 a1n a 21 a 22 0 a22 a2n A A a n1 a m a nn 0 ann 4/25/2018 21 2 ĐỊNH THỨC 2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC: • Phương pháp 1: Dùng định nghĩa • Phương pháp 2: Sử dụng biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận dạng tam giác Phép biến đổi Đổi chỗ hai hàng Nhân hàng với số thực k0 Cộng k lần hàng r vào hàng s Tác dụng Định thức đổi dấu Định thức nhân k Định thức không đổi TC • Phương pháp 3: Kết hợp hai phương pháp số tính chất định thức 4/25/2018 22 2 ĐỊNH THỨC Ví dụ: Tính định thức: 10 1 2 3 3 4/25/2018 23 2 ĐỊNH THỨC Tính định thức cấp A 4/25/2018 a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 24 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Ma trận không suy biến: det(A) ≠ 3.2 Ma trận nghịch đảo: Cho A cấp n, tồn B thoả: AB = BA = I thì: • B gọi ma trận nghịch đảo A Ký hiệu: B = A-1 • A gọi ma trận khả nghịch 3.3 Sự ma trận nghịch đảo: Định lý: Nếu A khả nghịch A-1 4/25/2018 25 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.4 Sự tồn biểu thức ma trận nghịch đảo: Định lý: A khả nghịch  det(A)≠0  c11 c21 cn1  c  c c T  12 22 n2  1 A  C   A A  c  c c  1n 2n nn  • CT: ma trận chuyển vị ma trận phần bù đại số Ví dụ, tìm ma trận nghịch đảo: 4/25/2018 1 3 A     2   1  26 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.6 Phương pháp Gauss - Jordan: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp chuyển: [A│I] = [I│A-1] Phép biến đổi Đổi chỗ hai hàng Nhân hàng với số thực k0 Cộng k lần hàng r vào hàng s 1 3 Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo: A 1 1  4/25/2018 4 6  4  5 27 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.7 Định lý: Nếu A B hai ma trận vng cấp khả nghịch AB khả nghịch (AB)-1 = B-1A-1 4/25/2018 28 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1 Ma trận con: • Ma trận vuông cấp p suy từ Amxn cách bỏ m-p hàng n-p cột gọi ma trận cấp p A • Định thức ma trận gọi định thức cấp p A • p  min(m,n) Ví dụ: Tìm ma trận A 1  A    4/25/2018  2 B   1 4    2 29 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.2 Hạng ma trận: • Định nghĩa: Hạng ma trận Amxn cấp cao định thức khác không A Nếu r hạng ma trận thì: • Trong A tồn định cấp r khác • r = min(m,n) định thức A cấp lớn r • Ký hiệu: r(A) = r 2  3 Ví dụ: Tìm hạng A A 1 4      2 4/25/2018 30 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3 Ma trận bậc thang: 4.3.1 Định nghĩa: • Một dịng ma trận gọi dịng gồm phần tử • Ngược lại, dịng ma trận có phần tử khác gọi dịng khác • Phần tử khác dòng gọi phần tử dịng 4/25/2018 31 4 HẠNG CỦA MA TRẬN Ma trận A gọi ma trận bậc thang thoả điều kiện sau: • A khơng có dịng dịng ln dịng khác • Nếu A có dịng khác dòng khác tuỳ ý A, phần tử dịng ln nằm bên phải cột chứa phần tử dịng 1 0 A 0 0  4/25/2018 4 0   0  4 2  B C  2 0 0 1 0 0    1  D  0 0  0 3   32 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3.2 Định lý hạng ma trận: Sau hữu hạn phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận hạng khơng thay đổi Hệ quả: Hạng ma trận A số dòng khác ma trận bậc thang thu sau số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp 1 1  3 5  Ví dụ: Tìm hạng ma trận: A  2 2  4   4/25/2018 33