Thông tin tài liệu
C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT I = = GÓC = LƯỢNG GIÁC a Khái niệm góc lượng giác số đo góc lượng giác I Ou , Ov Trong mặt phẳng cho hai tia Xét tia Om nằm mặt phẳng Nếu tia Om quay điểm O , theo chiều định từ Ou đến Ov , ta nói qt góc lượng giác Ou, Ov với tia đầu Ou , tia cuối Ov kí hiệu Ou, Ov xác định ta biết chiều chuyển động quay tia Góc lượng giác Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay kim đồng hồ chiều dương, chiều quay với chiều quay kim đồng hồ chiều âm Khi tia Om quay góc ta nói góc lượng giác mà tia quét nên có số đo Số đo sd Ou , Ov góc lượng giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov kí hiệu Cho hai tia Ou , Ov có vơ số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov Mỗi góc lượng giác kí hiệu nguyên 360 Ou, Ov Số đo góc lượng giác sai khác bội b Hệ thức Chasles: với tia Ou, Ov, Ow ta có: sd Ou , Ov sd Ov, Ow sd Ou , Ow k 360 k k sd Ou , Ov sd Ou , Ow sd Ov, Ow k 360 Từ suy ra: ĐƠN VỊ ĐO GĨC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRỊN a Đơn vị đo góc cung trịn Đơn vị độ: O tâm O bán kính R cung AB O Ta nói cung Đơn vị radian: Cho đường trịn AB có số đo radian độ dài bán kính R Khi ta nói góc AOB có số đo radian viết AOB 1 radian b) Quan hệ độ radian 180 1rad rad 180 b Độ dài cung tròn Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Một cung đường trịn bán kính R có số đo rad có độ dài R GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC a Đường tròn lượng giác Đường tròn lượng giác đường trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 1, định hướng lấy điểm tròn A 1;0 Đường tròn cắt hai trục tọa độ bốn điểm làm gốc đường + A 1;0 O A ' 1;0 , B 0;1 , B ' 0; 1 Điểm đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo điểm M đường tròn lượng giác cho sd OA, OM b Giá trị lượng giác góc lượng giác M x; y Giả sử điểm đường trịn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo • Hồnh độ x điểm M gọi côsin kí hiệu cos cos x • Tung độ y điểm M gọi sin kí hiệu sin sin y sin • Nếu cos 0, tỉ số cos gọi tang kí hiệu tan (người ta cịn dùng kí hiệu tg ): tan sin cos cos • Nếu sin 0, tỉ số sin gọi cơtang kí hiệu cot (người ta cịn dùng kí hiệu cotg ) : cot cos sin Các giá trị sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác cung Chú ý: a) Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục cơsin b) Từ định nghĩa ta suy ra: 1) sin cos xác định với Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hơn nữa, ta có: sin k 2 sin , k ; cos k 2 cos , k k 2) tan xác định với sin 1 cos 1 k k k 3) cot xác định với 4) Dấu giá trị lượng giác góc đường trịn lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M Bảng xác định dấu giá trị lượng giác c Giá trị lượng giác cung đặc biệt sin cos tan 3 2 2 1 Không xác định Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cot Không xác định 1 QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC a Công thức lượng giác Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin cos 1 tan , k , k cos cot , sin k , k tan cot 1, k , k b Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Góc đối Góc bù Góc phụ cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 Góc II = = = I Góc sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRỊN Một cung trịn có số đo a (hoặc rad) có độ dài Câu 1: l a R 180 (hoặc l R ) o Một đường trịn có bán kính 10 Tính độ dài cung trịn có số đo 30 Lời giải 30 30 l R 10 5, 26(cm) 180 180 Độ dài cung trịn có số đo 30 Câu 2: Một bánh xe máy có đường kính 60 Nếu xe chạy với vận tốc 50(km / h) giây bánh xe quay vòng Lời giải 50.1000 3600 : (0, 6. ) 36,9 Trong phút bánh xe quay được: Câu 3: Một đu quay cơng viên có bán kính 10m Tốc độ đu quay vòng/phút Hỏi để đu quay quay góc 270 ? Lời giải Tính được: 270 270 3 2 180 Vậy đu quay quay góc 270 quay vịng Ta có: Đu quay quay vòng phút 3 1 Đu quay quay vòng 4 phút Câu 4: Một đồng hồ treo tường có kim dài 10, 25cm , kim phút dài 13, 25cm Trong 30 phút kim vạch nên cung trịn có độ dài bao nhiêu? Lời giải rad Trong kim vạch nên cung có số đo , 30 phút kim vạch rad nên cung có số đo 12 Khi độ dài cung tròn mà kim vạch 30 phút l R. l 10, 25 2, 68 cm 12 DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC Sử dụng công thức lượng giác toán: 2 1) sin cos 1 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2) 3) tan , k , k cos cot , sin k , k 4) tan cot 1, 5) 6) tan sin cos cot cos sin cos x Câu 5: Cho k , k 2 x 0 Tính giá trị giá trị lượng giác cịn lại Lời giải Vì x sin x 2 1 2 2 5 Ta có sin x cos x 1 sin x 1 cos x sin x Vậy sin x tan x ; cos x sin x Câu 6: Cho cos x cot x sin x x 2 Tính giá trị giá trị lượng giác cịn lại Lời giải x cos x Vì 2 16 cos x 1 sin x 1 2 25 Ta có sin x cos x 1 Vậy cos x Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x tan x ; cos x tan x Câu 7: Cho cos x cot x sin x x Tính giá trị giá trị lượng giác cịn lại Lời giải Vì x cos x tan x.cot x 1 cot x 1 tan x 3 25 16 3 1 tan x 1 cos x 25 16 Ta có cos x Vậy cos x tan x sin x 4 sin x tan x.cos x cos x 5 cot x Câu 8: Cho 3 x Tính giá trị giá trị lượng giác cịn lại Lời giải Vì x 3 sin x tan x.cot x 1 tan x 1 cot x 3 25 16 3 1 cot x 1 sin x 25 16 Ta có sin x Vậy sin x cot x Câu 9: cos x 4 cos x cot x.sin x sin x 5 0 Biết tan 2 180 270 Tính giá trị biểu thức: sin cos Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 cos 2 cos tan 5 0 Do 180 270 nên cos cos Suy ra, Do đó, sin cos cos sin tan cos 5 Câu 10: Cho tan 2 Tính giá trị biểu thức: A 3sin cos sin cos Lời giải A 3sin cos tan 7 sin cos tan Câu 11: Cho tan x 3 Tính P 2sin x cos x sin x cos x Lời giải Ta có Câu 12: Cho tan x 3 sin a sin x 2.3cos x cos x 5cos x 3 sin x 3cos x P cos x 3cos x cos x cos x Khi cot a tan a A Giá trị biểu thức tan a cot a Lời giải cos a sin a 2 cot a tan a sin a cos a cos a sin a A tan a cot a sin a cos a sin a cos2 a 2 cos a sin a Ta có sin a sin a 1 2sin a sin a 17 sin a sin a 2 2 2 Câu 13: Cho tan x Giá trị biểu thức A 2sin x 5cos x 3cos x sin x Lời giải sin x cos x 5 2sin x 5cos x cos x tan x 13 A cos x cos x sin x 3cos x sin x tan x 4 cos x cos x Ta có: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 14: Cho tan 3 , giá trị biểu thức P 2sin cos 3sin 5cos Lời giải Chia tử mẫu P cho cos 0 ta được: Câu 15: Cho góc thỏa mãn P 2sin cos tan 3sin 5cos tan 1 cos P sin 2 Giá trị biểu thức cos Lời giải 2 2 Cách 1: Ta có: sin cos 1 sin 1 cos 1 cos sin 1 sin 2 Với Vì sin 0 sin 2 nên P sin Vậy: 3 4 2 cos 2 2 cos 2 0 Cách 2: Theo giả thiết: P sin Vậy 1 4 sin 2 cos 2 cos 3 Câu 16: Cho tan 2 Tính giá trị biểu thức P= sin a - 3sin a cos a + cos a sin a + sin a cos a + 2cos a Lời giải Do tan 2 nên cos 0 Chia tử mẫu biểu thức P cho cos ta được: sin sin cos cos2 tan tan 4 cos cos cos P cos2 1 sin sin cos cos tan tan 2 4 cos cos cos cos cos tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 24 3.23 22 2 4.2 34 Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vậy P 34 Câu 17: Cho tan a cot a 1 với Tính giá trị biểu thức P tan 8 a cot a 3 tan a Lời giải tan a 1 tan a cot a 1 tan a 1 tan a tan a Vì tan a 2 , cot a nên tan a , suy 3 tan a cot a tan 8 a tan a cot a cot a Ta có: ; ; tan 8 a cot a tan a cot a P 3cot a 12 3 3tan a M sin x cos x Câu 18: Cho sin x cos x m Tính giá trị biểu thức: Lời giải Ta có: M sin x cos x sin x sin x.cos x cos x 1 sin x.cos x Mặt khác: Suy ra: M sin x cos x sin x cos x 4sin x.cos x m 4sin x.cos x 2sin x.cos x m 4sin x.cos x sin x.cos x m2 2 Do đó: M 2 m M m sin cos sin cos8 A b a b Tính giá trị biểu thức: a b3 Câu 19: Cho a Lời giải Đặt cos t 1 t b t at a t2 b a b ab ab ab at bt 2bt b a b t 2bt b a b a b a b b a b t 2b a b t b 0 t a b Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Suy Vậy: cos b a ;sin a b a b sin cos8 a b 4 3 a b a b a b a b DẠNG 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 2 Câu 20: Tính giá trị biểu thức: S 3 sin 90 cos 60 tan 45 Lời giải 1 3.1 Ta có S 3 sin 90 cos 60 tan 45 5 D sin cos 13 3sin 5 Câu 21: Rút gọn biểu thức Lời giải Ta có 5 D sin cos 13 3sin 5 sin cos 3sin 2 cos cos 3sin 3sin 2 2 Câu 22: Tính giá trị biểu thức: sin 10 sin 20 sin 30 sin 70 sin 80 Lời giải sin 100 sin 200 sin 300 sin 700 sin 800 sin 100 sin 200 sin 300 cos 30 cos 200 cos 100 Câu 23: Tính giá trị biểu thức: M cos 100 cos 200 cos 300 cos 400 cos 500 cos 600 cos 700 cos 800 cos 900 cos 1000 cos 1100 cos 1200 cos 1300 cos 1400 cos 1500 cos2 1600 cos 1700 cos 1800 Lời giải cos cos 1800 cos sin 1 Áp dụng công thức , ta có: M cos 100 cos 200 cos 300 cos 1700 cos 1800 cos 100 cos 200 cos 800 cos 900 cos 800 cos 200 cos 100 cos2 900 2 cos 100 cos 200 cos 300 cos 800 cos 900 Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 sin 800 sin 500 cos 500 cos 800 cos 900 8 DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 24: Rút gọn biểu thức A – sin x cot x – cot x Lời giải A – sin x cot x – cot x cot x cos x cot x sin x Câu 25: Rút gọn biểu thức M sin x cos x sin x cos x Lời giải 2 M sin x cos x sin x cos x 1 2sin x cos x 1 2sin x cos x 2 C 2 cos x sin x cos x sin x cos8 x sin x Câu 26: Rút gọn biểu thức Lời giải Ta có : cos8 x sin x cos x sin x cos x sin x 1 cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x Suy : C 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x C 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x =1 Câu 27: Đơn giản biểu thức sin x cos x A 1 tan x sin x.cos x Lời giải sin x cos x A Ta có: 1 cos x.sin x cos x.sin x cos x cos x cot x 2 tan x sin x.cos x sin x sin x.cos x sin x sin x cos x cos x 6 2 Câu 28: Tính giá trị biểu thức A sin cos 3sin cos Lời giải Ta có: sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cos Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 2 Suy ra: A 1 3sin cos 3sin cos 1 Câu 29: Cho Tính sin sin sin sin Lời giải Đặt sin sin sin sin A sin sin A sin sin Khi Vì cos A nên cos cos DẠNG 5: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 6 Câu 30: Giá trị lớn Q =sin x +cos x bằng: Lời giải Ta có Vì Q =sin x +cos6 x =1 - £ sin 2 x £ 1Û - sin x 3 £ - sin 2 x £ Û £ - sin 2 x £ 4 4 Nên giá trị lớn 2 Câu 31: Giá trị lớn biểu thức M 7 cos x sin x Lời giải M 7 sin x 2sin x 7 9sin x 2 Ta có: sin x 1, x 9sin x 9, x 7 2sin x 2, x Gía trị lớn 4 2 Câu 32: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P cot a cot b tan a tan b Lời giải P cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b 2 cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b cot a.cotb.tan a.tan b 2 cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b 6 Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cot a 1 cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b cot b 1 Dấu xảy k a b , (k Z) Câu 33: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết: a c sin x =cos x = 3p p ï p ï cos x > 0 < x < Þ ïí ïï tan x > ïï ïỵ cot x > b Do ìï sin x ïï tan x = = 15 15 ïï cos x cos x = Þ sin x = 1- cos x = Þ í ïï cos x 4 = ïï cot x = sin x 15 ïỵ Từ với ïìï sin x > ïï cos x > 0 < x < 90 Þ ïí ïï tan x > ïï ïỵ cot x > c Do ìï sin x ïï tan x = = cos x ï cos x = Þ sin x = 1- cos x = Þ í cos x 5 ïï = ïï cot x = sin x ï ỵ Từ với Page 15 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ïìï sin x < ïï cos x < 0 180 < x < 270 Þ ïí ïï tan x > ïï ïỵ cot x > d Do ìï sin x 12 ïï tan x = = 12 cos x ï cos x =Þ sin x =- 1- cos x =Þ í ï cos x 13 13 ï = ïï cot x = sin x 12 ỵï Từ với Câu 34: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết cos x = a) c) sin x = p - < x Þ ïí ïï tan x < ïï ïỵ cot x < 270 °< x < 360 ° b) Do ìï sin x ïï tan x = =ï cos x Þ í ïï =cos x = Þ sin x =- 1- cos x =ïï cot x = tan x ï ỵ 5 Từ với ïìï sin x > ïï cos x < Þ ïí ïï tan x < p < x < p ïï ïỵ cot x < c) Do 4 ìï sin x ïï tan x = =ï cos x Þ í 12 ïï =sin x = Þ cos x =- 1- sin x =ïï cot x = tan x 13 13 ỵï Từ với 12 12 Page 16 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ïìï sin x < ïï cos x < Þ ïí ïï tan x > ïï ïỵ cot x > 180 °< x < 270 ° d) Do ìï ïï tan x = sin x = ï cos x Þ ïí ïï 1 2 =2 ïï cot x = sin x =- Þ cos x =- 1- sin x =tan x ïỵ 3 Từ với Câu 35: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết a) tan x = với c) p
Ngày đăng: 12/10/2023, 22:27
Xem thêm:
