BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A LÍ THUYẾT Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w +) Số có bậc hai w số thực + Nếu w w có hai bậc hai i w +) Mỗi số phức khác có hai i w bậc hai hai số đối (khác + Nếu w 0 w có hai bậc hai w w 0) w a bi a, b , b 0 Nếu z x iy bậc hai w x iy a bi x y a Do ta có hệ phương trình: 2xy b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Mọi phương trình bậc n: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực A0 z n A1 z n An z An 0 Xét phương trình az bz c 0 a, b, c ; a 0 ln có n nghiệm phức (khơng Ta có b 4ac thiết phân biệt) với n nguyên b 2a Nếu 0 phương trình có nghiệm thực x Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân dương biệt: x1 b b ; x2 2a 2a Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 b i 2a ; x2 b i 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm Trang 551 phân biệt x1 , x2 (thực phức) b S x1 x2 a P x x c a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Ví dụ: Xét phương trình z z 0 Cho phương trình: a) Giải phương trình tập số phức az bz c 0 a, b, c ; a 0 b) Tính z1 z2 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn giải Áp dụng phép toán tập số phức a) Ta có: ' 1 2i để biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1 2 2i ; z2 2 2i b) Ta có z1 z2 22 2 2 Suy z1 z2 2 2 4 2 Bài tậ Bài tập Trong số sau, số nghiệm phương trình z z A 3i B 1 C z ? 1 D 2i Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 3i Ta có z z z z 2.z z 4 2 z z 3i 3i z 2 3i 3i z 2 Bài tập Phương trình z az b 0 a, b có nghiệm phức 4i Giá trị a b A 31 B C 19 D 29 Hướng dẫn giải Chọn C Chú ý: Nếu z0 Cách 1: Do z 3 4i nghiệm phương trình z az b 0 nên ta có: nghiệm phương trình bậc hai với hệ Trang 552 4i a 4i b 0 3a b 4a 24 i 0 3a b 0 4a 24 0 số thực z0 a b 25 nghiệm phương trình Do a b 19 Cách 2: Vì z1 3 4i nghiệm phương trình z az b 0 nên z2 3 4i nghiệm phương trình cho z1 z2 a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có z1.z2 b 4i 4i a a a b 19 b 25 4i 4i b Bài tập Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z z 34 0 Giá trị z0 i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Chọn A có ' 25 5i Phương trình có hai nghiệm z 5i ; z 5i Do z0 5i z0 i 4i 17 Bài tập Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z z 0 Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P 3; 4i mặt phẳng phức z1 B N 1; C Q 3; D M 1; Hướng dẫn giải Chọn A z 1 2i Ta có z z 0 z 1 2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1 1 2i Khi đó: 4i 4i 4i 2i 3 2i z1 2i 12 22 Vậy điểm biểu diễn số phức P 3; Bài tập Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z 0 Giá trị biểu thức z1 1 2019 z2 1 2019 Trang 553 A 21009 B 21010 C D 21010 Hướng dẫn giải Chọn D z1 2 i 2 Xét phương trình z z 0 z z2 2 i Khi ta có: z1 1 i i i 2i 2i 1009 1009 1009 2019 z2 1 2019 1 i 1 i i 2i i 2019 1 i 2019 1009 1009 i i 2i 1010 i 505 21010 21010 Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z z 24 0 có hai Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z1 , z2 nên az bz c 0 ; a, b, c ; a 0 z1 z2 4 ; z1.z2 24 b z1 z2 a có hai nghiệm phức z1 , z2 z z c a Bài tập Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 z2 b a Bài tập 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z 0 Giá trị biểu thức z12 z22 A 14 B –9 C –6 D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z z 0 z1 z2 2 Theo định lí Vi-ét ta có: z1.z2 5 Suy z12 z22 z1 z2 z1 z2 22 2.5 Bài tập 2: Phương trình bậc hai sau có nghiệm 2i ? Chúng ta giải A z z 0 B z z 0 phương trình: C z z 0 D z z 0 +) z z 0 Hướng dẫn giải z 1 2i 2 Chọn C Trang 554 Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên z i phương trình bậc hai có nghiệm 2i nghiệm cịn lại 2i z 1 i Khi tổng tích hai nghiệm 2; +) z z 0 Vậy số phức 2i nghiệm phương trình z z 0 z 1 4i z 2i z 2i +) z z 0 z 1 4i z 2i z 1 2i +) z z 0 z 1 2i z i z i Bài tập 3: Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình z z 0 Tính giá trị biểu thức P z1 z2 i z1 z2 A P 1 B P D P C P Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z 0 z1 z2 Theo định lý Vi-ét ta có z1.z2 2 Ta có P z1 z2 i z1 z2 3 3 i 2i 2 2 Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình Cách khác: 3 z z 0 Giá tị P z1 z2 A –20 B 20 C 14 D 28 Ta có: z z 0 z 3i Hướng dẫn giải Chọn A Trang 555 z1 z2 4 Theo định lý Vi-ét ta có z1.z2 7 z 2 3i z2 2 3i 3 2 Suy z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 Do đó: z1 z2 z z 2 3z1 z2 z13 z23 2 4 3.7 20 3i 3i 20 Bài tập 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z z 27 0 Giá trị z1 z2 z2 z1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1 z2 z1.z2 9 Mà z1 z2 z1 z2 z1.z2 3 Do z1 z2 z2 z1 z1.3 z2 3 z1 z2 3 2 Bài tập 6: Cho số thực a gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z a 0 Mệnh đề sau sai? A z1 z2 số thực C B z1 z2 số ảo z1 z2 số ảo z2 z1 D z1 z2 số thực z2 z1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z1 z2 b 2 Đáp án A a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1 x yi ; x, y nghiệm, nghiệm lại z2 x yi Suy z1 z2 2 yi số ảo Đáp án B z1 z2 z12 z22 z1 z2 z1 z2 2a z2 z1 z1.z2 z1 z2 a Vậy C đáp án sai D Trang 556 Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình: z z 0 tập Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức hai với hệ số thực tập số phức Hướng dẫn giải Nắm vững cách giải số phương trình Đặt z t , ta có phương trình: quy bậc hai, hệ phương trình đại số t 3 t t 0 bậc cao;… t Với t 3 ta có z 3 z Với t ta có z z i Vậy phương trình cho có bốn nghiệm z ; z i 2 Bài tậpmẫu Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức phương trình z z 0 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A z z z 2 z i Ta có: z z 0 1 z i 2 z i Khi đó, tổng 2 2 mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho 2 i i 3 2 Bài tập 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z z 0 Giá trị 2 z1 z2 z3 z4 A B 12 C D Hướng dẫn giải Chọn B z 1 z z 1 Ta có: z z 0 z 5i z z 5i Trang 557 Phương trình có bốn nghiệm là: z1 1 , z2 , z3 i , z4 i 2 2 Do đó: z1 z2 z3 z4 12 12 5 5 12 Bài tập 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phức phương trình z z z z 12 0 2 Giá trị biểu thức S z1 z2 z3 z4 A S 18 B S 16 C S 17 D S 15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: z z z z 12 0 t 2 Đặt t z z , ta có t 4t 12 0 t z1 1 z z z 0 z3 i 23 Suy ra: 2 z z 0 i 23 z4 2 2 23 Suy S 1 2 23 17 z Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z Khi z1 z2 z A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: z 0 z Ta có: z z 2 z2 z z z z z z z z z 0 z Vậy z1 z2 15 i 15 i z z 15 i 15 i 15 15 i i 1 2 Bài tập 5: Cho số thực a, biết phương trình z az 0 có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa 2 2 mãn z1 z2 z3 z4 441 Tìm a Trang 558 a 1 A a 19 a B a 19 a C a 19 a 1 D a 19 Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét: z z 2i z 2i z 2i Đặt f x z az , ta có: z 4 k 1 k 1 z22 z32 z42 zk 2i zk 2i f 2i f 2i 16i 4ai 1 16i 4ai 1 17 a Theo giả thiết, ta có 17 4a 2 a 441 a 19 Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018 10iz 2017 10iz 11 0 Mệnh đề đúng? A z B z C z D z 2 Hướng dẫn giải Chọn D 11 10iz 11 10iz 2017 2017 2017 z Ta có z 11z 10i 11 10iz z 11z 10i 11z 10i Đặt z a bi có 100 a b 220b 121 10b 11 100a 11 10iz 11 10i a bi 11z 10i 11 a bi 10i 121 a b 220b 100 121a 11b 10 100t 220b 121 Đặt t z t 0 ta có phương trình t 2017 121t 220b 100 Nếu t 1 VT 1 ; VP 1 Nếu t 1 VT 1 ; VP 1 Nếu t 1 z 1 Trang 559