Hệ thống bài tập giải tích 12 (ôn thi ĐH) phần 1

H thng bi tp gii tớch 12 (Phn 1) Đạo hàm I) Định nghĩa đạo hàm: Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x 0 đã chỉ ra: a) y = x 2 + x x 0 = 2 b) y = x 1 x 0 = 2 c) y = 1 1 + x x x 0 = 0 Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x R) a) y = x - x b) y = x 3 - x + 2 c) y = x 3 + 2x c) y = 1 12 x x Bài3: Tính f'(8) biết f(x) = 3 x Bài4: Cho đờng cong y = x 3 . Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết: a) Tiếp điểm là A(-1; -1). b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2. c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5. d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = - 12 x + 1 Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2) (x + 2004). Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000) II) các phép tính đạo hàm: Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = ( ) 43 2 + xx ( ) 352 23 + xxx 2) y = ( ) ( ) ( )( ) 45342312 ++++ xxxx 3) y = ( ) ( ) 3 2 23 12133 ++ xxxx 4) y = ( ) ( ) ( ) 3 2 44 342312 ++++ xxxx 5) y = ( ) ( ) ( ) 432 321 +++ xxx 6) y = 43 652 2 + + x xx 7) y = 1 3 3 ++ xx xx 8) y = ( ) 1 1 2 3 + + xx x 1 9) y = 44 1 1 1 12       − + +       − + x x x x 10) y = 2 2 2 2 1 1 1 1 xx xx xx xx ++ −+ + −+ ++ 11) y = ( ) 3 32 321 xxx +++ 12) y = 3 3 1 1 x x − + 13) y = 6 4 53 62 31 −− −− xx xx 14) y = xcosxsin xcosxsin + − 15) y = ( ) [ ] xsinsinsin 16) y = ( ) x excos x xsin x −       + − − 2 1 2 1 2 2 17) y =       +++       +− 3 2 2 3 2 11311 2 3 xlnx Bµi2: TÝnh c¸c ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau: 1) y = xln x 2) y = xcos xsin 3) y = x x 2 2 1       + 4) y = x xx xxx xxx ++ 5) y = 7 5 4 3 54 231 −− +++ xx xxx III) ®¹o hµm mét phÝa vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i ®¹o hµm: Bµi1: Cho f(x) = x x +1 . TÝnh f'(0) Bµi2: Cho f(x) = 2+xx . TÝnh f'(0) Bµi3: Cho f(x) =      = ≠ − 0x nÕu 0 0x nÕu x xcos1 1) XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x) t¹i x = 0. 2) XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x) t¹i x = 0. Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 13 32 2 − +− x xx . Chøng minh r»ng f(x) liªn tôc t¹i x = -3 nhng kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x = -3. Bµi5: Cho f(x) = ( )      ≤+ >+ − 0x nÕu 1ax-x- 0x nÕu ex 2 x 1 . T×m a ®Ó ∃f'(0) Bµi6: Cho f(x) =    >++ ≤− 01 0 x nÕu bax x nÕu xsinbxcosa 2 IV) đạo hàm cấp cao: Bài1: Cho f(x) = 12 23 2 2 + + xx xx . Tính: f (n) (x) Bài2: Cho f(x) = 6116 843 23 2 + + xxx xx . Tính: f (n) (x) Bài3: Cho f(x) = 107 942 24 23 + + xx xxx . Tính: f (n) (x) Bài4: Cho f(x) = 189 1153 24 2 + xx xx . Tính: f (n) (x) Bài5: Cho f(x) = cosx. Tính: f (n) (x) Bài6: Cho f(x) = cos(ax + b). Tính: f (n) (x) Bài7: Cho f(x) = x.e x . Tính: f (n) (x) Bài8: Cho f(x) = xlnx 3 . Tính: f (n) (x) Bài9: Cho f(x) = ( ) baxln + . Tính: f (n) (x) V) đẳng thức, ph ơng trình, bất ph ơng trình với các phép toán đạo hàm: Bài1: Cho y = x ln +1 1 . CMR: xy' + 1 = e y Bài2: Cho y = xsine x . CMR: y'' + 2y' + 2y = 0 Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x 2 y" = 0 Bài4: Cho f(x) = sin 3 2x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x) Bài5: Cho f(x) = 12 5 2 1 +x ; g(x) = 545 lnx x + . Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x) Bài6: Cho y = 11 22 22 2 +++++ xxlnx xx CMR: 2y = xy' + lny' IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn: Tìm các giới hạn sau: 1) A = x xxx lim x 3 3 3 2 0 11 +++ 2) 2 0 2 3 x xcos lim x x 3) 2 3 0 2121 x xx lim x ++ 4) xx xsinx lim x + ++ 243 121 0 Khảo sát hàm số và các ứng dụng 3 I) Tính đơn điệu của hàm số: 1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu: Bài1: Tìm m để hàm số: y = x 3 + 3x 2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1) Bài2: Tìm m để hàm số: y = x 3 - 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên (- ; -1] [2; + ) Bài3: Tìm m để hàm số: y = ( ) ( ) mxmxm mx +++ 112 3 2 3 đồng biến trên (- ; 0) [2; + ) Bài4: Tìm m để hàm số: y = ( ) xmmxx m 23 3 1 23 ++ đồng biến trên R Bài5: Tìm m để hàm số: y = x 3 - 3(m - 1)x 2 + 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng thoả mãn: 1 x 2 2) Ph ơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số: Bài1: Cho phơng trình: x 2 - (m + 2)x + 5m + 1 = 0 1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 1. 2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 4. 3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x < 2. 4) Tìm m để phơng trình có nghiệm (-1; 1). Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x 2 - (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm (0;1) Bài3: Tìm m để phơng trình: ( ) 048369 222 222 =+ xxxxxx m.m có nghiệm thoả mãn: x 2 1 Bài4: Tìm m để phơng trình: ( ) ( ) xxxx +++ 6363 = m có nghiệm Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm x 2 3 2 ; Bài6: Tìm m để phơng trình: 0121 2 3 2 3 =++ mxlogxlog có ít nhất một nghiệm x [ ] 3 31; Bài7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm: 1) ( ) ( ) ( ) 2321 2 =+ mxxxx 2) ( ) 01242 234 =+++ mxxmmxx Bài8: Tìm a để: 12 12 13 2 = x x x + ax có nghiệm duy nhất 4 Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x 2 + 4x + 6) m nghiệm đúng với x Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4 ( ) ( ) xx + 24 x 2 - 2x + a - 18 nghiệm đúng với x [-2; 4] Bài11: Tìm m để: ( ) mm xx xsin xcos 22 2 1 1 33 2 2 1 2 ++ + + < 0 x Bài12: Tìm m để ( ) xxxxxx m.m ++ 222 222 46129 0 nghiệm đúng với x thoả mãn: 2 1 x Bài13: Tìm m để bất phơng trình: 3 xmx m + 1 có nghiệm 3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng trình, hệ bất ph ơng trình: Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau: 1) 4259 +>+ xx 2) ( ) 75155 2 3 2 2 ++ ++ xxlogxxlog 2 Bài2: Giải hệ bất phơng trình: >+ <+ 013 0123 3 2 xx xx Bài3: Giải hệ bất phơng trình: ( ) >++ < 0953 3 1 0 23 2 2 2 2 xxx xlogxlog Bài4: Giải hệ phơng trình: ++= ++= ++= 2 2 2 23 23 23 xxxz zzzx yyyx 4) Chứng minh bất đẳng thức: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 242 1 2 1 422 xx xcos x +<< x > 0 2) !n x x xe n x ++++> 2 1 2 x > 0; n N * 3) 1 - x x e 1 - x + 2 2 x x [0; 1] 5 4) 1 - x x e x + 1 2 1 - x + ( ) x x +12 4 x [0; 1] 5) ( ) 2 1 2 x xxln >+ x > 0 6) x x xln 1 < x > 1 II) cực trị và các ứng dụng: Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây: 1) y = x 3 + 4x2) y = 2 54 2 + ++ x xx 3) y = 2 xx ee + 4) y = x 3 (1 - x) 2 Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a) 1) y = x 3 - 2ax 2 + a 2 x 2) y = x - 1 + 1x a Bài3: Chứng minh rằng hàm số: y = 2 2 2 2 + ++ x mxx luôn có một cực đại và một cực tiểu với mọi m. giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số: 1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin 4 x + cos 4 x + sinxcosx + 1 3) y = 5cosx - cos5x với x 44 ; 4) y = xcosxsin xcosxsin 44 66 1 1 ++ ++ Bài2: Cho phơng trình: 12x 2 - 6mx + m 2 - 4 + 2 12 m = 0 Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S = 3 2 3 1 xx + Bài3: Cho a.b 0. Tìm Min của: y = a b b a a b b a a b b a ++ ++ 2 2 2 2 4 4 4 4 Bài4: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Max, Min của: S = 11 + + + x y y x Bài5: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Min của: S = y y x x + 11 Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin 6 x + cos 6 x + asinx.cosx IV) tiệp cận: Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số: 6 1) y = 12 23 2 2 + ++ xx xx 2) y = 1 1 2 3 + ++ x xx 3) y = x x 2 4) y = 2 9 2 x x + 5) y = ( ) ( ) 2 2 12 x xx 6) y = 1 2 +x Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luận theo tham số m) 1) y = 1 4 2 2 + mxx x 2) y = 32 2 2 + + mxx x Bài3: Cho (C): y = ( ) 2 312 2 ++++ x axaax , a -1; a 0. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (C) luôn đi qua một điểm cố định Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) = 1 232 2 + x xx 1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi. 2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. V) Khảo sát và vẽ đồ thị: Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1) y = 2x 3 + 3x 2 - 1 2) y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 3) y = x 3 - 3x 2 - 6x + 8 4) y = -x 3 + 3x 2 - 4x + 3 5) y = - 3 3 x - x 2 + 3x - 4 Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1) y = x 4 - 2x 2 2) y = -x 4 + 2x 2 - 1 3) y = x 4 + 10 3 x 2 + 1 4) y = 2 4 x - x 2 + 1 Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1) y = 1 42 + x x 2) y = 3 12 + x x Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1) y = 2 33 2 + ++ x xx 2) y = 1 2 x x 3) y = 1 2 2 + + x xx 4) y = 12 136 2 + ++ x xx Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1) y = 3 5 3 1 4 1 234 + xxx 2) y = 54 1182 2 + + 2 xx xx 7 3) y = 1 542 2 2 + ++ x xx 4) y = 5015 149 2 2 + + xx xx 5) y = xx xx 22 12 2 2 ++ 6) y = x + 12 2 +x VI) phép biến đổi đồ thị: Vẽ đồ thị của các hàm số: 1) y = 1 1 2 + + x xx 2) y = 2 92 2 + x xx 3) y = 2 33 2 + x xx 4) y = 1 55 2 + x xx 5) y = 12 2 + x xx 6) y = 1 1 + x x 7) ( ) 21 2 += xxxy VII) tiếp tuyến: 1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị Bài1: Cho hàm số: y = x 3 - 1 - k(x - 1) (1) 1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành; 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5 Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y = xcosxx +++ 42 2 tại giao điểm của đờng cong với trục tung. Bài3: Cho (C m ): y = f(x) = x 3 + 3x 2 + mx + 1 a) Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b) Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. Bài4: Cho 2 đồ thị ( ) ( ) ( ) ( ) +== +== mxxgy:)P( xxxfy:)C( 2 22 2 11 1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P). Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = 2 1 x 4 - 3x 2 + 2 5 1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x M = a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với (C) là nghiệm của phơng trình: ( ) ( ) 0632 22 2 =++ aaxxax 8 2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ. Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y = ( ) mx mmxm + ++ 2 13 với trục Ox tiếp tuyến của (C) song song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó. Bài7: Cho (C) : y = 1 12 x x và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. 1) CMR: M là trung điểm của A và B. 2) CMR: S IAB không đổi 3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài8: Cho (C): y = mx mxx + 32 2 (m 0, 1) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1 Bài9: Cho (C): y = mx mxx + ++ 4 43 2 Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C). Bài10: Cho đồ thị (C): y = 1 22 2 + ++ x xx 1) Điểm M (C) với x M = m. Viết phơng trình tiếp tuyến (t m ) tại M. 2) Tìm m để (t m ) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau. 3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C). 2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x 3 - 3x 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y = 3 1 x. Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) = 2 4 x - x 3 - 3x 2 + 7 Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx Bài3: Cho (C): y = 2 33 2 + ++ x xx . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng thẳng (): 3y - x + 6 = 0 9 Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y = 34 132 2 + x xx vuông góc với đờng thẳng: y = - 3 x + 2 Bài5: Cho đồ thị (C): y = 1 12 2 + x xx Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận. Bài6: Cho (C m ): y = x 4 + mx 2 - m - 1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố định của (C m ) có hoành độ dơng. Bài7: Cho đồ thị (C a ): y = 1 3 2 + ++ x axx Tìm a để (C a ) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất của hệ toạ độ. Bài8: Cho (C): y = 1 12 2 + + x xx . CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45 0 . 3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 4 12 19 ; đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5 Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x 3 + 3(m - 1)x 2 + 6(m - 2)x - 1 Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x 3 + 3x 2 + 2 1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 2 9 23 ; đến (C). 2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài4: Cho (C): y = -x 3 + 3x + 2 Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x 4 - x 2 + 1 Tìm các điểm A Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y = 1 12 + + x x ViiI) ứng dụng của đồ thị: 1) Xét số nghiệm của phơng trình: Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: 3x - 4x 3 = 3m - 4m 3 10 [...]... e 0 Bài3 : Cho hàm số: f(x) = x2 3 5 9 2 CMR: < f ( x ) dx < 2 2 4 x2 1 5) Tích phân truy hồi: 21 < 2 8 Bài1 : Cho In = 4 tg 2n xdx 0 1) CMR: In > In + 1 2) Thi t lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 1 3) Tính In theo n Bài2 : Cho In = 2 sin n xdx 0 1) Thi t lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 2 2) Tính In áp dụng tính I 11 = 2 sin 11 xdx 0 (1 x 2 ) n dx 1 Bài3 : Cho In = 0 1) Thi t lập hệ thức... x dx 1 x 9) x ln 4) Nguyên hàm hàm hữu tỷ: Bài1 : Tính các nguyên hàm sau đây: 1) 3) 5) x2 x2 + 1 x 2) x2 + x + 1 dx dx 13 ) 15 ) 4x 3 x (x x7 4 +1 Bài2 : 1) Cho hàm số y = ) 8) dx x2 + x + 1 dx x2 a2 x2 + x + 1 x 2 3x + 2 dx dx x3 1 10) 12 ) 14 ) dx 2 6) x 2 3x + 2 x +1 dx (a 0) 7) 2 x a2 x +1 dx 9) 3 x 1 x +1 dx 11 ) 2 x ( x - 1) x3 1 4) dx dx x 4 + 4x 2 + 3 dx x 2 + 2x - 3 xdx... sau đây: 2 1 1) x + dx 3 x 5) x 3 ( x + 1) ( x - (ax ) )3 x + 23 x dx x 2 8) x + 4 x dx x 3 dx 1 6) x + dx 4 9) ( x4 3 x + 2 ) dx 1 7) x 2 + dx 4) 3 4 x 5 3x 4 1 2) 1 3) x + dx x 2 10 ) + b dx x4 + x4 + 2 x3 11 ) x ( x + a )( x + b ) dx 13 ) 14 ) dx 12 ) 2 x e x dx (2 x e x ) 2 dx x -x 15 ) e +e 17 ) 4sin 2 x 1 + cosx dx 14 18 ) x -1 dx x +1 19) 16 ) 2dx x 1+ x e x +... e 2-5x + 1 e x dx 1 - cos2xdx 2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Tính các nguyên hàm sau đây: ( 3 x + 1) 3) 4 dx 5) x x + 1dx 9) 11 ) x 1+ x dx 2 x3 x 2 2x + 1 xdx ( x + 1) dx 3 14 ) 16 ) )3 19 ) tg 3 xdx 21) cos 2 x 2 x + x 1 x+4 x 2 2x + 1 dx dx x +1 x 2 dx 20) 22) dx dx 2 sin xcos 2 x x 3 dx (x 4 4)2 18 ) sin 5 x cos xdx + 1 x 2dx e tgx dx x 2 4x + 2 2x 12 ) x x 2 + 1dx 3 15 ) x 2x - 1dx ( 2x... tỷ: Tính các nguyên hàm sau đây: 1) 3) dx 2) x -1 x +1 x dx 1- x 6) x + 1 dx 5) 3 dx x +1 x 1 4) 4 x2 dx x ( x + 2) 7) dx x +1+ 3 x +1 8) 9) 4 x 2 dx 10 ) 11 ) dx 3x 2 + 4 x 1 17 x +1+ 2 ( x + 1) 2 x + 1 dx x +1+ x +1 4x x 2 dx dx II) tích phân : 1) Dùng các phơng pháp tính tích phân: Bài1 : Tính các tích phân sau: 4 1) cos xdx 2) 0 3) sin x + 7 cos x + 6 dx 4 sin x + 3 cos x + 5 0 2 ... Bài3 : Cho In = 0 1) Thi t lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 1 2) Tính In 1 Bài4 : Cho In = x n 1 xdx 0 1) Thi t lập hệ thức liên hệ giữa In và In - 1 2) Tính In Bài5 : Tính các tích phân sau: 1) In = 4 tg 2n 2) In = xdx 0 2 x n cos xdx 0 III) ứng dụng của tích phân: 1) Tính diện tích hình phẳng: Bài1 : Tính diện tích hình giới hạn bởi các đờng sau đây: 1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x y = x y... (e x + 1) 3 dx 10 ) 13 ) cos 4 xdx 17 ) 8) dx 6) xlnx 7) 2x 4 2) 4) 1) 1 e x 1 x dx ln 2 1 x dx 24) x ln x ln( ln x ) 23) x 3 3 1 + x 2 dx 1+ x dx 1 x 25) x x - 1dx 3) Phơng pháp nguyên hàm từng phần: Tính các nguyên hàm sau đây: 1) ( 2x + 1) cos xdx 2) x 2 e x dx 3) ln xdx 4) e x sin xdx 5) cos( ln x ) dx 6) xe x dx 1 1 dx ln 2 x ln x 8) e 2 x sin 2 xdx 7) 15 1+ x dx 1 x 9)... x2 2 4 x 2 dx 0 dx 10 ) 2 cos xdx 2 + cos 2x 0 Bài7 : Tính các tích phân sau: 1) 4 x ( 2 cos 0 1 3) ( x + 1) ) 2) e dx 4) 2 x 1 dx ( 2 2x 2 ) 5) x ln x + 1 dx 0 e 7) e 0 e 0 1 2 6) 2x sin 3xdx ( x ln x ) 2 dx 1 2 cos x ln( 1 + cos x ) dx 0 ln x 1 ( x + 1) e 2 dx 1 9 x 0 sin 2 ( 2x + 1) 8) 5 3 x + 2) Tính phân và đẳng thức: 19 +5 1 dx 4x 1 a f ( x ) dx Bài1 : CMR: Nếu f(x) là hàm... 9) 11 ) sin 2 x + 2sinxcosx - cos 2 x 10 ) cos 6 x cos2x 2 dx 8) tg 5 xdx dx 2 12 ) dx dx sin 6 x dx sin 2 x cos 2 x 14 ) cosx.cos2x.sin4xdx cos x.sin x 13 ) sin2x.cos3xdx 15 ) cos 3 x sin 8 xdx 16 ) cos 2 xdx 17 ) sin 3 xdx 18 ) tg 2 xdx 19 ) sin 2 x.cosxdx 20) tgx cos 3 x dx 4 cos 2 x + 1 21) sin x + 3 cos x 6) Nguyên hàm hàm vô tỷ: Tính các nguyên hàm sau đây: 1) 3) dx 2) x -1 x +1 x dx 1- ... R 0 1) Tính: I(t) 2) Tìm minI(t) Bài4 : Tính các tích phân sau: 2 1) x 2 (x 5 + 2x 3 dx 2) 0 ) 2 4x + 3 + x 2 4 x dx 2 ( m + 2) x + 2m dx 0 Bài5 : Tính các tích phân sau: 2 1) I = x 2 2 4x + 4m dx 2) 0 x 1 4) Bất đẳng thức tích phân: Bài1 : Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau: 1 < 1) 2 8 02+ x+ x dx 3 < 2) 3 2 0 6 dx cos 2 x + cos x + 1 2 Bài2 : CMR: 2 < e e 2) < xx2 < 1 2 0 dx 1 x2 . + dx xx x 1 2 2 5) + dx1xx 6) ( ) + dxe 3 x 1 7) + dx x1 x 2 8) + + dx xx 4x 2 12 9) + dx xx x 2 3 12 10 ) + dx x 1x 2 11 ) ( ) + 3 1x xdx 12 ) + dxxx 2 1 13) xdxcos 4 14 ) xxcossin dx 22 15 ). 44 1 1 1 12       − + +       − + x x x x 10 ) y = 2 2 2 2 1 1 1 1 xx xx xx xx ++ −+ + −+ ++ 11 ) y = ( ) 3 32 3 21 xxx +++ 12 ) y = 3 3 1 1 x x − + 13 ) y = 6 4 53 62 31 −− −− xx xx 14 ) y = xcosxsin xcosxsin + − 15 ) y = (. + ++ dx xx xx 2 2 23 1 7) + 0)(a dx ax x 2 2 1 8) 1 3 x dx 9) + dx x 1x 3 1 10 ) ++ 34 24 xx dx 11 ) ( ) + dx 1- xx 1x 2 12 ) + 3-2xx dx 2 13 ) dx x4x x 3 3 1 14) + 2xx xdx 24 3 15 ) (