Bài tập cực trị hàm số có giải chi tiết

Giaovienvietnam.com Bài tập Cực trị hàm số hay có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 1) Câu 1: Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f'(x) Số điểm cực trị hàm số y = f(x) là: A B C D đáp án Ta thấy đồ thị hàm số f'(x) có điểm chung với trục hoành x1, 0, x2, x3 dấu f'(x) đổi dấu x qua hai điểm x3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số y = f(x) có điểm cực trị Suy chọn đáp án A Câu 2: Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f'(x) hình bên Tìm số điểm cực trị hàm số g(x) = f(x2 - 3) A B C D Giaovienvietnam.com đáp án Ta có g'(x) = 2x f'(x2 – 3) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án suy ta chọn B Chú ý: Dấu g’(x) xác định sau: Ví dụ xét khoảng (2; +∞) • x ∈ (2; +∞) → x > (1) • x ∈ (2; +∞) ⇒ x2 > ⇒ x2 - > -theo thi f'(x)→ f'(x2 - 3) (2) Từ (1) (2) suy g'(x) = 2x.f'(x2 – 3) > khoảng (2; +∞) nên g'(x) mang dấu “+” Nhận thấy nghiệm x = x = -1 x = nghiệm bội lẻ nên g'(x) qua nghiệm đổi dấu; nghiệm x = x = -2 nghiệm bội chẵn (lí dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ nên qua nghiệm khơng đổi dấu Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R có bảng xét dấu y = f'(x) sau Hỏi hàm số g(x) = f(x2 - 2x) có điểm cực tiểu ? A B Giaovienvietnam.com C.3 D đáp án Ta có g'(x) = (2x - 2) f'(x2 – 2x) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án suy ta chọn A Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục R f(0) < đồng thời đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g(x) = f2(x) A B C D Giaovienvietnam.com đáp án Dựa vào đồ thị, ta có: Bảng biến thiên hàm số y = f(x) Bảng biến thiên hàm số g(x) Vậy hàm số g(x) có điểm cực trị Suy chọn đáp án C Câu 5: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 = có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân Giaovienvietnam.com đáp án Tập xác định: D = R y' = 4x3 + 4mx; y' = ⇔ 4x3 + 4mx = Hàm số có cực trị phương trình y' = có nghiệm phân biệt nghĩa phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác ⇔ -m > hay m < (loại đáp án C D) Vậy tọa độ điểm là: A(0; 1), B(-√(-m), - m2), C(√(-m), - m2) Ta có AB→ = (-√(-m), -m2); AC→ = (√(-m), -m2) Vì tam giác ABC vuông cân A nên : AB→ AC→ = ⇔ -√(m2) + m2.m2 = ⇔ -|m| + m4 = ⇔ m + m4 = Nên m = -1 (vì m < 0) Vậy với m = -1 hàm số có cực trị tạo thành tam giác vuông cân Suy chọn đáp án B Câu 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên Giaovienvietnam.com Số điểm cực trị hàm số g(x) = f(x - 2017) - 2018x + 2019 A B C D đáp án Ta có: g'(x)= f'(x - 2017) – 2018 Xét phương trình: g'(x) = hay f'(x - 2017) = 2018 Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) suy phương trình f'(x - 2017) = 2018 có nghiệm đơn Suy hàm số g(x) có điểm cực trị Suy chọn đáp án A Câu 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m > B m < C < m < 3√4 D < m < đáp án Ta có: y' = 4x3 – 4mx = 4m(x2 – m) (*) + Để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ m > Giaovienvietnam.com + Xét y' = Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy 2√m, đường cao m2 (như hình minh họa) Ta SΔABC = 1/2 AC.BD = √m.m2 Để tam giác có diện tích nhỏ thì: √m.m2 < ⇔ m5 < ⇔ < m < Suy chọn đáp án D Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên Hỏi hàm số g(x) = f(x) + x đạt cực tiểu điểm ? A x = B x = C x = D Không có điểm cực tiểu đáp án + Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) + Do g'(x)= ⇔ f'(x) = -1 + Suy số nghiệm phương trình g'(x) = số giao điểm đồ thị hàm số f'(x) đường thẳng y = -1 Giaovienvietnam.com Dựa vào đồ thị ta suy ra: Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy g(x) đạt cực tiểu x = Suy chọn đáp án B Câu 9: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích với O gốc tọa độ đáp án Đạo hàm y' = 3x2 – 6mx Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0, 4m3) B(2m, 0) SΔABC = 1/2.OA.OB = ⇔ 1/2 |4m3.2m| = ⇔ 4m4 = ⇔ m = m = -1 Suy chọn đáp án B Câu 10: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên Giaovienvietnam.com Hàm số g(x) = f(x) - x3/3 + x2 - x + đạt cực đại A x = -1 C x = B x = D x = đáp án Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) – x2 + 2x - Xét g'(x)= ⇔ f'(x) – x2 + 2x - = ⇔ f'(x) = x2 – 2x + = (x - 1)2 Suy số nghiệm phương trình g'(x) = số giao điểm đồ thị hàm số f'(x) parapol (P): y = (x - 1)2 Dựa vào đồ thị ta suy Bảng biến thiên Giaovienvietnam.com Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại x = Suy chọn đáp án C Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = 2f(x) + x2 đạt cực tiểu điểm A x = -1 C x = B x = D x = đáp án Ta có g'(x) = 2f'(x) + 2x Xét phương trình g'(x)=0 hay f'(x) = - x Suy số nghiệm phương trình g'(x) = số giao điểm đồ thị hàm số f'(x) đường thẳng y = - x Giaovienvietnam.com đáp án Ta có đạo hàm: y'= mx2 – 2(m - 1)x + 3(m - 2) Yêu cầu tốn tương đương y' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = Câu 15: Cho hàm số bậc bốn y = f(x) Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên Số điểm cực đại hàm số là: A B C D đáp án Ta có: Giaovienvietnam.com Bảng xét dấu Từ suy hàm số có điểm cực đại Chú ý: Cách xét dấu “-” hay “+” g'(x) nhanh ta lấy giá trị x0 thuộc khoảng xét thay vào g'(x) Chẳng hạn với khoảng (-1; -1 + √2) ta chọn Vì dựa vào đồ thị ta thấy f'(√2) < Suy chọn đáp án A Câu 16: Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g(x) = e2f(x)+1 + 5f(x) A B Giaovienvietnam.com C D đáp án + Ta thấy đồ thị hàm số f'(x) cắt trục hoành điểm phân biệt Suy hàm số f(x) có điểm cực trị + Ta có: g'(x) = 2f'(x).e2f(x)+1 + f'(x).5f(x).ln5 = f'(x).(2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5) + Vì 2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5 > với x nên g'(x) = ⇔ f'(x) = Suy số điểm cực trị hàm số g(x) số điểm cực trị hàm số f(x) Vậy hàm số g(x) có điểm cực trị Suy chọn đáp án C Câu 17: Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên f'(x) < với x ∈ (-∞; -3,4) ∪ (9; +∞) Đặt g(x) = f(x) - mx + Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g(x) có hai điểm cực trị ? A B C D đáp án Ta có: g'(x) = f'(x) - m Xét phương trình: g'(x) = hay f'(x) – m= ⇔ f'(x) = m Để hàm số g(x) có hai điểm cực trị phương trình g'(x) = có hai nghiệm đơn ( nghiệm bội lẻ phân biệt) Giaovienvietnam.com Suy chọn đáp án C Câu 18: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + có ba điểm cực trị A(0,1), B, C thỏa mãn BC = 4? A m = m = -4 C m = B m = √2 D m = √2 m = -√2 đáp án Cách 1: + Ta có: y' = 4x3 - 4mx = 4x(x2 - m); + Để hàm số có ba điểm cực trị y' = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > + Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0;1), B(√m; - m2) C(-√m; - m2) Để BC = ⇔ 2√m = ⇔ √m = ⇔ m = (thỏa mãn) Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < ⇔ m > Để độ dài BC = m0 khi: am02 + 2b = ⇔ 1.42 + 2.(-2m) = ⇔ m = Suy chọn đáp án C Câu 19: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Giaovienvietnam.com A m = -1 C m = B m = D m = đáp án Cách * Ta có đạo hàm: y'= 4x3 – 4(m + 1)x = 4x(x2 - m - 1) * Để hàm số có ba điểm cực trị y' = có ba nghiệm phân biệt: ⇔ m + > ⇔ m > -1 Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0; m2), B(√(m + 1); -2m - 1) C(-√(m + 1); -2m - 1) Khi AB− = (√(m + 1); -2m - - m2) AC− = (-√(m + 1); -2m - - m2) Để tam giác ABC vuông: AB−.AC− = Cách Áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < hay m > -1 Để tam giác ABC vuông điều kiện là: 8a + b3 = ⇔ 8.1 + [-2(m + 1)]3 = ⇔ m = Suy chọn đáp án B Câu 20: Tìm giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân Giaovienvietnam.com đáp án Ta có: * Để hàm số có ba điểm cực trị (*) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ -m > hay m < * Khi toạ độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0;1), B(√(-m); -m2 + 1), C(-√(-m); -m2 + 1) Ta có: AB = AC nên tam giác ABC cân A nên điều kiện để tam giác ABC vuông cân là: Suy chọn đáp án B Câu 21: Cho hàm số y = 3x4 + 2(m - 2018).x2 + 2017 với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o A m = - 2018 C m = 2017 B m = -2017 D m = 2018 đáp án Cách Ta có: y' = 12x3 + 4(m - 2018)x; Giaovienvietnam.com Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2018 - m > ⇔ m < 2018 Khi đó, tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0; 2017) Do tam giác ABC cân A: AB = AC nên ∠BAC = 120o Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = AB2 + AB2 – 2.AB.AB.cos120o ⇔ BC2 = 3AB2 ⇔ (m - 2018)3 = -1 ⇔ m = 2017 (thỏa mãn) Cách Áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị: ab < hay m < 2018 Áp dụng công thức giải nhanh: (với α = ∠BAC, A điểm cực trị thuộc Oy) Ta được: Giaovienvietnam.com ⇔ 3[2(m - 2018)]3 = -8.3 ⇔ m = 2017 thỏa mãn Suy chọn đáp án C Câu 22: Cho hàm số y = 1/4.x4 - (3m + 1)x2 + 2(m + 1) với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ A m = -2/3 B m = 2/3 C m = -2/3 D m = 1/3 đáp án Cách Ta có: y' = x3 - 2(3m + 1)x = x[x2 - 2(3m + 1)] Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2(3m + 1) > ⇔ m > -1/3 Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A(0; 2(m + 1)) Suy tọa độ trọng tâm tam giác ABC : Để G ≡ O ⇔ 2(m + 1) + 2(-9m2 - 4m + 1) = Cách Áp dụng công thức giải nhanh: Giaovienvietnam.com Điều kiện để có ba cực trị ab < ⇔ m > -1/3 Yêu cầu toán: G ≡ O ⇔ b2 - 6ac = ⇔ (3m + 1)2 - 6.1/4.2(m + 1) = Suy chọn đáp án D Câu 23: Cho hàm số y = 9/8.x4 + 3(m - 3)x2 + 4m + 2017 với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m = -2 C m = B m = D m = 2017 đáp án Cách Ta có: y' = 9/2.x3 + 6(m - 3)x; Để hàm số có ba điểm cực trị (*) có nghiệm phân biệt khác ⇔ 4(m - 3) > ⇔ m < Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0; 4m + 2017) Do tam giác ABC cân A nên để tam giác ABC AB = BC hay AB2 = BC2 Cách Áp dụng cơng thức giải nhanh: Giaovienvietnam.com Điều kiện để có ba cực trị ab < hay m < Để tam giác tạo điểm cực trị tam giác khi: b3 = -24a hay 27(m - 3)3 = -27 ⇔ m = Suy chọn đáp án B Câu 24: Cho hàm số y = x4 – mx2 + m - với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp A m = -2 C m = B m = D m = đáp án Cách Ta có: y' = 4x3 - 2mx = 2x(2x2 - m); Để hàm số có ba điểm cực trị m > Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0; m - 2) Suy ra: Ta có: Giaovienvietnam.com Đặt Ta phương trình: Cách Áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < hay m > Yêu cầu toán: Suy chọn đáp án D Câu 25: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số sau có cực đại cực tiểu A m < C m ∈ R B m = D m > đáp án Tập xác định: D = R \ {1} Đạo hàm Đặt g(x) = x2 – 2x – m + Giaovienvietnam.com Để hàm số có cực đại cực tiểu g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác Suy chọn đáp án D Câu 26: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số sau đạt cực đại x = A m = -1 C m = B m = -3 D m = đáp án TXĐ: D = R \ {-m} Đạo hàm Hàm số đạt cực đại x = Thử lại với m = -1 hàm số đạt cực tiểu x = 2: không thỏa mãn Thử lại với m = -3 hàm số đạt cực đại x = 2: thỏa mãn Suy chọn đáp án B Câu 27: Gọi xCĐ, xCT điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số y = sin2xx đoạn [0; π] Mệnh đề sau đúng? A xCD = π/6; xCT = 5π/6 C xCD = π/6; xCT = π/3 B xCD = 5π/6; xCT = π/6 D xCD = π/3; xCT = 2π/3 Giaovienvietnam.com đáp án Ta có y' = 2cos2x - y'' = -4sin2x Xét đoạn [0; π], ta có y' = Do đó: Vậy xCD = π/6; xCT = 5π/6 Suy chọn đáp án A Câu 28: Tìm giá trị cực đại hàm số y = x + 2cosx khoảng (0;π) đáp án Đạo hàm y' = - 2sinx y'' = -2cosx Xét khoảng (0;π), ta có Do đó: Vậy giá trị cực đại hàm số là: Giaovienvietnam.com Suy chọn đáp án C Câu 29: Biết khoảng (0; 2π) hàm số y = a.sinx + b.cosx + x đạt cực trị x = π/3 x = π Tính tổng S = a + b A S = B S = √3/3 + C S = √3 + D S = √3 - đáp án Đạo hàm: y' = a.cosx – b.sinx + Hàm số đạt cực trị x = π/3 x = π nên ⇒ S = a + b = √3 + Suy chọn đáp án C Câu 30: Hàm số y = (x2 - 4)2(1 - 2x)3 có điểm cực trị? A B C D đáp án Đạo hàm y' = 2.2x(x2 - 4)(1 - 2x)3 + (x2 - 4)2.3.(-2).(1 - 2x)2 = (1 - 2x)2(x2 - 4).[4x(1 - 2x) - 6(x2 - 4)] Giaovienvietnam.com = -2(1 - 2x)2(x2 - 4)(7x2 - 2x - 12) Phương trình y' = có nghiệm đơn nên hàm số có điểm cực trị Suy chọn đáp án B ... bên Số điểm cực trị hàm số g(x) = f2(x) A B C D Giaovienvietnam.com đáp án Dựa vào đồ thị, ta có: Bảng biến thiên hàm số y = f(x) Bảng biến thiên hàm số g(x) Vậy hàm số g(x) có điểm cực trị Suy... ⇔ f'(x) = Suy số điểm cực trị hàm số g(x) số điểm cực trị hàm số f(x) Vậy hàm số g(x) có điểm cực trị Suy chọn đáp án C Câu 17: Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f'(x) hình vẽ bên f'(x)