Bài 3 phương trình bậc hai với hệ số thực

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A LÍ THUYẾT Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w  +) Số có bậc hai w số thực + Nếu w  w có hai bậc hai i  w +) Mỗi số phức khác có hai i w bậc hai hai số đối (khác + Nếu w 0 w có hai bậc hai w  w 0)  w a  bi  a, b    , b 0 Nếu z x  iy bậc hai w  x  iy  a  bi  x  y a Do ta có hệ phương trình:   2xy b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Mọi phương trình bậc n: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực A0 z n  A1 z n    An  z  An 0 Xét phương trình az  bz  c 0  a, b, c  ; a 0  ln có n nghiệm phức (khơng Ta có  b  4ac thiết phân biệt) với n nguyên b 2a  Nếu  0 phương trình có nghiệm thực x   Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân dương biệt: x1    b    b   ; x2  2a 2a Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1   b  i  2a ; x2   b  i  2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax  bx  c 0  a 0  có hai nghiệm Trang 551 phân biệt x1 , x2 (thực phức) b   S x1  x2  a   P x x  c  a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Ví dụ: Xét phương trình z  z  0 Cho phương trình: a) Giải phương trình tập số phức az  bz  c 0  a, b, c  ; a 0  b) Tính z1  z2  Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn giải  Áp dụng phép toán tập số phức a) Ta có:  ' 1    2i  để biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1 2  2i ; z2 2  2i b) Ta có z1  z2  22  2 2 Suy z1  z2 2  2 4 2 Bài tậ Bài tập Trong số sau, số nghiệm phương trình z  z A  3i B 1 C  z  ? 1 D  2i Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 3i  Ta có z  z  z     z  2.z     z    4 2   z   z   3i  3i  z  2    3i  3i  z  2  Bài tập Phương trình z  az  b 0  a, b    có nghiệm phức  4i Giá trị a  b A 31 B C 19 D 29 Hướng dẫn giải Chọn C Chú ý: Nếu z0 Cách 1: Do z 3  4i nghiệm phương trình z  az  b 0 nên ta có: nghiệm phương trình bậc hai với hệ Trang 552   4i   a   4i   b 0   3a  b     4a  24  i 0 3a  b  0   4a  24 0 số thực z0 a   b 25 nghiệm phương trình Do a  b 19 Cách 2: Vì z1 3  4i nghiệm phương trình z  az  b 0 nên z2 3  4i nghiệm phương trình cho  z1  z2  a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có   z1.z2 b   4i     4i   a a     a  b 19 b 25   4i    4i  b Bài tập Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z  z  34 0 Giá trị z0   i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Chọn A có  '  25  5i  Phương trình có hai nghiệm z   5i ; z   5i Do z0   5i  z0   i    4i  17 Bài tập Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z  0 Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P  3;   4i mặt phẳng phức z1 B N  1;   C Q  3;   D M  1;  Hướng dẫn giải Chọn A  z 1  2i Ta có z  z  0    z 1  2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1 1  2i Khi đó:  4i  4i   4i    2i    3  2i z1  2i 12  22 Vậy điểm biểu diễn số phức P  3;  Bài tập Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  0 Giá trị biểu thức  z1  1 2019   z2  1 2019 Trang 553 A 21009 B 21010 C D  21010 Hướng dẫn giải Chọn D  z1 2  i 2 Xét phương trình z  z  0   z       z2 2  i Khi ta có:  z1  1    i    i    i   2i   2i  1009 1009 1009  2019   z2  1 2019   1 i 1  i     i    2i    i  2019  1  i  2019 1009  1009    i     i    2i  1010  i  505 21010  21010 Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z  z  24 0 có hai Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z1 , z2 nên az  bz  c 0 ; a, b, c   ; a 0 z1  z2 4 ; z1.z2 24 b   z1  z2  a có hai nghiệm phức z1 , z2   z z  c  a Bài tập Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1  z2  b a Bài tập 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  0 Giá trị biểu thức z12  z22 A 14 B –9 C –6 D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z  0  z1  z2 2 Theo định lí Vi-ét ta có:   z1.z2 5 Suy z12  z22  z1  z2   z1 z2 22  2.5  Bài tập 2: Phương trình bậc hai sau có nghiệm  2i ? Chúng ta giải A z  z  0 B z  z  0 phương trình: C z  z  0 D z  z  0 +) z  z  0 Hướng dẫn giải   z  1 2i 2 Chọn C Trang 554 Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên  z  i phương trình bậc hai có nghiệm  2i nghiệm cịn lại  2i  z 1 i Khi tổng tích hai nghiệm 2; +) z  z  0 Vậy số phức  2i nghiệm phương trình z  z  0   z  1 4i  z  2i  z  2i +) z  z  0   z  1 4i  z  2i  z 1 2i +) z  z  0   z  1 2i  z  i  z  i Bài tập 3: Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z  0 Tính giá trị biểu thức P  z1 z2  i  z1  z2  A P 1 B P  D P  C P  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z  0  z1  z2   Theo định lý Vi-ét ta có   z1.z2  2 Ta có P  z1 z2  i  z1  z2  3  3   i      2i         2  2 Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình Cách khác: 3 z  z  0 Giá tị P z1  z2 A –20 B 20 C 14 D 28 Ta có: z  z  0   z   3i Hướng dẫn giải Chọn A Trang 555  z1  z2 4 Theo định lý Vi-ét ta có   z1.z2 7  z 2  3i   z2 2  3i 3 2 Suy z1  z2  z1  z2   z1  z1 z2  z2  Do đó:  z1  z2   z z  2  3z1 z2 z13  z23    2 4   3.7   20   3i   3i   20 Bài tập 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z  z  27 0 Giá trị z1 z2  z2 z1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1  z2  z1.z2 9 Mà z1  z2  z1 z2  z1.z2  3 Do z1 z2  z2 z1 z1.3  z2 3  z1  z2  3 2 Bài tập 6: Cho số thực a  gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  a 0 Mệnh đề sau sai? A z1  z2 số thực C B z1  z2 số ảo z1 z2  số ảo z2 z1 D z1 z2  số thực z2 z1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z1  z2  b 2 Đáp án A a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1  x  yi ; x, y   nghiệm, nghiệm lại z2  x  yi Suy z1  z2 2 yi số ảo Đáp án B z1 z2 z12  z22  z1  z2   z1 z2  2a      z2 z1 z1.z2 z1 z2 a Vậy C đáp án sai D Trang 556 Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải   Ví dụ: Giải phương trình: z  z  0 tập Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức hai với hệ số thực tập số phức Hướng dẫn giải Nắm vững cách giải số phương trình Đặt z t , ta có phương trình: quy bậc hai, hệ phương trình đại số  t 3 t  t  0   bậc cao;…  t  Với t 3 ta có z 3  z  Với t  ta có z   z i Vậy phương trình cho có bốn nghiệm z  ; z i 2 Bài tậpmẫu Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức phương trình z  z  0 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A z    z   z 2   z  i Ta có: z  z  0   1  z   i   2   z  i  Khi đó, tổng 2 2 mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho 2 i i 3 2 Bài tập 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z  z  0 Giá trị 2 z1  z2  z3  z4 A  B 12 C D  Hướng dẫn giải Chọn B  z 1  z   z 1   Ta có: z  z  0   z  5i  z    z  5i Trang 557 Phương trình có bốn nghiệm là: z1 1 , z2  , z3  i , z4 i 2 2 Do đó: z1  z2  z3  z4 12  12   5  5 12 Bài tập 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phức phương trình  z  z    z  z   12 0 2 Giá trị biểu thức S  z1  z2  z3  z4 A S 18 B S 16 C S 17 D S 15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  z  z    z  z   12 0  t 2 Đặt t z  z , ta có t  4t  12 0    t   z1 1  z    z  z  0    z3    i 23 Suy ra:  2  z  z  0     i 23  z4   2 2    23       Suy S 1                      2 23   17  z Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình  z  Khi z1  z2 z A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: z 0 z Ta có:  z   z 2  z2  z z     z      z   z  z       z    z  z  0     z    Vậy z1  z2    15 i  15 i   z     z     15 i 15 i 15 15 i  i   1 2 Bài tập 5: Cho số thực a, biết phương trình z  az  0 có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa 2 2 mãn  z1    z2    z3    z4   441 Tìm a Trang 558  a 1 A   a  19   a  B   a 19   a  C   a  19   a 1 D   a 19  Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét: z  z   2i   z  2i   z  2i  Đặt f  x   z  az  , ta có: z 4 k 1 k 1    z22    z32    z42     zk  2i    zk  2i   f   2i  f  2i   16i  4ai  1  16i  4ai  1  17  a  Theo giả thiết, ta có  17  4a  2  a  441    a 19  Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018  10iz 2017  10iz  11 0 Mệnh đề đúng? A  z  B  z  C  z  D z  2 Hướng dẫn giải Chọn D 11  10iz 11  10iz 2017 2017 2017   z  Ta có z  11z  10i  11  10iz  z 11z  10i 11z  10i Đặt z a  bi có 100  a  b   220b  121 10b 11 100a  11  10iz 11  10i  a  bi     11z  10i 11 a  bi   10i 121 a  b   220b  100 121a   11b  10  100t  220b  121 Đặt t  z  t 0  ta có phương trình t 2017  121t  220b  100 Nếu t 1  VT 1 ; VP 1 Nếu t 1  VT 1 ; VP 1 Nếu t 1  z 1 Trang 559