Bài 4 bất phương trình bậc hai một ẩn đáp án

PHẦN A LÝ THUYẾT I Bất phương trình bậc hai ẩn - Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình có dạng sau: ax  bx  c  0; ax  bx  c 0; ax  bx  c  0; ax  bx  c 0 , a, b, c số thực cho, a 0 x   cho ax02  bx0  c  - Đối vối bất phương trình bậc hai có dạng ax  bx  c  , số gọi nghiệm bất phương trình x Tập hợp nghiệm gọi tập nghiệm bất phương trình bậc hai cho Nghiệm tập nghiệm dạng bất phương trình bậc hai ẩn x cịn lại định nghĩa tương tự Ví dụ Cho bất phương trình bậc hai ẩn x  x   (1) Trong giá trị sau x , giá trị nghiệm bất phương trình (1)? a) x 2 b) x 0 ; c) x 3 Giải a) Với x 2 , ta có:  4.2    Vậy x 2 nghiệm bất phương trình (1) b) Với x 0 , ta có:  4.0  3  Vậy x 0 khơng phải nghiệm bất phương trình (1) c) Với x 3 , ta có:  3  0 Vậy x 3 khơng phải nghiệm bất phương trình (1) Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x tìm tập nghiệm bất phương trình II Giải bất phương trình bậc hai ẩn Giải bất phương trình bậc hai ẩn cách xét dấu tam thức bậc hai Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng f ( x )   f ( x) ax  bx  c  , ta chuyển việc f ( x ) giải bất phương trình việc tìm tập hợp giá trị x cho mang dấu "+" Cụ thể, ta làm sau: Bước Xác định dấu hệ số a tìm nghiệm f ( x) (nếu có) Bước Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để tìm tập hợp giá trị x cho f ( x) mang dấu "+" Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng f ( x)  0, f ( x) 0, f ( x) 0 giải cách tương tự Ví dụ Giải bất phương trình bậc hai sau: a) x  x   b)  x  x   Giải x1  , x2 2 a) Tam thức bậc hai x  x  có hai nghiệm có hệ số a 2  Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp giá trị x cho tam thức 1    ;   (2; ) 2 x  x  mang dấu "+"  1    ;   (2; ) 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình x  x    2 x  4, x2 2 có hệ số a   Sử dụng định lí b) Tam thức bậc hai  x  x  có hai nghiệm dấu tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp giá trị x cho tam thức  x  x  mang dấu "  " (  4; 2) Vậy tập nghiệm bất phương trình  x  x   (  4; 2) Trang Giải bất phương trình bậc hai ẩn cách sử dụng đồ thị Nhận xét - Giải bất phương trình bậc hai ax  bx  c  tìm tập hợp giá trị x ứng với phần parabol y ax  bx  c nằm phía trục hồnh - Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax  bx  c  tìm tập hợp giá trị x ứng vối phần parabol y ax  bx  c nằm phía trục hoành f ( x )   f ( x) ax  bx  c  Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng cách sử dụng đồ thị, ta làm sau: Dựa vào parabol y ax  bx  c , ta tìm tập hợp giá trị x ứng với phần parabol nằm phía trục hồnh Đối với bất phương trình bậc hai có dạng f ( x )  0, f ( x ) 0, f ( x) 0 , ta làm tương tự Ví dụ Quan sát đồ thị Hình giải bất phương trình bậc hai sau: a) x  x   b)  x  x  Giải 2 a) Quan sát đồ thị a, ta thấy: x  x   biểu diễn phần parabol y  x  x  nằm phía trục hồnh, tương ứng với  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình x  x   khoảng (1; 4) 2 b) Quan sát đồ thị b , ta thấy:  x  x  biểu diễn phần parabol y  x  x nằm phía trục hồnh, tương ứng với  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình  x  x  khoảng (0;3) III Ứng dụng bất phương trình bậc hai ẩn Bất phương trình bậc hai ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính tốn lợi nhuận kinh doanh; tính tốn điểm rơi pháo binh; Chúng ta làm quen với ứng dụng qua số ví dụ sau Trang Ví dụ Bác Dũng muốn uốn tơn phẳng có dạng hình chữ nhật ( hình) với bề ngang 32 cm thành rãnh dẫn nước cách chia tơn thành ba phần gấp hai bên lại theo góc vng Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang rãnh dẫn nước phải lớn 120 cm Hỏi rãnh nước phải có độ cao xăng-ti-mét? Giải Khi chia tơn thành ba phần gấp hai bên lại theo góc vng hình kích thước mặt (32  x) x  cm  cắt ngang x( cm) 32  x( cm) Khi diện tích mặt cắt ngang Ta thấy: Diện tích mặt cắt ngang rãnh dẫn nước lớn 120 cm (32  x) x 120   x  32 x  120 0 x 6, x2 10 hệ số a   Sử dụng định lí dấu Tam thức  x  32 x  120 có hai nghiệm tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp giá trị x cho tam thức  x  32 x  120 mang dấu "+" (6;10) Do tập nghiệm bất phương trình  x  32 x  120 0 [6;10] Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao cm Ví dụ Tìm giao tập nghiệm hai bất phương trình sau: x  x   0(3) x   (4) Giải S ( 4; 2) ; Ta có: (3)    x  Tập nghiệm bất phương trình (3) S (  3;3) (4)    x  Tập nghiệm bất phương trình (4) Giao tập nghiệm hai bất phương trình là: S S3  S   4;     3;3   3;  Ví dụ Một tình huấn luyện pháo binh mô tả sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đại bác biểu thị điểm O(0;0) bia mục tiêu biểu thị đoạn thẳng MN với M (2100; 25) N (2100;15) 2 Xạ thủ cần xác định parabol y  a x  10ax ( a  0) mô tả quỹ đạo chuyển động viên đạn cho viên đạn bắn từ đại bác phải chạm vào bia mục tiêu Tìm giá trị lớn a để xạ thủ đạt mục đích Giải Tại vị trí x 2100 , độ cao viên đạn là: y  a 21002  10a 2100  4410000a  21000a Trang Viên đạn chạm vào bia mục tiêu a thoả mãn bất phương trình sau: 10 2100  (5);  4410000a  21000a 25 a (6); - 4410000a  21000a 15 (7)   1 a   0;  210  a   210  a 210 Vì a  nên - (5) 2 - (6)  4410000a  21000a  25 0  (2100a  5) 0 Bất phương trình a  10 10 (7)  4410000a  21000a  15 0   a   420 2100 420 2100 -  10 10   a  ;    420 2100 420 2100  10 10  0   Do 420 2100 420 2100 210 nên   10 10   10 10     ;    ;       0;  210   420 2100 420 2100   420 2100 420 2100  Vì thế, viên đạn chạm vào bia mục tiêu  10 10  10 a  ;    420 2100 420 2100   Vậy giá trị lớn a 420 2100 Tìm hiểu thêm Bảng tổng kết trường hợp xảy giải bất phương trình bậc hai ax  bx  c   *  a 0  Đặt f  x  ax  bx  c Dấu a a0 Dấu   0 f  x có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2   *    0 f  x có nghiệm kép b x  2a   f  x  vô nghiệm a0  x  x1  x  x2  *   *   b  x   \    2a   *  *  x  * vô nghiệm x1  x  x2 vô nghiệm PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Bất phương trình bậc hai Định nghĩa Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) bất phương trình có dạng f  x   f  x   f  x  0 f  x  0 , , , f x Trong   tam thức bậc hai Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa tam thức bậc hai cách lập bảng xét dấu chúng Câu Giải bất phương trình sau 2 a)  x  x   b) x  x  12  Lời giải Trang a) Ta có  3x  x  0  x  x 1 Bảng xét dấu 1  S    ;     1;    3  Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình b) Ta có x  x  12 0  x 3 x  Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình Câu S   4;3  Giải bất phương trình sau  x   x2   a) x  1  b) x  x  x  0 Lời giải a) Ta có  x 0  x  1 x  x  0  x  2; Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình  1   1  S    ;    ;  2    2 b) Bất phương trình tương đương với x 2  x     x  x  1 0   x     x  1 0   x  x    x  x  1 0 Ta có x  x  0  x    13 1 x  x  0  x  2 ; Bảng xét dấu Trang Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình    13      13   S  ; ;    2   2   Câu Giải bất phương trình sau a) x2  0  x  3   x  x   b) x  10  x 1 x2  Lời giải a) Ta có  x 2  3x  x  0    x  2  x  0  x 1 ; x  0  x  ; Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho 4  S   ;      1;1  3   3;2  b) Bất phương trình tương đương với x    x    x  10  x2 1  x  10 0  0 x2  x2   x2    x2   81  x  x2  0    0 x 8 x2   x  8 2 Ta có  x 0  x 3 ; x  0  x 2 Bảng xét dấu Trang Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình   S   3;  2  2 ;3 Câu Giải bất phương trình sau x2  x  2 a) x  x  0 x2 1  x 1 0 x  3x  b) Lời giải a) Vì x2  x   x2  x  x2  x  nên x 0   x2  x  x 2 x2  x   0   x  x  2  x2  x  2 x2  x  0 1  x2  x  x  x   x      0 2  x  x (do )  x  1 x  x  0   x  x  0  x  x   Ta có ; Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình  1 1  S    ;1   ;    2;      b) Điều kiện Vì  x    x     x  0     x  3x  0  x   x    x  x   x   nên x2 1  x 1 0  x  3x   x2 1  x 1  x2 1  x 1 x  3x   0  x2  x 0 x  3x  Trang  x 0 x  x  0  x  x 0    x 1 ; Ta có  x    x  Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình S   1;0   1; Câu  Dạng Bài toán tham số liên quan đến tam thức bậc hai Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x  mx  m  0 b)   m  x  2mx  2m 0 Lời giải a) Phương trình có nghiệm  m 6  m   m  3 0  m  4m  12 0    m  Vậy với m     ;  2   6;    phương trình có nghiệm b) Với m  , phương trình trở thành x  0  x 1 Suy m  thỏa mãn yêu cầu tốn Với m  phương trình có nghiệm  m  2m   m  0  m  2m 0   m 0 Vậy với  m 0 phương trình có nghiệm Câu Giải biện luận bất phương trình  m  1 x   2m  1 x  4m   Lời giải m  x    x   Với , bất phương trình trở thành Với m  , ta có a m     8m  2m  Bảng g ( x ) (m  1) x  2(2m  1) x  4m  Dựa vào bảng xét dấu, ta có Trang xét tam thức bậc hai có dấu a    S   ; x1    x2 ;   -Nếu m  , ta có   Suy tập nghiệm bất phương trình ; 2m   (2m  1)(m  1) 2m   (2m  1)(m  1) x1  , x2  m 1 m 1 Với  1 m   -Nếu S  x1 ; x2  a  1 m  , ta co     Suy tập nghiệm bất phương trình a  1   „ m„ -Nếu , ta có  „ Suy g ( x)…0, x   nên bpt vô nghiệm -Kết luận:  m  , bất phương trình có tập nghiệm S ( ;  1) 1  „ m„ bất phương trình có tập nghiệm S   1 m  1 m   bpt có tập nghiệm S  x1 ; x2     m   bpt có tập nghiệm Câu S   ; x1    x2 ;   Chứng minh với giá trị m pt a) mx  (3m  2) x  0 ln có nghiệm   b) m  x  ( 3m  2) x  0 vô nghiệm Lời giải  x  0  x  suy pt có nghiệm a) Với m = py trở thành  20   (3m  2)  4m 9m  8m   3m     3  Với m 0 ta có với m Do pt cho ln có nghiệm với m b) Ta có  ( 3m  2)   m    m  3m  16  ( m  3)   với m Do pt cho ln vơ nghiệm với m Câu Tìm m để biểu thức sau dương   a) m  x  2(m  1) x  b) (m  2) x  2(m  2) x  m  Lời giải  m  x  2( m  1) x   0, x     a) Yêu cầu toán   (m  1)  m      (m  1)2  m    2m   m  2 m   a  m thỏa mãn Vậy b) Với m  , tam thức bậc hai trở thành  : với x     Với m  , yêu cầu toán  (m  2) x  2( m  2) x  m   0, x   m   m   a       m2  m     ( m  2)  (m  2)( m  3)  Kết hợp hai trường hợp ta m 2 giá trị cần tìm Trang Câu Tìm m để biểu thức sau âm a) f ( x) mx  x  b) g ( x) ( m  4) x  (2m  8) x  m  Lời giải a) Với m 0 , ta có f ( x)  x    x   1: không thỏa mãn Với m 0 , yêu cầu toán  mx  x   0, x     m  a  m        m0   1  4m  m      m0 f x Vậy với biểu thức   ln âm b) Với m 4 , ta có g ( x ) -1  : với x Với m 4 , yêu cầu toán  ( m  4) x  (2m  8) x  m   0, x   a  m   m      m4  m   (m  4)  (m  4)( m  5)    Kết hợp hai trường hợp ta m 4 Câu Tìm giá trị m để biểu thức sau dương  x  4(m  1) x   4m a) f ( x)   x2  5x  b) f ( x)  x  x  m  Lời giải 5   x  x    x    0 16   a) Ta có với x   2  x  4(m  1) x   4m f ( x)   0, x    x2  5x  Do   x  4(m  1) x   4m  0, x   a      4(m  1)   4m    m giá trị cần tìm Vậy với b) Yêu cầu toán tương đương với    8m    m   x  x  m   0, x    x  x  m  1, x    x  x  m  1, x    x  x  m   0, x   a 1    m  1  4( m  1)  m biểu thức cho ln dương Vậy với Câu Tìm giá trị m để bpt sau nghiệm với x   a) 2m  3m  x  2( m  2) x  1„ b ) (m  4) x  2(mx  m  3) Lời giải Trang 10