bài tập cực trị điện xoay chiều giải chi tiết

bài tập cực trị điện xoay chiều giải chi tiết ôn thi tốt nghiệp

BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH RLC

2

ZC2 = 1 tan2φRC tanφRC= − 1

2

ZL2 = 1 tan2φRL tanφRL = 1

P1 = P2 = Pmax

n2

↔ kL= R2

ZC2 = 1 (n2− 1) (

ZL1− ZL2

ZL1+ ZL2)

2

2 Mạch RLC f hay 𝛚 biến thiên

 ULmax = U

√1 − xL−2 ↔ { kω = −2(xL

−1− 1) tanφRLtanφ = 1

2 xL

√1 − xL−2↔ {

kω= 2xL(xL− 1) tanφtanφRL = 1

−UCtanφRCUsinφ − URCsinφRC= UL Trong mạch RLC có L biến thiên tích số R2C2ω2 là một đại lượng không đổi Để thuận tiện cho việc tính toán và biến đổi, ta đặt

Với phép đặt trên ta có: tanφRC = −√ 1

1 (1 + kL) hay 𝐤𝐋 = 𝐱𝐋− 𝟏

2

+ 2 ( tanφRC

tanφRL) tan2φRC

1 2k )

1.3 L biến thiên nhận hai giá trị 𝐋𝟏 và 𝐋𝟐

Dựa vào phép phan tích véc tơ ta có:

Ucosφ = UL

tanφRL →

cosφ1cosφ2 =

UL1

UL2

tanφRL2tanφRL1 =

Từ phương trình trên, trong mọi trường hợp ứng với hai giá trị của L ta luôn có

( 𝐙𝐋𝟐

𝐙𝐋𝟏) = (

𝐭𝐚𝐧𝛗𝟐− 𝐭𝐚𝐧𝛗𝐑𝐂𝐭𝐚𝐧𝛗𝟏− 𝐭𝐚𝐧𝛗𝐑𝐂) 𝐡𝐚𝐲 𝐭𝐚𝐧𝛗𝐑𝐂 = −√

𝟏

𝐤𝐋=

𝐙𝐋𝟏𝐭𝐚𝐧𝛗𝟐− 𝐙𝐋𝟐𝐭𝐚𝐧𝛗𝟏

𝐙𝐋𝟏− 𝐙𝐋𝟐 (∗)

Dưới đây, chúng ta sẽ xét các truờng hợp thường xuất hiện trong khi giải bài tập

⍟ 𝐓𝐫ườ𝐧𝐠 𝐡ợ𝐩 𝟏: I1 = I2 ↔ cosφ1 = cosφ2 hay φ1 = −φ2

Gỉa sử khi L = Lo mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng, khi đó Imax, Pmax, cosφmax = 1 lần lượt là cường độ hiệu dụng, công suất và hệ số công suất cực đại tương ứng Xét trường hợp

ZL1− ZL2

ZL1+ ZL2)

2

→ {

𝐱𝐋𝟏𝐱𝐋𝟐

𝐱𝐋𝟏+ 𝐱𝐋𝟐) − 𝟏

 Trừ vế theo vế hai phương trình này ta được

(tan2φRL2− tan2φRL1) + 2tanφRC

[1 − ( U U

RL)2] (tanφRL2− tanφRL1) = 0

→ tanφRL2+ tanφRL1 = −2tanφRC

 Cộng vế theo vế hai phương trình này ta được

(tan2φRL2+ tan2φRL1) + 2tanφRC

(tanφRL2+ tanφRL1)2− [ 2tanφRC

1 − ( U U

RL)2]

2

− 2tanφRL2tanφRL1+ 2tan2φRC

[1 − ( U U

RL)2] + 2 = 0

tanφRL2tanφRL1= tan2φRC

xL1 xL1 = ( xL1+ xL2

2 ) + kL→ kL = xL1 xL1− (

xL1+ xL2

2 )

2 Mạch RLC f hay 𝛚 biến thiên

Đối với mạch RLC có ω biến thiên, ta xét các đại lượng sau:

⍟ Điều kiện 𝐔𝐋𝐦𝐚𝐱 dưới dạng pha

2

+ 1 2kω= √

1 2(xL− 1)

2.3 Bài toán 𝝎 biến thiên nhận hai giá trị 𝛚𝟏 và 𝛚𝟐

Xét đoạn mạch RLC mắc vào nguồn điện xoay chiều có 𝜔 thay đổi được Giả sử khi tần số

là ω = ωR= 1/√LC thì trong mạch xảy ra cộng hưởng Khi tần số là ω = ω1, ω = ω2 thì độ lệch pha giữa u và i lần lượt là φ1 và φ2 Ta có:

⍟ Hai gía trị của 𝛚 cho cùng 𝐈

 I1 = I2 → { tanφ cosφ1 = cosφ2

ω = ω0: Imax→ kω= R2C2ωo2 = R

2C L

tanφRCtanφRL = −

xL1+ xL22xL1 xL2 − 1]

Vận dụng kết quả trên, xét hàm 𝐔𝐑𝐋 theo 𝛚

y = −2t

t2+ ( R L +2C 1 2 + 1 2) t + ( R 2L +2C 1 4)

2L C L

= √ R2C 2L +

1 4

C Vận dụng

Câu 1: Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC, hiệu điện thế hai đầu mạch điện có biểu thức: u = 200√2cos(100πt)(V) ; R = 100Ω cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được, tụ có C = 50/π(μF) Khi hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại thì độ tự cảm của cuộn dây và giá trị cực đại đó sẽ là:

√1 + tan2φ =

ULtanφRL =

ULtanφ − tanφRC

ULmax↔tanφ= −1

tanφRC=RCω=

1 2

→ ULmax = 447,21

Câu 2: Mạch điện xoay chiều RLC ghép nối tiếp Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 100√3(V) vào hai đầu đoạn mạch Khi L biến thiên có một giá trị của L làm cho UL cực đại, lúc đó thấy UC = 200(V) Hiệu điện thế trên cuộn dây thuần cảm đạt giá trị cực đại bằng:

U Lmax ↔tanφ=tanφ−1

RC

→ {

U

√1 + tan2φ = UCtanφ → φ = 0,6155 Usinφ = UL− UC → UL = 300

Câu 3: Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = 50√10cos100πt(V) gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một tụ điện có điện dung

C Khi thay đổi L ta thấy φ là độ lệch pha giữa u và i; φRL là độ lệch pha giữa uRL và i thì: φ +

φRL =π2 và cường độ dòng điện trong mạch I = 1A Xác định L để UL cực đại và tính giá trị cực đại đó

φ + φRL = π

2 → tanφ =

−1 tanφRL =

−1 tanφ − tanφRC → tanφRC= −2,5

Câu 3: Cho đoạn mạch điện RLC mắc nối tiếp trong đó, L là cuộn cảm thuần có thể thay đổi được

độ tự cảm Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm đạt cực đại Khi đó điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm gấp 3 lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện Tính hệ số công suất của đoạn mạch khi đó:

√kLtanφRL = xL

√kL}

→ tanφRLtanφRC = −xL=

tanφ − tanφRCtanφRC

= 3 → 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,577

Câu 4: Cho đoạn mạch điện RLC mắc nối tiếp trong đó dung kháng của tụ lớn hơn điện trở R, L là cuộn cảm thuần có thể thay đổi được độ tự cảm Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm đạt cực đại Khi

đó điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm gấp 3 lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở Hệ số công suất của đoạn mạch khi đó

A. 0,84 B. 0,87 C. 0,79 D. 0,94

tanφ − tanφRL → cosφ = 0,934

Câu 5: Cho đoạn mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, trong đó L là cuộn thuần cảm có độ tự cảm thay đổi được Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có biểu thức u = U√2cos(ωt + φ) V trong

đó U và ω không thay đổi Điều chỉnh L để điện áp giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại thì giá trị cực đại đó là U√3 Tính hệ số công suất của đoạn mạch khi đó:

tanφRC = −1

√kL= −√2 tanφRL = xL

√kL =

3√2 2

Câu 6: Đặt điện áp u = 100√2cosωt vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở R, tụ điện, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được Biết hệ số công suất của đoạn mạch RC là 0,8 Khi L thay đổi ULmax bằng

= 1 1 0,82− 1 =

16

9 = xL− 1 → xL=

25 9

→ ULmax = U (tanφ +

1 tanφ)

√1 + tan2φ = 125(V)

Câu 7: Đặt điện áp u = Uocos100πt(V) (Uo và 𝜔 không đổi) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở

R = 120Ω, tụ điện có điện dung C = 1/9π(mF), cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được Điều chỉnh L = L1 thì điện áp hai đầu cuộn cảm đạt gía trị cực đại ULmax Giá trị nào của L sau đây thì UL= 0,99ULmax

UL= 0,99ULmax = 0,99U

URC= UL

tanφRLcosφRC=

UL√tan2φRC+ 1 tanφRL = 315,57

Câu 9: Cho đoạn mạch xoay chiều RLC mắc nối tiếp, giá trị của L có thể thay đổi được Biết điện

áp hiệu dụng giữa hai đầu mạch AB là u = 200√2cos100πt V Điện trở và dung kháng của tụ điện

là R = 120 Ω, ZC= 90 Ω Khi thay đổi L, thấy có hai giá trị của L để điện áp trên hai đầu cuộn cảm bằng 175√2 𝑉 Hai giá trị của L là

1 tan2φRL+ (1 +

tanφRCtanφRL)

4 7 1

tanφRL2=

68 175

→ ZL1= 210; ZL2 = 308,8 → L1 = 2,1/π L2 = 3,088/π

Câu 10: Cho đoạn mạch RLC có L thay đổi được Đặt vào 2 đầu đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều có tần số f Khi L = L1 = 2/π(H) hoặc L = L1 = 3/π(H) thì hiệu điện thế trên cuộn dây thuần cảm này là như nhau Muốn hiệu điện thế trên cuộn dây đạt cực đại thì L phải bằng bao nhiêu?

A. 2,4/π (H) B. 2,1/π (H) C. 3,6/π (H) D 4,2/π (H)

A. 12V B. 12√2(V) C. 8√3(V) D. 12√3(V)

Hướng dẫn:

 ZC= R√3 → kL= R2

ZC2 = 1 3

UL2) xL1xL2− 1 = 1

3 → U = 13,85

Câu 13: Cho đoạn mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, trong đó cuộn cảm thuần L có thể thay đổi độ tự cảm, điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có giá trị hiệu dụng U = 100V và tần số f không đổi Điều chỉnh L thì thấy, ứng với hai giá trị của cảm kháng ZL1 = 20Ω hoặc ZL2= 40Ω thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có cùng giá trị 100√2V Tính điện trở R

Câu 14: Mắc nối tiếp một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được với một điện trở R và

tụ điện C rồi đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp ổn định u = Uocos(ωt)(V) Khi L = L1= 1/π(H) thì cường độ hiệu dụng chạy trong mạch đạt cực đại, lúc đó công suất tiêu thụ của mạch điện P = 100(W) Khi L = L2 = 2/π(H) thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại bằng 200(𝑉) Giá trị của 𝜔 bằng:

A. 100π(rad/s) B. 75π(rad/s) C. 150π(rad/s) D. 200π(rad/s)

A 10−4/π(F); φ = −π/4(rad) B. 10−4/2π(F); φ = π(rad)

C. 10−4/2π(F); φ = −π/4(rad) D. 10−4/π(F); φ = π(rad)

Hướng dẫn:

 Ucosφ = URCcosφRCU→ cosφ = cosφRC=U=100V RC

 ULmax ↦ tanφ tanφRL = xL ↔ tanφ = −1

tanφRC → {

sinφ = cosφRC cosφ = −sinφRC

→ cosφ = cosφRC= −sinφRC→ φRC = −φ = −π/4

→ tanφRC= −ZC

R = −1 → ZC = R = 100Ω → C = 10−4/π(F)

Câu 16: Cho mạch RLC nối tiếp : Điện trở thuần R, L thay đổi được, tụ điện có điện dung C Điện

áp xoay chiều đặt vào 2 đầu mạch u = Uocos(ωt)(𝑉) Khi thay đổi độ tự cảm đến L1 = 1/π(H) thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch cực đại, lúc đó công suất của mạch bằng 200W Khi thay đổi L đến L2 = 2/π(H) thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm cực đại 200V Điện dung C có giá trị:

A. R  300  B. R  100/√3  C. R  200  D. R  100√3 

Câu 21: Mạch RLC có L thay đổi được, đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế u =

200√2cos100πt(V) Điều chỉnh L thì thấy rằng khi L = L1 = 1/π(H) và L = L2 = 3/π(H) thì đều cho công suất như nhau, nhưng cường độ tức thời trong hai trường hợp trên lệch pha nhau

2 (ZL1+ ZL2) = 200Ω cosφ1 = cosφ2 → φ1 = −φ2

A. 0,9/π(H) B. 0,6/π(H) C. 2/π(H) D. 1/2π(H)

Hướng dẫn: URLmax ↔ kL= xL(xL− 1) = LCω2(LCω2− 1) = R2C2ω2 → L = 0,9/π(H)

Câu 23: Cho mạch điện xoay chiều RLC có L biến thiên, biết C = 10−4/2π(F); R = 100√3  ;

u = 120√2cos (100πt + π/2) V Điều chỉnh L để điện áp hai đầu đoạn mạch gồm RL cực đại Giá trị cực đại của URL là

A. 1/2 B. √3/2 C. 1/√2 D. 2/√5

Hướng dẫn:

√1 − xL−1 = 2U → { k xL= 4/3

L= xL(xL− 1) = 4/9 1

cos2φ = 1 + tan2φ = 1 + (tanφRL+ tanφRC)2 = 1 + (

 P = PCH cos2φ = 120.9/10 = 108𝑊

Câu 26: Mạch điện xoay chiều xoay chiều gồm ba phần tử R, L, C mắc nối tiếp, R và C không đổi,

L thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức u =

U√2cos100πt(V) Khi L = Lo thì cường độ dòng điện trong mạch đạt cực đại Imax , tiếp tục thay đổi L thì thấy ứng với hai giá trị L = L1 = 4/π(H) hoăc L = L2 = 2/π(H) thì mạch điện có cùng giá trị hiệu dụng I1 = I2 =Imax

(n2− 1) → R = 100Ω

Câu 27: Mạch điện xoay chiều xoay chiều gồm ba phần tử R, L, C mắc nối tiếp, R và C không đổi,

L thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức u =

U√2cos100πt(V) Khi L = Lo thì cường độ dòng điện trong mạch đạt cực đại Imax , tiếp tục thay đổi L thì thấy ứng voứi hai giá trị L = L1 = 4/π(H) hoăc L = L2 = 2/π(H) thì mạch điện có cùng giá trị hiệu dụng I1 = I2 =Imax

√2 Với giá trị nào của L sau đây thì để ULmax:

A. 50Ω B. 150Ω C. 20Ω D. 100Ω

A. 8 10−5/π(F); 220√5(V) B. 2 10−5/π(F); 220√3(V)

C. 10−5/π(F); 400(V) D. 10−5/2π(F); 415(V)

√1 + tan2φ =

−UCtanφRC=

−U𝐶tanφ − tanφRL

→ UCmax = 491,93

Câu 31: Mạch RLC nối tiếp theo thứ tự gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L,

tụ điện có điện dung C thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u =

150√6cos(ωt)(V) (𝜔 không đổi) Điện áp trên đoạn mạch RL sớm pha hơn dong điện π/6 (rad) Điều chỉnh C để điện áp giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại UCmax Giá trị cực đại UCmax bằng

A. 90𝑜 B. 45𝑜 C. 135𝑜 D. 180𝑜

Hướng dẫn:

 P = PCHcos2φ = U2

R cos2φ =

(100√5)240

4 5

 P = PCHcos2φ = U

2

R cos2φ =

(100√5)240

4

5 = 1000W

Câu 34: Cho mạch điện RLC, với C thay đổi được Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch là u = 200√2cosωt(V) Khi C = Co thì điện áp hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại UCmax= 250V, khi đó mạch tiêu thụ công suất P = 120 W Tính giá trị của R

Câu 35: Cho mạch điện gồm cuộn dây có điện trở r = 40(Ω) và độ tự cảm L = 0,8(H) nối tiếp với

tụ điện có điện dung C thay đổi được Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế u =

100√10cos(100t)(V) Khi C = Co thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại Khi đó cường độ dòng điện I qua mạch là

A. 2,5(A) B. 2,5√5(A) C. 5(A) D. 5√5(A)

Câu 36: Cho mạch điện gồm cuộn dây có điện trở r = 70(Ω) và độ tự cảm L = 0,7 (H) nối tiếp với

tụ điện có điện dung C thay đổi được Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp u = 70cos(100t)(V) Khi C = Co thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại Khi đó độ lệch pha của điện áp giữa hai đầu cuộn dây so với điện áp u là:

Câu 37: Cho đoạn mạch xoay chiều gồm cuộn dây có điện trở thuần r, độ tự cảm L mắc nối tiếp với

tụ điện C có điện dung thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = 120√2cos(100  t + π/6) V và thay đổi điện dung của tụ điện sao cho điên áp hiệu dụng trên tụ đạt giá trị cực đại và thấy điện áp cực đại bằng 150V Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây khi đó là:

A. 120(𝑉) B. 150(𝑉) C. 30(𝑉) D. 90(𝑉)

 UCmax= U

√1 − xC−1

{U Cmax =150 U=120

→ {

xC = 2,778

kC = 1 tan2φrL= xC− 1

→ {

tanφrL= 0,75 tanφrC= −xC

= 9

16 → xC =

25 16

 UC= 0,98UCmax = 0,98U

→ tanφRC= −2,269; tanφRC = − 1

RCω → C = 4,4 10−5/π(F)

Câu 40: Đặt điện áp u = 120√2cos(100πt + π/6) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp theo thứ tự gồm cuộn dây thuần cảm, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C thay đổi được Điều chỉnh C để UC = UCmax/2 (biết UCmax = 200V) khi đó URL, URL gần với giá trị nào sau đây

URC= −UC

tanφRCcosφRC =

−UC√tan2φRC+ 1 tanφRC = 144,4V

Câu 41: Cho mạch điện RLC, Với C thay đổi được Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có dạng

u = U√2cosωt(V) Khi C = C1 = 10π−4(F) thì cường độ dòng điện i trễ pha π/4 so với u Khi C =

C2 = 102,5π−4(F) thì điện áp hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại Tính tần số góc 𝜔 Biết L = 2π(H)

Câu 42: Mạch điện xoay chiều RLC ghép nối tiếp trong đó cuộn dây dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1/π H, tụ điện có điện dung C thay đổi được Mắc mạch vào mạng điện xoay chiều, tần số

f = 50 Hz Khi thay đổi C thì ứng với hai giá trị của C = C1 = 10−4/π(F) hay C = C2 =

10−4/3π(F) thì hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện bằng nhau Tính giá trị của R?

C1 + C 12

→ C = C1+ C2

2

Câu 44: Đặt điện áp xoay chiều u = U√2cos(100πt) V vào đoạn mạch RLC Biết R = 100√2  ,

tụ điện có điện dung thay đổi được Khi điện dung tụ điện lần lượt là C1 = 25/π (μF) và C2 = 125/3π (μF) thì điện áp hiệu dụng trên tụ có cùng giá trị Để điện áp hiệu dụng trên điện trở R đạt cực đại thì giá trị của C là

A. 70Ω B. 90Ω C. 100Ω D. 150Ω

Hướng dẫn:

Câu 46: Cho đoạn mạch RLC nối tiếp, C thay đổi được Khi C = C1 = 2 10−4/π(F) và C = C2 =

10−4/1,5π(F) thì công suất của mạch có giá trị như nhau Hỏi với giá trị nào của C thì công suất trong mạch cực đại?

Câu 49: Đặt điện áp xoay chiều ổn định 150V − 50Hz vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm cuộn cảm có cảm kháng 150Ω, điện trở 100Ω và tụ điện có điện dung C thay đổi Thay đổi C

để điện áp trên đoạn RC đạt cực đại Dung kháng của tụ khi đó là

Câu 52: Đặt điện áp xoay chiều u = Uocos(100πt + φ) V vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp

Tụ điện có điện dung C thay đổi được Khi C = C1 thì 𝑈𝑅𝐶 đạt cực đại Khi C = 𝐶2 = 𝐶1

3 thì 𝑈𝐶 cực đại Tỉ số R/ZL gần giá trị nào sau đây nhất ?

ZL= √kC = 3,193

Câu 53: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = 200 2cos100πt V Khi C = C1 = 10−4/4π(F) và và C = C2 = 10−4/2π(F) thì mạch có cùng công suất P = 200 W Giá trị của R là

Câu 55: Mạch điện xoay chiều RLC ghép nối tiếp trong đó cuộn dây dây thuần cảm có độ tự

cảm L = 1/π H, tụ điện có điện dung C thay đổi được Mắc mạch vào mạng điện xoay chiều, tần số

f = 50 Hz Khi thay đổi C thì ứng với hai giá trị của C = C1 = 10−4/π(F) hay C = C2 =

10−4/3π(F) thì hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện bằng nhau Tính giá trị của R?

A. 50√2Ω B. 80Ω C. 100Ω D. 120Ω