Thông tin tài liệu
BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A LÍ THUYẾT Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z = w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w • +) Số có bậc hai w số thực + Nếu w < w có hai bậc hai i − w +) Mỗi số phức khác có hai −i − w bậc hai hai số đối (khác + Nếu w ≥ w có hai bậc hai w − w 0) • w = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , b ≠ Nếu z = x + iy bậc hai w ( x + iy ) = a + bi x2 − y = a Do ta có hệ phương trình: 2xy = b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai Chú ý: w Mọi phương trình bậc n: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực A0 z n + A1 z n −1 + + An −1 z + An = Xét phương trình az + bz + c = ( a, b, c ∈ ¡ ; a ≠ ) ln có n nghiệm phức (khơng Ta có ∆ = b − 4ac thiết phân biệt) với n nguyên b 2a • Nếu ∆ = phương trình có nghiệm thực x = − • Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực phân dương biệt: x1 = • −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 = −b + i ∆ 2a ; x2 = −b − i ∆ 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực phức) Trang 39 b S = x1 + x2 = − a P = x x = c a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Ví dụ: Xét phương trình z − z + = Cho phương trình: a) Giải phương trình tập số phức az + bz + c = ( a, b, c ∈ ¡ ; a ≠ ) b) Tính z1 + z2 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn giải • • Áp dụng phép toán tập số phức a) Ta có: ∆ ' = − = −4 = ( 2i ) để biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1 = + 2i ; z2 = − 2i b) Ta có z1 = z2 = 22 + 22 = 2 Suy z1 + z2 = 2 + 2 = 2 Bài tậ Bài tập Trong số sau, số nghiệm phương trình z + = z A + 3i B 1− C ( z∈£) ? 1+ D + 2i Hướng dẫn giải Chọn A 1 3i Ta có z + = z ( z ∈ £ ) ⇔ z − 2.z + = − ⇔ z − ÷ = 4 2 + 3i 3i z − = z = 2 ⇔ ⇔ − 3i − 3i z − = z = 2 Bài tập Phương trình z + az + b = ( a, b ∈ ¡ A 31 B ) có nghiệm phức + 4i Giá trị a + b C 19 D 29 Hướng dẫn giải Chọn C Chú ý: Nếu z0 Cách 1: Do z = + 4i nghiệm phương trình z + az + b = nên ta có: nghiệm phương ( + 4i ) trình bậc hai với hệ + a ( + 4i ) + b = ⇔ ( 3a + b − ) + ( 4a + 24 ) i = Trang 40 3a + b − = a = −6 ⇔ ⇔ 4a + 24 = b = 25 số thực z0 Do a + b = 19 nghiệm phương trình Cách 2: Vì z1 = + 4i nghiệm phương trình z + az + b = nên z2 = − 4i nghiệm phương trình cho z1 + z2 = −a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có z1.z2 = b ( + 4i ) + ( − 4i ) = −a a = −6 ⇔ ⇔ ⇒ a + b = 19 b = 25 ( + 4i ) ( − 4i ) = b Bài tập Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z + z + 34 = Giá trị z0 + − i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Chọn A có ∆ ' = −25 = ( 5i ) Phương trình có hai nghiệm z = −3 + 5i ; z = −3 − 5i Do z0 = −3 + 5i ⇒ z0 + − i = −1 + 4i = 17 Bài tập Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z − z + = Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P ( 3; ) − 4i mặt phẳng phức z1 B N ( 1; −2 ) C Q ( 3; −2 ) D M ( 1; ) Hướng dẫn giải Chọn A z = + 2i Ta có z − z + = ⇔ z = − 2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1 = − 2i Khi đó: − 4i − 4i ( − 4i ) ( + 2i ) = = = + 2i z1 − 2i 12 + 22 Vậy điểm biểu diễn số phức P ( 3; ) Bài tập Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị biểu thức ( z1 − 1) 2019 A 21009 + ( z2 − 1) 2019 B 21010 C D −21010 Hướng dẫn giải Trang 41 Chọn D z1 = + i 2 Xét phương trình z − z + = ⇔ ( z − ) = −1 ⇔ z2 = − i Khi ta có: ( z1 − 1) ( = ( 1+ i) ( 1+ i) = ( + i ) ( 2i ) = ( 2i ) 1009 ) 1009 1009 2019 + ( z2 − 1) 2019 ( + ( 1− i) ( 1− i) + ( − i ) ( −2i ) = ( 1+ i ) 2019 + ( 1− i ) 2019 ) 1009 1009 ( ( + i ) − ( − i ) ) = ( 2i ) 1010 = ( i2 ) 505 21010 = −21010 Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z − z + 24 = có hai Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z1 , z2 nên az + bz + c = ; a, b, c ∈ ¡ ; a ≠ b z + z = − a có hai nghiệm phức z1 , z2 z z = c a Bài tập z1 + z2 = ; z1.z2 = 24 Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 + z2 = b a Bài tập 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị biểu thức z12 + z22 A 14 B –9 C –6 D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = z1 + z2 = Theo định lí Vi-ét ta có: z1.z2 = Suy z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = 22 − 2.5 = −6 Bài tập 2: Phương trình bậc hai sau có nghiệm + 2i ? Chúng ta giải A z − z + = B z + z + = phương trình: C z − z + = D z + z + = +) z − z + = Hướng dẫn giải ⇔ ( z − 1) = 2i Chọn C Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên phương trình bậc hai có nghiệm + 2i nghiệm cịn lại − 2i ⇔ z − = ±i ⇔ z = 1± i Trang 42 Khi tổng tích hai nghiệm 2; +) z + z + = Vậy số phức + 2i nghiệm phương trình z − z + = ⇔ ( z + 1) = 4i 2 ⇔ z + = ±2i ⇔ z = −1 ± 2i +) z − z + = ⇔ ( z − 1) = 4i 2 ⇔ z − = ±2i ⇔ z = ± 2i +) z + z + = ⇔ ( z + 1) = 2i 2 ⇔ z + = ±i ⇔ z = −1 ± i Bài tập 3: Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + z + = Tính giá trị biểu thức P = z1 z2 + i ( z1 + z2 ) A P = B P = D P = C P = Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + = z1 + z2 = −2 Theo định lý Vi-ét ta có z1.z2 = Ta có P = z1 z2 + i ( z1 + z2 ) 3 3 = + i ( −2 ) = − 2i = ÷ + ( −2 ) = 2 2 Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình Cách khác: 3 z − z + = Giá tị P = z1 + z2 A –20 B 20 C 14 D 28 Hướng dẫn giải Chọn A z1 + z2 = Theo định lý Vi-ét ta có z1.z2 = Ta có: z2 − 4z + = ⇔ ( z − ) = 3i 2 z = − 3i ⇔ z2 = + 3i Do đó: Trang 43 3 2 Suy z1 + z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 − z1 z2 + z2 ) = ( z1 + z2 ) (( z +z ) 2 − 3z1 z2 z13 + z23 ) ( ) ( = − 3i + + 3i = ( 42 − 3.7 ) = −20 ) = −20 Bài tập 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + 27 = Giá trị z1 z2 + z2 z1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1 + z2 = Mà z1 = z2 = z1 z2 = z1.z2 = z1.z2 = = Do z1 z2 + z2 z1 = z1.3 + z2 = ( z1 + z2 ) = = Bài tập 6: Cho số thực a > gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + a = Mệnh đề sau sai? A z1 + z2 số thực C B z1 − z2 số ảo z1 z2 + số ảo z2 z1 D z1 z2 + số thực z2 z1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z1 + z2 = − b = Đáp án A a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1 = x + yi ; x, y ∈ ¡ nghiệm, nghiệm lại z2 = x − yi Suy z1 − z2 = yi số ảo Đáp án B z1 z2 z12 + z22 ( z1 + z2 ) − z1 z2 − 2a + = = = ∈¡ z2 z1 z1.z2 z1.z2 a Vậy C đáp án sai D Trang 44 Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải • • Ví dụ: Giải phương trình: z − z − = tập Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức Hướng dẫn giải hai với hệ số thực tập số phức Nắm vững cách giải số phương trình Đặt z = t , ta có phương trình: quy bậc hai, hệ phương trình đại số t = t2 − t − = ⇔ bậc cao;… t = −2 Với t = ta có z = ⇒ z = ± Với t = −2 ta có z = −2 ⇒ z = ±i Vậy phương trình cho có bốn nghiệm z = ± ; z = ±i 2 Bài tậpmẫu Bài tập 1: Tổng mơđun bốn nghiệm phức phương trình z − z − = A B C D Hướng dẫn giải Chọn A z = z = − 2 z = Ta có: z − z − = ⇔ 1 ⇔ z = i z = − = i 2 z = − i Khi đó, tổng 2+− 2+ mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho 2 i+− i =3 2 Bài tập 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z + z − = Giá trị 2 z1 + z2 + z3 + z4 A + B 12 C D + Hướng dẫn giải Chọn B z =1 z = −1 z2 = ⇔ Ta có: z + z − = ⇔ z = 5i z = −5 z = − 5i Trang 45 Phương trình có bốn nghiệm là: z1 = , z2 = −1 , z3 = −i , z4 = i 2 2 Do đó: z1 + z2 + z3 + z4 = 12 + 12 + ( 5) + ( 5) 2 = 12 Bài tập 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phức phương trình ( z + z ) + ( z + z ) − 12 = 2 2 Giá trị biểu thức S = z1 + z2 + z3 + z4 A S = 18 B S = 16 C S = 17 D S = 15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: ( z + z ) + ( z + z ) − 12 = t = 2 Đặt t = z + z , ta có t + 4t − 12 = ⇔ t = −6 z1 = z = −2 z2 + z − = ⇔ z3 = −1 + i 23 Suy ra: 2 z + z + = −1 − i 23 z4 = 2 2 23 23 + − + − Suy S = + ( −2 ) + − ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ = 17 2 2 ÷ 2 z Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình + z = −4 Khi z1 + z2 z A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: z ≠ 2 z2 z z z ÷ + z = −4 ⇔ Ta có: + z = −4 ⇔ ÷ + z = −4 z ÷ z z 15 i z = − − z = − + 2 ⇒ ⇔ z2 + z +4=0 ⇔ 15 i z = − + z = − − 2 15 i 15 i 15 15 i− + i = −1 = Vậy z1 + z2 = − − 2 2 Bài tập 5: Cho số thực a, biết phương trình z + az + = có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa 2 2 mãn ( z1 + ) ( z2 + ) ( z3 + ) ( z4 + ) = 441 Tìm a Trang 46 a = A a = − 19 a = −1 B a = 19 a = −1 C a = − 19 a = D a = 19 Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét: z + = z − ( 2i ) = ( z + 2i ) ( z − 2i ) Đặt f ( x ) = z + az + , ta có: (z + ) ( z22 + ) ( z32 + ) ( z42 + ) = ∏ ( zk + 2i ) ∏ ( zk − 2i ) = f ( −2i ) f ( 2i ) 4 k =1 k =1 = ( 16i + 4ai + 1) ( 16i + 4ai + 1) = ( 17 − 4a ) Theo giả thiết, ta có ( 17 − 4a ) 2 a = −1 = 441 ⇔ a = 19 Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018 + 10iz 2017 + 10iz − 11 = Mệnh đề đúng? A ≤ z < B ≤ z < C < z < D ≤ z < 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2017 2017 = Ta có z ( 11z + 10i ) = 11 − 10iz ⇔ z Đặt 11 − 10iz 11 − 10iz 2017 ⇒ z = 11z + 10i 11z + 10i z = a + bi có 100 ( a + b ) + 220b + 121 10b + 11) + 100a ( 11 − 10iz 11 − 10i ( a + bi ) = = = 11z + 10i 11( a + bi ) + 10i 121( a + b ) + 220b + 100 121a + ( 11b + 10 ) 100t + 220b + 121 Đặt t = z ( t ≥ ) ta có phương trình t 2017 = 121t + 220b + 100 Nếu t ≥ ⇒ VT ≥ ; VP ≤ Nếu t ≤ ⇒ VT ≤ ; VP ≥ Nếu t = ⇒ z = Trang 47 ... Giải phương trình: z − z − = tập Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức Hướng dẫn giải hai với hệ số thực tập số phức Nắm vững cách giải số phương trình Đặt z = t , ta có phương trình: quy bậc. .. phương trình z + az + b = nên ta có: nghiệm phương ( + 4i ) trình bậc hai với hệ + a ( + 4i ) + b = ⇔ ( 3a + b − ) + ( 4a + 24 ) i = Trang 40 3a + b − = a = −6 ⇔ ⇔ 4a + 24 = b = 25 số thực. .. z1 .3 + z2 = ( z1 + z2 ) = = Bài tập 6: Cho số thực a > gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + a = Mệnh đề sau sai? A z1 + z2 số thực C B z1 − z2 số ảo z1 z2 + số ảo z2 z1 D z1 z2 + số
Ngày đăng: 01/11/2022, 10:06
Xem thêm:
