Về quy tắc fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƢU Thái Nguyên - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp cơng trình nghiên cứu cá nhân tôi, thực sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát phân tích từ thực tiễn hướng dẫn khoa học GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu trình bày luận văn hoàn toàn trung thực chưa sử dụng để bảo vệ học vị nào, phần tài liệu tham khảo xếp thứ tự đủ thông tin theo yêu cầu Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Thủy Mục lục Trang Lời cam đoan……………………………………………………………… i Mục lục…………………………………………………………………… ii Danh sách kí hiệu ……………………………………………………… iv Lời nói đầu……………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị…………………………………………… 1.1 Tập lồi……………………………………………………… 1.2 Hàm lồi……………………………………………………… 1.3 Các phép tốn bảo tồn tính lồi ……………………… …… 1.4 Bài tốn tối ưu……………………………………………… 1.5 Tính liên tục hàm số ……………………………….…… 1.6 Đạo hàm ma trận Hessian………………………….…… 10 1.7 Ma trận xác định dương, nửa xác định dương ………… … 11 1.8 Bổ đề Farkas ………………………………………………… 11 1.9 Nón pháp tuyến ……………………………………… …… 11 1.10 Dưới vi phân………………………………………………… 12 Chương Quy tắc Fermat toán cực trị………………………… 14 2.1 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi biến khơng có ràng buộc………………………………………………………… 18 2.2 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi biến có ràng buộc…… 22 2.3 Quy tắc Fermat cho hàm nhiều biến khả vi khơng có ràng buộc……………………………………………………………… 27 2.4 Mở rộng nguyên lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng buộc……………………………………………………… ……… 32 Chương Áp dụng giải số tốn phổ thơng…………… ….… … 39 3.1 Áp dụng cho toán cực trị hàm biến………………… 39 3.2 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số nhiều biến …………………… … … ……… 43 Kết luận ………………………………………………… … ………… 55 Tài liệu tham khảo……………………………………… … … 56 Danh sách ký hiệu n Không gian Euclid n chiều f '  x , f "  x Đạo hàm (bậc bậc 2) hàm số f(x) lim f  x n a Giới hạn hàm số f(x) x dần tới a [a,b] Đoạn thẳng nối hai điểm a b , Tích vơ hướng  n f Gradient hàm f 2 f Ma trận Hessian f Dưới vi phân hàm f NC  x  nón pháp tuyến ngồi C x Lời nói đầu Trong việc ứng dụng toán học vào toán thực tiễn, toán cực trị dạng toán gần với ứng dụng thực tế Những yêu cầu đường ngắn nhất, đường nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi nhất, tổng chi phí nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn … yêu cầu tự nhiên xuất phát từ toán sản xuất, đời sống khoa học Chính tốn cực trị cần có chỗ đứng xứng đáng chương trình tốn phổ thơng Các phương pháp giải tốn cực trị cần phải trình bày cách Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận cho lời giải tốn cực trị, phương pháp sử dụng bất đẳng thức phương pháp hàm số Với phương pháp bất đẳng thức, sơ đồ là: Để chứng minh M giá trị lớn hàm số f(x) miền C, ta chứng minh i) f(x)  M với x thuộc C ii) Tồn x0 thuộc C cho f(x0) = M Phương pháp hàm số khảo sát hàm f(x) C dựa vào định lý giải tích để tìm điểm cực trị giá trị M Fermat – luật sư, nhà tốn học người Pháp sử dụng cơng cụ đạo hàm để giải toán cực trị cách đưa toán cực trị từ cách giải đánh giá bất đẳng thức cần nhiều tư duy, mẹo mực cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn nhờ giải phương trình (đối với hàm số biến) hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến) Quy tắc Fermat công cụ mạnh, cho phép tốn cực trị có lời giải tự nhiên Mục tiêu luận văn tìm hiểu quy tắc Fermat bước phát triển từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức khả giảng dạy nghiên cứu tốn tối ưu, có nhìn tổng từ toán cao cấp vào toán sơ cấp Nội dung luận văn viết chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Một số kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng… Chương Quy tắc Fermat Quy tắc Fermat ví dụ ứng dụng trường hợp hàm số biến, khả vi, khơng có ràng buộc, phát triển đến hàm biến khả vi, có điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng buộc, tổng quát toán hàm nhiều biến, khơng khả vi có ràng buộc Sau bước phát triển ta quay trở tốn sơ cấp trước cách bổ sung thêm giả thiết Từ thấy bước phát triển quy tắc Fermat, đồng thời cho thấy nhìn Tốn cao cấp vào tốn sơ cấp Chương Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải tốn phổ thơng Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải tốn phổ thơng, từ tốn đơn giản đến toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải chương trình phổ thơng Do thời gian kiến thức có hạn nên chắn luận văn nhiều thiếu sót, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu hồn thiện luận văn Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tận tình bảo, giúp đỡ tác giả trình làm luận văn Bên cạnh đó, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu tạo điều kiện giúp tác giả trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Học viên Phạm Thị Thủy Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm hàm lồi, tập lồi, khái niệm cực tiểu cực đại, toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp hai Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Một tập C  n gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua điểm Tức C lồi x, y  C,  0,1   x  (1   ) y  C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1, x2 , , xk k k j 1 j 1 x    j x j ,  j  0j  1, , k ,   j  Một điểm x  C gọi điểm cực biên C x biểu diễn dạng tổ hợp lồi chặt hai điểm phân biệt C, tức khơng tồn y, z  C, y  z cho x   y  1    z với    Ví dụ 1.1 Trong 1 khoảng  a, b  a  1    b |   0,1 , 43 3.2 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số nhiều biến Việc chuyển tốn tìm cực tiểu, cực đại biểu thức khơng hai biến sang tốn tìm cực tiểu, cực đại hàm số chứa biến giúp giải tốn tìm cực tiểu, cực đại biểu thức Ví dụ 3.4 Cho x, y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 1x y  1y Giải Từ giả thiết x, y  , x  y  ta có y   x,  x  x Khi ta có P  1x Xét hàm số f  x    x 1x 1x x  1x x , f  x   2x 1  x   x  x 1 2x x Bảng biến thiên x f  x      f x  1 f  x   f    đạt Từ bảng biến thiên suy P  xmin   0;1  x y   2 44 Ví dụ 3.5 Cho x  y  x  y Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  x 2y  xy Giải Đặt t  x  y , từ giả thiết x  y  x  y ta có 2xy   x  y    x  y   t  t hay xy  t2  t Áp dụng bất đẳng thức 2 x  y    x  y    x  y  hay t  2t suy  t  Khi biểu thức P   x  y   2xy  x  y   t Do ta có max P  đạt t  hay x  y  xy  suy x  y  , ta có P  đạt t  hay x  y  4xy Ví dụ 3.6 Cho x, y  Chứng minh x  x  4y   x y Giải Đặt t  Từ giả thiết x, y  suy t  Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4t t  t 4   hay t  t2   t   Xét hàm số f t   t  t   t  , f  t    t  t f  t    t  2   3t  t2   t  t2    t2   t  t   3t t2  Ta có bảng biến thiên t 2 f  t     f t  0 , 45 Từ bảng biến thiên ta có max f t   f  t 0 xảy t  2 2   hay t  t2   t   dấu hay y  2x Ví dụ 3.7 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010) Cho số thực không âm a,b, c thoản mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  a 2b  b 2c  c 2a   ab  bc  ca   a  b  c 2 Giải Ta có: M  ab  bc  ca   ab  bc  ca    ab  bc  ca  a  b  c  Đặt t  ab  bc  ca , ta có :  t       Xét hàm số f t   t  3t   2t  0;  , ta có : f  t   2t   f   t    1  2t   2t  1  , Do f t  hàm số lõm  0;  , giá trị      nhỏ đạt biên nên Min f  t   Min  f   , f     f     1    0;        Vì : M  f  t   2, t   0;  M   ab  bc  ca,ab  bc  ca  a  b  c   a;b;c  số : 1;0;0 ,  0;1;0 , 0;0;1 Do giá trị nhỏ M Ví dụ 3.8 Trong tam giác nội tiếp đường tròn cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn Giải 46 Khơng tính tổng qt, ta xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn đơn vị với A(1 ;0) cố định B(x1, y1), C(x2, y2), x12 + y12 = 1, x22 + y22 = Ta có diện tích tam giác ABC tính cơng thức sau : 1 SABC  AB.d (C; AB)   x2  1 y1   x1  1 y2 2 y B(x1;y1) A(1;0) O x C(x2;y2) Hình 3.2 Phát biểu lại tốn ta toán cực trị sau: 1  | ( x1  1) y  ( x2  1) y1 | max  2  x1  y1  x  y    Bài toán cực trị có điều kiện biến chuyển thành toán cực trị biến cách tham số hố đường trịn đơn vị, cụ thể đặt x = cos, y1 = sin; x2 = cos, y2 = sin ta quy tốn việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(, ) = sin - sin + sin(-) 47 Giữ  cố định, xét f(, ) hàm số theo  f '  ,     cos   cos     Từ ta tìm điểm dừng     k Từ đó, để tìm max f(, ), ta cần tìm max     sin   sin   k    sin   k     2  2    tức max f1     sin   2sin , f     sin   2sin 2 Giải toán biến này, ta tìm đáp số tốn f(, ) max 2 4 3 3 , chẳng hạn   ,   (và ) Đây tình 2 3 tam giác ABC Ví dụ 3.9 Tìm giá trị giá trị nhỏ hàm số f(x, y) = 5x2 + 2xy + 3y2 với điều kiện h(x,y) = 7x2 + 2xy + 4y2 – = Giải Do h(x, y) = phương trình elip, miền ràng buộc compact nên tồn giá trị nhỏ 10 x  y  14 x  y  f  x, y     h x , y      2x  y   2x  y    ta hệ phương trình  1 7 x  xy  y   10 x  y   (14 x  y)     2 x  y   (2 x  y)   3 Từ (2), (3) tính  từ phương trình cho nhau, ta 48 10 x  y y  x 10  2t 6t   y    t    t  t   14 x  y y  x 14  2t 8t   x t  1  y   x   t    y  2x Thay vào phương trình h(x, y) = 0, ta tìm số điểm « nghi vấn »   1  1 2  2  ;  ,  ; , ; ,  ;   cực trị  3  3 3 3  3  Tính giá trị hàm số f điểm này, ta thu giá trị nhỏ  1   đạt điểm (x, y) =  ;  ,  ;  3  3  Ví dụ 3.10 (Chọn đội tuyển Việt Nam 2001) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện 2x + 4y + 7z = 2xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức x+y+z Để giải toán ta sử dụng cơng cụ tốn sơ cấp làm giảm biến tốn, ta thiết lập hàm L chứa nhân tử Lagrange Giải Cách 1: Rút z = (2x + 4y)/(2xy – 7) ta đưa toán toán cực trị hai biến 2x  y    f ( x, y)  x  y  xy    x  0, y  0,2 xy   Tính đạo hàm theo y, ta f ' y ( x, y)   4(2 xy  7)  x(2 x  y) x  28   (2 xy  7) (2 xy  7) Từ đó, ta tìm được, với x có định f(x, y) đạt giá trị nhỏ điểm 49 y0  7  1 2x x Khi f ( x, y0 )  x  11    g ( x) 2x x Tính đạo hàm g ' ( x)   11  2x 14 Phương trình g’(x) = tương đương x 1 x với (2x2 – 11)2(x2+7) = 784 (với điều kiện 2x2 > 11) có nghiệm x = Đây điểm cực tiểu (do f  + x  x  +) Từ f ( x, y)  g ( x)  g (3)  15 Cách Xét L = x + y + z + (2x + 4y + 7z – 2xyz) Ta có 1   (2  yz )  L  x, y, z   1   (4  zx)  1   (7  xy)     yz     1   (2  yz )     Xét L  x, y, z    1   (4  zx)   2 zx    1   (7  xy)     2 xy    Mặt khác, điều kiện 2x + 4y + 7z = 2xyz viết lại thành   1 yz zx xy Thay biểu thức vừa tìm vào, ta tìm 50 2 4 7   1 2  4  7  Biến đổi tương đương, ta phương trình 1123 + 502 – = Phương trình có nghiệm  = 1/8,   4 (loại dẫn đến yz < 0) 14 2 yz  10  Từ ta có 2 zx  12 2 xy  15    Từ tính điểm dừng  x, y, z    3, ,2  Sự tồn giá trị nhỏ     đảm bảo bổ đề (2.3.1),  x, y, z    3, ,2  điểm   mà hàm số đạt giá trị nhỏ Ví dụ 3.11 Tìm điểm M nằm tam giác cho tổng tỷ số độ dài cạnh khoảng cách từ M đến cạnh đạt giá trị nhỏ Giải Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác x, y, z khoảng cách từ M đến cạnh tương ứng Ta cần tìm giá trị nhỏ hàm số f  x, y, z   a b c   Trong đại lượng x, y, z liên quan với thông x y z qua diện tích tam giác Nối M với đỉnh tam giác, ta ba tam giác tổng diện tích diện tích S tam giác Như ax by cz   S 2 51 A y z c b M x B a C Hình 3.3 Ta có tốn: a b c   f ( x, y, z )     x y z  ax  by  cz  2S  Lập hàm Lagrange L  , x, y, z   a b c      ax  by  cz  2S  x y z Hệ phương trình tìm điểm dừng có dạng  a  x   a    b L  x, y, z      b   y  c    c   z Từ suy x = y = z Tức M cách cạnh tam giác Suy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác 52 Ví dụ 3.12 (Bất đẳng thức Holder) Cho x1, x2, …, xn số thực dương, p, q 1   Chứng minh ta có bất đẳng p q số dương thoả mãn điều kiện thức 1  n p n q xk y k   xkp    xkq   k 1  k 1   k 1  n Giải Do tính nhất, ta cần chứng minh n x k 1 k y k  Xét tốn tìm giá trị lớn n x k 1 k n n k 1 k 1  xkp  1,  ykq  (1) y k với điều kiện ràng buộc (1) Xét hàm Lagrange n  n   n  L   xk y k     xkp  1     y kq  1 k 1  k 1   k 1  Hệ phương trình tìm điểm dừng có dạng p 1   yi  pxi  0, i  1, , n  q 1   xi  pyi  0, i  1, , n Viết n phương trình dạng yi = (-p)xip-1, lấy luỹ thừa q cộng lại vế theo vế, với ý (p-1)q = p, ta suy -p = 1, suy yi = xip-1 Đây điểm dừng điểm hàm số n x k 1 y k đạt giá trị lớn Nhưng rõ ràng giá trị k lớn nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.13 Cho n  x1, …, xn ; y1, …, yn 2n số thực thoả mãn điều kiện n  ai2  1, i 1 n n i 1 i 1  bi2  1,  bi  0,  n   n  Chứng minh       bi   n  i 1   i 1  Giải 53 n n i 1 i 1 Đặt A   , B   bi Ta có (1 – Aai – Bbi)2  => – 2Aai – 2Bbi + 2ABaibi + A2ai2 + B2bi2  Cho i chạy từ đến n cộng bất đẳng thức lại vế theo vế, ý n a i 1 i  1, n b i 1 i n  1,  bi  0, ta n  A + B điều phải chứng minh 2 i 1 Dưới góc nhìn tốn sơ cấp khó giải thích lại nghĩ lời giải này, lại biết để bình phương đại lượng – Aai – Bbi cộng lại? Chúng ta lại phải đổ cho « kinh nghiệm », « óc phán đốn » hay « nhạy cảm toán học » … Toán cao cấp giúp giải thích lời giải độc đáo này: 2  n   n  Xét tốn tìm giá trị lớn hàm số f (a, b)        bi  với  i 1   i 1  n  ai2  1, điều kiện ràng buộc i 1 n n i 1 i 1  bi2  1,  bi  0, Lập hàm Langrange 2 n  n   n   n   n  L        bi     ai2  1     bi2  1    bi i 1  i 1   i 1   i 1   i 1  Các phương trình tìm điểm dừng có dạng 2A + 2ai + bi = i = 1, 2, …, n 2B + 2bi + ai = i = 1, 2, …, n Từ hệ này, 4 - 2  tất tất bi Điều khơng thể xảy Do ta phải có 4 - 2 = Lúc này, để hệ có nghiệm, ta lại phải có A/B = 2/ = /2 Ngồi ra, ta có n n i 1 i 1   bi  (2 A  2ai )  2 A  2 54 Suy 2 = -2A2  = -2AB Từ ta có điều kiện – Aai – Bbi = Như điểm dừng ta có hệ thức – Aai – Bbi = sở để ta “mạnh dạn” thực phép bình phương nói 55 Kết luận Trong khoa học thực tiễn, ta thường bắt gặp nhiều toán tối ưu, nội dung tốn theo suốt q trình phát triển lịch sử lồi người nói chung lịch sử Tốn học nói riêng Quy tắc Fermat tạo sở lý thuyết cho nhiều phương pháp giải loại toán theo với mức độ tăng dần độ khó tốn Quy tắc Fermat có nhiều bước phát triển để giải triệt để toán tối ưu, từ sơ cấp biến, khả vi, không ràng buộc đến cao cấp nhiều biến, khơng khả vi có ràng buộc Luận văn tìm hiểu trình bày nguyên lý Fermat theo nội dung sau đây: Một số kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng… Nguyên lý Fermat ví dụ ứng dụng trường hợp hàm số biến, khả vi, khơng có ràng buộc, phát triển đến hàm biến khả vi, có điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng buộc, tổng qt tốn hàm nhiều biến, khơng khả vi có ràng buộc Sau bước phát triển ta quay trở tốn sơ cấp trước cách bổ sung thêm giả thiết Từ thấy bước phát triển quy tắc Fermat, đồng thời cho thấy nhìn Toán cao cấp vào toán sơ cấp Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải toán phổ thơng, từ tốn đơn giản đến toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải chương trình phổ thơng Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu quy tắc Fermat ứng dụng quy tắc vào giải toán tối ưu Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nhiều phương pháp tối ưu hóa 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình Các Phương pháp Tối ưu Lý thuyết Thuật toán, NXB Bách Khoa, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (1998), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (bản thảo), Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục, Hà Nội [6] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Nhập môn Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [7] Các nguồn tài liệu internet http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/fermat.html#c3, ngày 9/12/2014 http://cerebro.xu.edu/math/math147/02f/fermat/fermattext.html ,ngày 9/1/2015 http://diendantoanhoc.net/ ,ngày 19/2/2015 https://www.maa.org/sites/default/files/0025570x04690.di021131.02p02223.pdf, ngày 19/3/2015 57