Bài tập Giải tích 12 - Ôn thi tốt nghiệp THPT & Đại học

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số: a y =... Khảo sát hàm số.[r]

TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š BAØI TAÄP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Naêm 2010 Lop12.net Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực các bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y¢ Tìm các điểm mà đó y¢ = y¢ không tồn (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Baøi Xét chiều biến thiên các hàm số sau: x2 +x4 a) y = - x + x + b) y = d) y = x - x + x - e) y = (4 - x )( x - 1)2 f) y = x - x + x - i) y = g) y = x - 2x2 - h) y = - x - x + k) y = 2x -1 x+5 l) y = n) y = x + x + 26 x +2 o) y = - x + - x -1 2- x Trang Lop12.net c) y = x - x + x + x -2 10 10 m) y = 1 1- x p) y = 1- x x - 15 x + 3x Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a) y = -6 x + x - x - d) y = 2x -1 x b) y = e) y = x2 -1 x2 - x x - 3x + h) y = x - x g) y = x - - - x æ p pö <x< ÷ è 2ø k) y = sin x ç - c) y = x2 - x + x2 + x + f) y = x + + 2 - x i) y = x - x æ p pö l) y = sin x - x ç - < x < ÷ è 2ø VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định) Cho hàm số y = f ( x , m ) , m là tham số, có tập xác định D · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D Từ đó suy điều kiện m Chú ý: 1) y¢ = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' = ax + bx + c thì: é ìa = b = ê íc ³ · y ' ³ 0, "x Î R Û ê î ê ìía > êë îD £ é ìa = b = ê íc £ · y ' £ 0, "x Î R Û ê î ê ìía < êë îD £ 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c : · Nếu D < thì g(x) luôn cùng dấu với a b ) 2a · Nếu D > thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a · Nếu D = thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = - 4) So sánh các nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ìD > ï · x1 < x2 < Û í P > ïîS < ìD > ï · < x1 < x2 Û í P > ïîS > · x1 < < x2 Û P < 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d thì ta thực các bước sau: · Tính y¢ · Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: ìa ¹ íD > î (1) · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - x1 x2 = d Trang Lop12.net (2) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Baøi Chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + x + 13 b) y = x3 - 3x + x + c) y = 2x -1 x+2 x2 + x - x - 2mx - e) y = x - sin(3 x + 1) f) y = d) y = x +1 x-m Baøi Chứng minh các hàm số sau luôn nghịch biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = -5 x + cot( x - 1) b) y = cos x - x c) y = sin x - cos x - 2 x Baøi Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x - 3mx + (m + 2) x - m b) y = mx + d) y = x+m Baøi Tìm m để hàm số: x mx - 2x +1 x - 2mx - e) y = x-m c) y = x+m x -m x - 2mx + 3m f) y = x - 2m a) y = x + x + mx + m nghịch biến trên khoảng có độ dài b) y = x - mx + mx - 3m + nghịch biến trên khoảng có độ dài 3 c) y = - x + (m - 1) x + (m + 3) x - đồng biến trên khoảng có độ dài Baøi Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x - (m + 1) x + đồng biến trên khoảng (1; +¥) b) y = x - 3(2m + 1) x + (12 m + 5) x + đồng biến trên khoảng (2; +¥) c) y = mx + x + m2 (m ¹ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +¥) d) y = x+m đồng biến khoảng (–1; +¥) x -m e) y = x - 2mx + 3m đồng biến trên khoảng (1; +¥) x - 2m f) y = -2 x - x + m nghịch biến trên khoảng 2x +1 æ ö ç - ; +¥ ÷ è ø Trang Lop12.net Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực các bước sau: · Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc <, ³, £ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định đề bài định · Xét dấu f¢ (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến · Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h¢ (x) … nào xét dấu thì thôi 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) < f(b) Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a; b) Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) x - x3 < sin x < x , với x > b) p sin x + tan x > x , với < x < 3 p p d) sin x + tan x > x , với < x < 2 Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) x < tan x, với < x < a) tan a a p < , với < a < b < tan b b b) a - sin a < b - sin b, với < a < b < p p Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) a - tan a < b - tan b, với < a < b < a) sin x > 2x p , với < x < p b) x - x3 x3 x5 < sin x < x - + , với x > 6 120 p Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) x sin x + cos x > 1, với < x < a) e x > + x , với x > b) ln(1 + x ) < x , với x > ( ) d) + x ln x + + x ³ + x , với x > 1+ x Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: c) ln(1 + x ) - ln x > a) tan 550 > 1, b) < sin 20 < 20 HD: a) tan 550 = tan(450 + 10 ) Xét hàm số f ( x ) = c) log > log3 1+ x 1- x b) Xét hàm số f ( x ) = x - x æ 1ö f(x) đồng biến khoảng ç - ; ÷ và ,sin 200 , Î è 2ø 20 c) Xét hàm số f ( x ) = log x ( x + 1) với x > Trang Lop12.net æ 1ö ç- ; ÷ è 2ø Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực các bước sau: · Chọn nghiệm x0 phương trình · Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến Khi đó (C1) và (C2) giao điểm có hoành độ x0 Đó chính là nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số là hàm y = C thì kết luận trên đúng Baøi Giải các phương trình sau: a) x + x-5 = b) x + x - - x + = c) x + x - + x + + x + 16 = 14 d) x + 15 = x - + x + Baøi Giải các phương trình sau: a) x +1 + x + + x + = b) ln( x - 4) = - x c) x + x = x Baøi Giải các bất phương trình sau: a) d) x + x + x = 38 x + + x - + x - + 13 x - < b) x + x + x + + x + x < 35 Baøi Giải các hệ phương trình sau: ì2 x + = y + y + y ï a) í2 y + = z3 + z2 + z ï2 z + = x + x + x î ì x = y3 + y2 + y - ï b) í y = z3 + z2 + z - ïz = x + x + x - î ì y = x - 12 x + ï c) íz = y - 12 y + ï x = z2 - 12 z + î ìtan x - tan y = y - x ï 5p d) ï2 x + 3y = í ï p p ï- < x , y < î 2 ìsin x - sin y = x - 3y ïï p e) í x + y = ï ïî x, y > ìsin x - y = sin y - x f) ïï2 x + 3y = p í ï0 < x, y < p ïî ìcot x - cot y = x - y ï g) í5 x + y = 2p ïî0 < x , y < p h) HD: a, b) Xét hàm số f (t ) = t + t + t c) Xét hàm số f (t ) = 6t - 12t + d) Xét hàm số f(t) = tant + t Trang Lop12.net Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Î D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) cho f(x) < f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0} Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) cho f(x) > f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0} Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 là điểm cực trị f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 và đạt cực trị điểm đó thì f¢ (x0) = Chú ý: Hàm số f có thể đạt cực trị điểm mà đó đạo hàm không có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 thì f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 thì f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = và có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f¢¢ (x0) < thì f đạt cực đại x0 b) Nếu f¢¢ (x0) > thì f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí · Tìm f¢ (x) · Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà đó đạo hàm không có đạo hàm · Xét dấu f¢ (x) Nếu f¢ (x) đổi dấu x qua xi thì hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí · Tính f¢ (x) · Giải phương trình f¢ (x) = tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …) · Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f¢¢ (xi) < thì hàm số đạt cực đại xi Nếu f¢¢ (xi) > thì hàm số đạt cực tiểu xi Trang Lop12.net Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Baøi Tìm cực trị các hàm số sau: a) y = x - x b) y = x - x + x - x4 - x2 + e) y = x - x + - x2 + 3x + 3x + x + g) y = h) y = x+2 x +1 Baøi Tìm cực trị các hàm số sau: d) y = 4x2 + 2x -1 a) y = ( x - 2)3 ( x + 1)4 b) y = d) y = x x - e) y = x - x + 2x2 + x - c) y = - x + x - 15 x x4 f) y = + x2 + 2 x - x - 15 i) y = x -3 c) y = 3x + x + x2 + x + f) y = x + x - x Baøi Tìm cực trị các hàm số sau: 3 x2 2x +1 a) y = x + b) y = d) y = x - x + + ln x e) y = x - 4sin x c) y = e x + 4e - x f) y = x - ln(1 + x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f¢ (x0) = x0 không có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f¢ (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: · Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị Û Phương trình y¢ = có hai nghiệm phân biệt Khi đó x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx0 + cx0 + d + y ( x0 ) = Ax0 + B , đó Ax + B là phần dư phép chia y cho y¢ ax + bx + c P( x ) · Hàm số y = = (aa¢¹ 0) có cực trị Û Phương trình y¢ = có hai a' x + b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác - a' Khi đó x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x ) y ( x0 ) = y ( x0 ) = Q ( x0 ) Q '( x ) · Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai · Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, là định lí Vi–et Baøi Chứng minh các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) y = x - 3mx + 3(m2 - 1) x - m b) y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + x + m(m - 1) x - m + c) y = x-m x + mx - m + d) y = x - m +1 Trang Lop12.net Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi Tìm m để hàm số: a) y = (m + 2) x + x + mx - có cực đại, cực tiểu b) y = x - 3(m - 1) x + (2 m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x - 3mx + (m - 1) x + đạt cực đại x = d) y = - mx + 2(m - 2) x + m - có cực đại x = 2 x - 2mx + e) y = đạt cực tiểu x = x-m x - (m + 1) x - m + 4m - f) y = có cực đại, cực tiểu x -1 x2 - x + m g) y = có giá trị cực đại x -1 Baøi Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: a) y = x - x + 3mx + 3m + - x + mx + c) y = x -3 Baøi Tìm a, b, c, d để hàm số: b) y = mx + 3mx - (m - 1) x - x - (m + 1) x - m + 4m - d) y = x -1 a) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = và đạt cực đại x = 27 b) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O và đạt cực trị –9 x = x + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x -1 ax + bx + ab d) y = đạt cực trị x = và x = bx + a ax + x + b đạt cực đại x = e) y = x2 + Baøi Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x + 2(m - 1) x + (m - m + 1) x - 2(m2 + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x - mx + mx - đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 - x2 ³ 1 c) y = mx - (m - 1) x + 3(m - 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 3 x1 + x2 = b) y = Baøi Tìm m để hàm số : x + mx - m + có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu x - m +1 x - (m + 1) x - m + 4m - b) y = có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực x -1 a) y = Trang Lop12.net Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số tiểu đạt giá trị nhỏ -x2 + 3x + m có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M - m = x-4 x2 + 3x + m - d) y = có yCÑ - yCT < 12 x+2 Baøi Tìm m để đồ thị hàm số : c) y = 900m a) y = - x + mx - có hai điểm cực trị là A, B và AB = 729 2 b) y = x - mx + x + m có điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x + mx + m - có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh x-m hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng phía trục hoành c) y = x + mx có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1- x - x + mx + e) y = có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường x -1 thẳng y = 2x d) y = x2 + 2x + m + có hai điểm cực trị và khoảng cách chúng nhỏ x-m Baøi Tìm m để đồ thị hàm số : f) y = a) y = x + mx - 12 x - 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x - 3mx + 4m có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x - 3mx + 4m có các điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x - y + = x + (2m + 1) x + m + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng x +1 (d): x - 3y - = d) y = Baøi Tìm m để đồ thị hàm số : x - (m + 1) x + m - a) y = có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x-m phẳng toạ độ mx + (4m + 1) x + 32 m2 + 2m b) y = có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x + 2m hai và điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ mx - (m + 1) x + 4m + m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ và x-m điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ c) y = d) y = x + (2m + 1) x + m + có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành (tung) x +1 Trang Lop12.net Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d · Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B · Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: ì y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B í y = f x = Ax + B ( 2) î 2 Þ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B P( x ) ax + bx + c 2) Hàm số phân thức y = f ( x ) = = Q( x ) dx + e P '( x0 ) · Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 = Q '( x0 ) · Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực P '( x ) 2ax + b trị là: y = = Q '( x ) d Baøi Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y = x - x - x + b) y = x - x c) y = x - x - x + 2x2 - x +1 x2 - x - e) y = x+3 x-2 Baøi Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: d) y = a) y = x - 3mx + 3(m2 - 1) x - m x + mx - x-m x + mx - m + d) y = x - m +1 b) y = c) y = x - 3(m - 1) x + (2m - 3m + 2) x - m(m - 1) Baøi Tìm m để hàm số: a) y = x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x - có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + b) y = x + 3(m - 1) x + m(1 - 2m ) x có các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x c) y = x + mx + x + có đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – d) y = x - x + m x + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (D): y = x- 2 Trang 10 Lop12.net Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R) ì f ( x ) £ M , "x Î D a) M = max f ( x ) Û í D î$ x Î D : f ( x ) = M ì f ( x ) ³ m, "x Î D b) m = f ( x ) Û í D î$x0 Î D : f ( x0 ) = m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x ) = f (b), f ( x ) = f (a) [ a;b ] [ a;b ] b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max f ( x ) = f (a), f ( x ) = f (b) [ a;b ] [ a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số trên khoảng · Tính f¢ (x) · Xét dấu f¢ (x) và lập bảng biến thiên · Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục trên đoạn [a; b] · Tính f¢ (x) · Giải phương trình f¢ (x) = tìm các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có) · Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) · So sánh các giá trị vừa tính và kết luận M = max f ( x ) = max { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [a;b] m = f ( x) = { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a;b] Baøi Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: a) y = x + x + b) y = x - x d) y = x + x - e) y = x -1 x2 - x + x2 - x + 1 ( x > 0) h) y = x x2 + x + Baøi Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: g) y = x + c) y = x + x - f) y = i) y = x2 + x + x2 + x4 + x2 +1 x3 + x a) y = x + x - 12 x + trên [–1; 5] b) y = x - x trên [–2; 3] c) y = x - x + trên [–3; 2] d) y = x - x + trên [–2; 2] 3x - trên [0; 2] x -3 x2 + 7x + g) y = trên [0; 2] x+2 x -1 trên [0; 4] x +1 - x + x2 h) y = trên [0; 1] + x - x2 e) y = f) y = Trang 11 Lop12.net ( x > 0) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng i) y = 100 - x trên [–6; 8] k) y = + x + - x Baøi Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: sin x - 1 a) y = b) y = c) y = 2sin x - cos x + sin x + cos x + cos x + e) y = sin x + cos3 x d) y = cos x - 2sin x - g) y = x - x + + x - x + f) y = x2 -1 x4 - x2 +1 h) y = - x + x + x - x + VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số · Chứng minh bất đẳng thức · Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Baøi Giả sử D = {( x; y; z) / x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} Tìm giá trị lớn biểu x y z + + x +1 y +1 z +1 æ 1 ö HD: P = - ç + + ÷ è x +1 y +1 z +1ø thức: P= æ 1 ö Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [( x + 1) + ( y + 1) + ( z = 1)] ç + + ÷³9 è x +1 y +1 z +1ø 3 Þ P £ Dấu “=” xảy Û x = y = z = Vậy P = D 4 ì 5ü Baøi Cho D = í( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y = ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức: î 4þ S= + x 4y æ1 1 1 ö æ4 ö HD: ( x + x + x + x + y ) ç + + + + ÷ ³ 25 Û 4( x + y ) ç + ÷ ³ 25 è x x x x 4y ø è x 4y ø Vậy minS = Baøi Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y < 1} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Þ S ³ Dấu “=” xảy Û x = 1, y = P= x2 y2 + +x+y+ 1- x 1- y x+y x2 y2 1 1 + (1 + y ) + + -2 = + + -2 1- x 1- y x + y 1- x 1- y x + y æ 1 ö Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [(1 - x ) + (1 - y ) + ( x + y )] ç + + ÷³9 è 1- x 1- y x + y ø HD: P = (1 + x ) + Û 1 + + ³ 1- x 1- y x + y Trang 12 Lop12.net Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 5 Dấu “=” xảy Û x = y = Vậy minP = Baøi Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y ³ 4} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ÞP³ x + + y2 P= + 4x y2 HD: P = æ y yö x+y x + + 2ç + + ÷ + x 8ø èy Theo bất đẳng thức Cô–si: y ÞP³ + (1) x x + ³ =1 x x (2) y y y y + ³ 33 = 8 y2 8 (3) 9 Dấu “=” xảy Û x = y = Vậy minP = 2 VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) trên miền D cho trước Gọi y0 là giá trị tuỳ ý f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: ì f ( x ) = y0 (1) í (2) îx Î D Tuỳ theo dạng hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m £ y0 £ M (3) Vì y0 là giá trị bất kì f(x) nên từ (3) ta suy được: f ( x ) = m; max f ( x ) = M D D Baøi Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: a) y = x2 + x + x2 - x + 2sin x + cos x + d) y = cos x - sin x + b) y = x + x + 23 c) y = x + x + 10 2sin x + cos x + sin x - cos x + VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và có f ( x ) = m; max f ( x ) = M Khi đó: D ì f ( x) = a 1) Hệ phương trình í có nghiệm Û m £ a £ M îx Î D ì f ( x) ³ a 2) Hệ bất phương trình í có nghiệm Û M ³ a îx Î D ì f ( x) £ b 3) Hệ bất phương trình í có nghiệm Û m £ b îx Î D 4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với x Û m ³ a 5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với x Û M £ b Trang 13 Lop12.net D Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi Giải các phương trình sau: a) x -2 + 4- x = c) x + (1 - x )5 = b) x + x = x + Baøi Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x + x + = m b) 16 - x + + x - (2 - x )(2 + x ) = m + x + - x - (3 + x )(6 - x ) = m d) - x + + x - (7 - x )(2 + x ) = m Baøi Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với x Î R: c) a) x + x + > m b) m x + < x + m c) mx - x + m ³ Baøi Cho bất phương trình: x - x + x - + m < a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2] Baøi Tìm m để các bất phương trình sau: a) mx - x - £ m + có nghiệm b) (m + 2) x - m ³ x + có nghiệm x Î [0; 2] c) m( x - x + 1) £ x + x + nghiệm đúng với x Î [0; 1] Trang 14 Lop12.net Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: Điểm U ( x0 ; f ( x0 ) ) đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho trên hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Tính chất: · Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng chứa điểm x0, f¢¢(x0) = và f¢¢(x) đổi dấu x qua x0 thì U ( x0 ; f ( x0 ) ) là điểm uốn đồ thị hàm số · Đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) luôn có điểm uốn và đó là tâm đối xứng đồ thị Baøi Tìm điểm uốn đồ thị các hàm số sau: a) y = x - x + x + b) y = x - x - x + c) y = x - x + x4 - 2x2 + e) y = x - 12 x + 48 x + 10 f) y = x - x + x - Baøi Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra: d) y = x3 + (m - 1) x + (m + 3) x - ; I(1; 3) 3 æ2 ö d) y = x - mx + nx - ; I ç ; -3 ÷ è3 ø a) y = x - x + 3mx + 3m + ; I(1; 2) b) y = c) y = mx + nx + ; I(1; 4) x3 e) y = - + 3mx - ; I(1; 0) f) y = mx + 3mx + ; I(–1; 2) m Baøi Tìm m để đồ thị các hàm số sau có điểm uốn: x5 4 x + mx - - x + (4m + 3) x3 + x - b) y = x2 + Baøi Chứng minh đồ thị các hàm số sau có điểm uốn thẳng hàng: a) y = a) y = d) y = g) y = 2x +1 x2 + x + 2x +1 x2 + x - 3x b) y = e) y = x +1 x2 + x x2 + x2 + 3x h) y = x2 - 3x + x2 + Baøi Tìm m, n để đồ thị các hàm số: c) y = f) y = i) y = x - 3x x2 + x2 + x + x2 - x +1 x3 x2 - x + a) y = x - x - x + mx + m - có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) x3 - x + mx + có điểm uốn trên đường thẳng y = x + 3 c) y = - x + mx + n có điểm uốn trên Ox b) y = - Trang 15 Lop12.net Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: · Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim + f ( x ) = +¥ ; lim + f ( x ) = -¥ ; lim - f ( x ) = +¥ ; lim - f ( x ) = -¥ x® x0 x® x0 x® x0 x® x0 · Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) = y0 ; lim f ( x ) = y0 x ®+¥ x ®-¥ · Đường thẳng y = ax + b, a ¹ đgl đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim x ®+¥ [ f ( x ) - (ax + b)] = ; lim x ®-¥ [ f ( x ) - (ax + b)] = Chú ý: a) Nếu y = f ( x ) = P( x ) là hàm số phân thức hữu tỷ Q( x ) · Nếu Q(x) = có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 · Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang · Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + thì đồ thị có tiệm cận xiên b) Để xác định các hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: f ( x) ; a = lim b = lim [ f ( x ) - ax ] x ®+¥ x x ®+¥ a = lim x ®-¥ f ( x) ; x b = lim x ®-¥ [ f ( x ) - ax ] Baøi Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: 2x - 10 x + b) y = x -1 1- 2x x - 4x + ( x - 2)2 d) y = e) y = x +1 1- x Baøi Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: a) y = a) y = d) y = x x2 - x + x2 + 3x + b) y = 2+x - x2 x3 + x + e) y = x2 + x + x2 + Baøi Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: 4x + a) y = x - x b) y = x2 - Trang 16 Lop12.net 2x + 2- x 7x2 + x + f) y = - 3x c) y = c) y = f) y = c) y = x2 + x + x2 - x4 - x + x3 - 1 x2 - 4x + Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số x -1 e) y = x - x x +1 Baøi Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: d) y = x f) y = x - 3x + x-2 e x - e- x c) y = ln( x - x + 6) x 2 -1 Baøi Tìm m để đồ thị các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: a) y = a) y = d) y = 2x + b) y = ln x + 2(2 m + 3) x + m - x -3 b) y = + x2 x + 2(m + 1) x + x -1 c) y = x +3 x + x +m-2 e) y = f) y = x + mx + m - x + 2(m + 2) x + m + x + 2(m - 1) x + m2 - Baøi Tìm m để đồ thị các hàm số sau có tiệm cận xiên: x + (3m + 2) x + m - mx + (2 m + 1) x + m + a) y = b) y = x+5 x+2 Baøi Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ: 3x2 + x + -3 x + x - x2 + x - b) y = c) y = a) y = x -1 x+2 x -3 Baøi Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ tam giác có diện tích S đã ra: x + (2m - 1) x - m + x + mx - y a) y = ;S=8 b) = ;S=8 x +1 x -1 x + 2(2 m + 1) x + 4m - x + mx - c) y = ; S = 16 d) y = ;S=4 x +1 x -1 Baøi Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm bất kì trên đồ thị các hàm số đến hai tiệm cận số: a) y = x2 - x + x -1 b) y = x2 + 5x - x +3 Trang 17 Lop12.net c) y = x2 + x - x -3 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số · Tìm tập xác định hàm số · Xét biến thiên hàm số: + Tính y¢ + Tìm các điểm đó đạo hàm y¢ không xác định + Tìm các giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số · Vẽ đồ thị hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương) – Tính y¢¢ – Tìm các điểm đó y¢¢ = và xét dấu y¢¢ + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) : · Tập xác định D = R · Đồ thị luôn có điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng · Các dạng đồ thị: a>0 y’ = có nghiệm phân biệt y Û ’ = b2 – 3ac > a<0 y I x I x y’ = có nghiệm kép Û ’ = b2 – 3ac = y’ = vô nghiệm Û ’ = b2 – 3ac < y y I Hàm số trùng phương y = ax + bx + c (a ¹ 0) : Trang 18 Lop12.net I x x Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · Tập xác định D = R · Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng · Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y y y’ = có nghiệm phân biệt Û ab < 0 x x x y y’ = có nghiệm Û ab > 0 y x ax + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) : cx + d ì dü · Tập xác định D = R \ í- ý î cþ Hàm số biến y = d a và tiệm cận ngang là y = Giao điểm c c hai tiệm cận là tâm đối xứng đồ thị hàm số · Các dạng đồ thị: · Đồ thị có tiệm cận đứng là x = - y y 0 x ad – bc > x ad – bc < ax + bx + c (a.a ' ¹ 0, tử không chia hết cho mẫu) : a' x + b' ì b'ü · Tập xác định D = R \ í- ý î a'þ Hàm số hữu tỷ y = · Đồ thị có tiệm cận đứng là x = - b' và tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm a' cận là tâm đối xứng đồ thị hàm số · Các dạng đồ thị: a.a¢ > Trang 19 Lop12.net a.a¢ <