Đề thi khảo sát chất lượng các môn thi tốt nghiệp thpt quốc gia lần 2 năm học 2015 - 2016 môn: Toán – lớp 12 (thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề)

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC ... Cách 4: Phân tích..[r]

www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x  sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx  Bài tập giải mẫu:  2 Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx Giải: Cách 1: Ta có:  2   0 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2cos x  cos x  dx    cos x  2cos x  cos x  sin xdx Đặt t  cos x  dt   sin xdx x  t   Đổi cận    t   x  Khi đó  t 2t t  17 I     t  2t  t  dt    t  2t  t  dt        12 2 Cách 2:  2   0 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  cos x  cos x  dx     cos x  cos x  cos3 x  d  cos x   cos x cos x cos       x 17    12 Cách 3: sin xdx   dt Đặt t   cos x   … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) cos x  t  Cách 4: du   sin xdx u  cos x  Đặt   2  cos x   d v  sin x  cos x dx    cos x d  co s x       v     Khi đó www.MATHVN.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   12 12 3 I   cos x 1  cos x    sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x  30 30  17   1  cos x   12 12  Bài 2: Tính tích phân sau I    dx sin x Giải: Cách 1: Nhân tử và mẫu cho sin x ta  I dx   sin x      sin xdx sin xdx  sin x   cos x Đặt t  cos x  dt   sin xdx   t   x   Đổi cận   x   t   Khi đó 2 2  dt dt  1  dt dt     dt       2  t  t t  t 1  t   1 t 0 I 1    ln t   ln t    ln 2 Cách 2: x 1 x  2dt Đặt t  tan  dt   tan  1 dx  dx   dx  2  t 1 sin x 2tdt  dt 2t  t t 1 t2    x   t  Đổi cận    x  t    www.MATHVN.com Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  dx  Khi đó I    sin x 1  t dt   ln t  3 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  ln 3   ln 3 Cách 3: x   d  tan  dx dx dx x 2 I  dx      ln tan  ln x x x x x  2  sin x    sin cos tan cos tan 3 2 2 3 Cách 4: I     dx  sin x          3 sin xdx sin xdx 1  cos x   1  cos x     d  cos x  2  1  cos x 1  cos x  sin x   cos x    3  1 1 1   d 1  cos x    d 1  cos x    d  cos x         cos x  cos x    cos x   cos x   1   ln  cos x  ln  cos x  ln   2 3 Cách 5: u  sin x du  cos xdx  Đặt  … Bạn đọc tự giải nhé dx   v   cot x dv  sin x  Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin x  sin x  3cos x dx Giải: Cách 1: Ta có: sin x  sin x  sin x  cos x  1 Đặt t   3cos x ta dt  3sin x  3cos x t 1 2t  cos x   cos x   3 x  t   Đổi cận    t   x  Khi đó dx  sin x  3cos x dx   2dt ; www.MATHVN.com Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  4t 2   34  I     dt   t  t   9  27  27 1 Cách 2: Đặt t   3cos x … bạn đọc tự giải Cách 3: u  cos x  du  2 sin x   Đặt  d 1  3cos x    sin x dx   dv  v    3cos x  3cos x  3cos x  Khi đó    42 42 I    cos x  1  3cos x   sin x  3cos xdx     3cos xd 1  3cos x  30 90   27 1  3cos x   34 2 27 Cách 4: Phân tích 1  3cos x   cos x  1 3 d 1  3cos x   dx   d 1  3cos x     3cos x  3cos x  3cos x    3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x  9  3cos x … Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé Chú ý: Nếu ta đặt t  cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp   a sin x  b sin x a.sin x  bcosx Tổng quát:  dx  dx ta đặt c  d cos x  t c  d cos x c  d s inx   sin x  sin x  sin x.cos x dx  cos x Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1:   sin x.cos x sin x.cos x dx   dx  cos x  cos x 0 Ta có I   dt   sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t  www.MATHVN.com Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  x  Đổi cận   t   x  Khi đó 2  t  1  t2 1  I  2  dt    t    dt    2t  ln t t 2 1 Cách 2:   Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2 t   ln  1  1  cos x   1 sin x.cos x sin x.cos x  d cos x I dx   dx       cos x  cos x  cos x 0     cos x     1  cos x   ln  cos x   2ln   d  cos x    sin x   cos x    0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x  Tổng quát: I    a sin x.cos x dx ta đặt t  b  c.cos x t  cos x b  c.cos x  4sin x dx  cos x Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I   Giải: sin x 1  cos x  sin x 1  cos x  4sin x Ta có    sin x  sin x cos x  sin x  sin x  cos x 1  cos x 1  cos x  sin x Cách 1:  4sin x Khi đó I  I   dx   cos x   0  4sin x  2sin x  dx   cos x  4cos x   Cách 2:  I  4sin x dx    cos x      4sin x  4sin x cos x dx   sin xdx   cos xd  cos x   4cos x  2cos x  0 0 Cách 3:   1  cos x  sin x 4sin x I dx   dx  cos x  cos x 0  dt  sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t  www.MATHVN.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  x  Đổi cận   t   x  1   t  1  2  Khi đó I     dt    4t   dt   2t  8t   t Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4:  dt dx   x 2t  Đặt t  tan  sin x  1 t2    t2 cos x   1 t2  Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 4sin x 4sin x (1  cos x )(1  cos x )   4sin x  2sin x … lại có cách khác, bạn đọc tự làm và khám  cos x  cos x phá nhé!  cos3 x Tương tự I   dx   sin x  12 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan xdx Giải: Cách 1:  12 Ta có:  12 sin x  tan xdx   cos x dx 0 Đặt t  cos x  dt  4sin xdx  sin xdx   dt x  t    Đổi cận     x  12 t   12  12 1 sin x dt dt 1 Khi đó I   tan xdx   dx       ln t  ln cos x 41 t 41 t 4 0 2 Cách 2: www.MATHVN.com Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  12 I  12  tan xdx   0 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   sin x 12 d  cos x  1 dx      ln cos x 12  ln cos x cos x 4  cos x dx   sin x Bài 6: Tính tích phân sau I   Giải:    2 1  sin x  cos xdx  cos x cos x dx   cos xdx     sin x   sin x   sin x I 4   1  sin x  cos xdx  4 Đến đây ta đặt t   sin x Hoặc  1 3 2   I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin xdx   sin x  sin x   2 4     4 4    Bài tập tự giải có hướng dẫn:  3sin x  cos x  dx   ln 2 3sin x  cos x Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I   HD:   sin x cos x Tách làm hai tích phân I  3 dx  dx kết hợp với công thức 2  2 3sin x  4cos x 3sin x  cos x 0 sin x  cos2 x  ta kết  3cos x  4sin x dx 2 3sin x  cos x Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J    Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin x.tan xdx  ln  HD: Ta có sin x tan x  1  cos x  sin x và đặt t  cos x cos x  sin x dx  1  3ln  cos x Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   HD: www.MATHVN.com Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  2 sin x cos x   dx và đặt t   cos x sin x 3sin x  4sin x Ta có I   dx   dx    cos x  cos x  cos x 0  sin x  dx   2  cos x Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I   HD: sin x  cos2 x Ta có  sin x và đặt t  cos x  cos2 x  cos x  Bài 5: Tính tích phân sau I   sin x x sin x  cos x.cos 2 dx  ln 2 HD: Ta có sin x  cos x.cos x  sin x  cos x 1  cos x    cos x và đặt t   cos x  cos x  dx   1  cos x Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I    sin x  sin 3 x 1 dx    ln  cos x Bài 7: Tính tích phân: I   HD: Phân tích sin 3x  sin 3x  sin 3x 1  sin x   sin 3x.cos 3x và đặt t   cos x  Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin xdx  HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin x  sin x cos x và đặt t  cos x  Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  esin x cos x dx  ln  e 1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản  Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e   1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản  Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   sin x dx  cos x www.MATHVN.com Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  Bài 12: Tính tích phân sau: I   2sin x  sin x cos x  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com dx HD: Đặt t  cos x  t  cos x     cos x  sin x  4sin x Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I   dx   dx  cos x  cos x HD: Đặt t  cos x  cos x Bài 14: Tính tích phân sau: I    cos x dx   HD: Phân tích  cos x   sin x từ đó đặt t  sin x  sin x dx   ln  cos x Bài 15: Tính tích phân sau I   HD: Phân tích sin x 2sin x cos x  và đặt t   cos x t  cos x  cos x  cos x 1 b Dạng 2: Tính tích phân dạng I   f sin x .cos xdx đặt u  sin x  du  cos xdx a Để tính tích phân dạng  a.sin x  b.sin x c  d cos x dx ta đổi biến cách đặt t  c  d cos x Bài tập giải mẫu:   2sin x Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I   dx  sin x Giải: Cách 1:  Ta có I   2sin x  cos x   sin x dx    sin x dx 0 Đặt  sin x  t  cos xdx  dt www.MATHVN.com Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  x  Đổi cận   t   x  2 1 dt Khi đó I    ln t  ln 2 21 t Hoặc đặt sin 2x  t Cách 2:    '  cos 2x 1  sin x  d (1  sin x ) 1 I dx   dx    ln 1  sin2 x   ln  sin x 1  sin x   sin x 2 0 Cách 3: Biến đối – sin x   cos x  sin x  cos x – sin x  và  sin x   cos x  sin x      d  cos x  sin x   2sin x cos x  sin x I dx   dx    ln cos x  sin x  ln  sin x cos x  sin x cos x  sin x 0 0 Hoặc đặt t  sin x  cos x  Bài 2: Tính tích phân sau I   cos x  cos x dx Giải: Đặt t  sin x  dt  cos xdx t  x    Đổi cận    x  t     Khi đó I   cos x  cos x dx   dt  2t   dt t 3 cos u  dt   sin udu 2   t  u    Đổi cận   t  u     Khi đó Đặt t  www.MATHVN.com 10 Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 I dt  t  sin udu     cos u      Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  du  2   u   Chú ý: cos u thì bài toán nhanh Ta có thể dùng bước đặt là sin x  Bài 3: Tính tích phân sau I   cos x dx sin x Giải: cos x cos x  3cos x I dx   dx   sin x sin x  cos x  3 sin x  .cos xdx   1  sin x   sin x .d  sin x        4 sin x  d  sin x   4 sin x  ln  sin x   C sin x   Hoặc đặt t  sin x  2 Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin xdx Giải: Đặt t  sin x  dt  sin xdx x  t   Đổi cận    t   x   sin x Khi đó I   e sin xdx   et dt  et  Hoặc I   e 0 sin x  sin x sin xdx   e  e  sin x d  sin x   e   e 1 Bài tập tự giải và có hướng dẫn  Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I   cos x  cos x dx HD: Ta có  cos x   2sin x và đặt t  sin x Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau www.MATHVN.com 11 Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  I   sin x 1  sin x  dx  www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 15 HD: 3 Ta có sin x 1  sin x   2sin x 1  sin x  cos x và đặt t  sin x  x  Bài 3: Tính tích phân sau I   1  tan x.tan  sin xdx 2 0 HD: x x x 2sin cos sin x 2 sin x  sin x sin x   cos x sin x và đặt t  cos x Ta có tan x tan sin x  x cos x cos x cos x cos 2  Đs: I     ln 2  Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I   cos x  cos x dx   HD: Phân tích  cos2 x    sin x   sin x và đặt t   sin x t   sin x  Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos x  sin x  cos x  dx  0 HD: Phân tích sin x  cos x   sin 2 x và đặt t  sin x  Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I   sin x dx  ln  cos x  sin x cos x dx  cos x Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I    Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I    Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I   cos xdx 10  ln  5sin x  sin x cos x  cos x dx    cos xdx 11  7sin x  cos x Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I   www.MATHVN.com 12 Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  Bài 9: Tính tích phân I    cos3 x sin x.cos xdx  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 12 91 HD: t   cos3 x  cos3 x   t Hoặc t   cos3 x b Dạng 3: Tính tích phân dạng I   a  sin x  sin x  du  sin xdx f    sin xdx đặt u     cos x  du  sin xdx   cos x  Bài tập giải mẫu:  sin x dx  cos x Bài 1: Tính tích phân sau I   Giải: Đặt t   cos2 x  dt   sin xdx  sin xdx   dt x  t   Đổi cận    t   x   2 sin x dt dt dx     ln t  ln 2   t t 1  cos x Khi đó I   Hoặc    d 1  cos x  sin x I dx      ln  cos x  ln 2  cos x  cos x 0  sin x dx  cos x Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   Giải:  Ta có:  sin x   cos x dx   2sin x cos x dx  cos x Đặt t   cos x  dt  2sin x cos xdx   sin xdx và cos x  t   cos x  cos x    t  1   2t  x  t    Đổi cận     x  t  Khi đó www.MATHVN.com 13 Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 I 2  2t  3 dt t Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2 6 6      4  dt     dt   4t  ln t    ln t t 3 2 2 Cách khác:     1  cos x   sin x 2sin x cos x 2cos x  I dx  dx   d  cos x   d 1  cos x        cos x  cos x  cos x 0  cos x   2   8 sin xd  sin x     4sin x  6ln  cos x   6ln  cos x 0 sin x 2sin x.cos x sin x.cos x Hoặc phân tích  4 và đặt t   cos x  cos x  cos x  cos x 1 d 1  cos x     Bài 3: Tính tích phân sau I   sin x 1  sin x  dx Giải: Đặt t   sin x  dt  2sin x cos xdx  sin xdx x  t   Đổi cận    t   x   2 t4 15 Khi đó I   sin x 1  sin x  dx   t dt   4  41 4 Cách khác:  I   sin x 1  sin x  dx   1  sin x    1  sin x  d 1  sin x  2  Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I   sin x  15 2 dx cos x  4sin x HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số  I   sin x 2 dx   sin x dx  sin x  4sin x  3sin x dt Đặt t   3sin x   sin xdx www.MATHVN.com 14 Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  x  Đổi cận   t   x  4 dt  2 Khi đó I     t dt  t  31 t 31 3 Hoặc đặt t   3sin x Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos x  sin x t  cos x  4sin x Cách 2:  I  sin x  dx   sin x  sin x  2   3sin x  3 Cách 3:    12 dx    3sin x 30  3sin x sin x     d  3sin x    Ta có I   sin x  dx   sin x  cos x  cos x  3cos x 0 4 2  3cos x  3cos x Và đặt t  t  2  Tổng quát: Để tính I = sin x cos xdx  a cos2 x  b sin x Ta đặt: u = dx với a, b  a cos x  b sin x  Bài 5: Tính tích phân sau I   sin x cos xdx 4cos x  9sin x HD : Đặt u = cos x  sin x  u2 = 4cos x  sin x  udu  5sin x cos xdx Khi đó I   udu  u u   Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I   sin x.cos x b2 cos x  c sin x dx HD: www.MATHVN.com 15 Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  Nếu b  c  b  c thì I  2b 2  sin xdx  b Gmail: Loinguyen1310@gmail.com ; 2 2 Nếu b  c  b  c thì đặt t  b cos x  c sin c x Khi đó dt   b  sin x.cos x.dx b cos x  c sin x bc và tính I   sin x cos x Bài 7: Tính tích phân sau I   a sin x  b cos x dx Giải: Cách 1:   sin x cos x Ta có I   sin x cos x dx   a cos x  b sin x  a 1  sin x   b sin x dx   sin x cos x  b2  a2  sin x  a dx 2tdt   b  a  sin x cos xdx  Đặt t   b  a  sin x  a  t   b  a  sin x  a   tdt sin x cos xdx  b  a2    x  t  b Đổi cận    x  t  a b b ba tdt 1  t   2 b a ab a b a a t b  a  Khi đó I   Cách 2: Đặt t  a sin x  b cos x  dt  2( b  a ) sin x cos xdx x   t  a2  Đổi cận   x   t  b  Nếu a  b  Khi đó I   sin x.cos x a sin x  b cos x dx  b2 b2  a  a2 dt  t t b a b2  a2 ab b a  ab Nếu a  b  Khi đó I    sin x.cos x 2 2 a sin x  b cos x   sin x.cos xdx 1  sin xdx   cos x   a 2a 4a 2a 0 dx   Bài tập tự giải có hướng dẫn: www.MATHVN.com 16 Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  sin x dx  ln sin x  cos x Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I   HD: sin x 2sin x cos x  và đặt t  sin x t   sin 2 x sin x  cos x  sin 2 x   14 1   Hoặc I   d   sin x    ln  sin x  ln 30 4   sin 2 x  Phân tích  Bài 2: Tính tích phân sau: I   e tan x dx cos x HD: Đặt t  tan x 3 Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I   sin  3 Cách 2: Phân tích I    Cách 3: Đặt t  tan dx  x cos x 3    cos  x   dx  sin x  dx sin 2 x x  Dạng 4: Tính tích phân dạng I   f  tan x   1 dx đặt u  tan x  du  dx  1  tan x  dx cos x cos x    Hoặc: I   f  tan x   tan x dx đặt u  tan x  du   dx cos x Bài tập giải mẫu:  dx  tan x Bài 1: Tính tích phân sau I   Giải: Đặt t  tan x  dt  dt dt dx  1  tan x  dx  dx   2 cos x  tan x  t www.MATHVN.com 17 Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com x  t   Đổi cận    t   x   dt t 1  1 dt 1 tdt 1 dt   Khi đó I     dt       2 1  t  1  t   01 t t2  t2 1 1  t  1  t  0         J1 J2 J3 Tính: J1  ln dt  ln t    t 1 2 1 ln tdt d  t  1 Tính: J      ln t   t 1 t 1 4  Tính: J  Vậy I  dt    du  (với t  tan u )  2 t 1 ln ln   ln     8 Cách 2: cos x  cos x  sin x    cos x  sin x     tan x sin x  cos x sin x  cos x    14 d  sin x  cos x   Khi đó I   dx     x  ln sin x  cos x    ln 20 sin x  cos x Phân tích Hoặc: Sử dụng đồng thức cos x  A  cos x  sin x   B  cos x  sin x  đồng hai vế tìm A và B  Bài 2: Tính tích phân I  sin x  cos x  tan   x  tan x   dx Giải:  Phân tích I   sin x  cos x  tan   Đặt t  tan x  dt  x  tan x   dx    tan tan x   x  tan x   cos x dx dx cos x    x  t  Đổi cận   t  1 x     Khi đó www.MATHVN.com 18 Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  2t   t2 dt 1 t  2t  dt  1 dt  1 t  2t  5dt  31  t  12  I www.MATHVN.com   t  ln t  2t  Tính I1  1  1  I 1   ln  3I1 dt   t  1 1 4 Đặt t   tan u  dt   tan u  1 du 1  Khi đó I1   du  du  u    2     tan u  1   4 3 Vậy I   ln   tan u  1  dx cos x Bài 3: Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1:   1 dx   dx 2 cos x cos x cos x 0 Đặt t  tan x  dt  dx cos x x  t   Đổi cận    t   x  Ta có I    Khi đó I    t3  dx   t dt  0    t    cos x Cách 2:   1 I dx   1  tan x  dx  cos x cos x    tan x  0 1  tan x  d  tan x    tan x  x   Cách 3: sin x  cos x sin x tan x      4 2 cos x cos x cos x cos x cos x cos2 x … đến đây thì quá dễ rùi phải không Cách 4: Phân tích www.MATHVN.com 19 Lop12.net www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  u  cos x Đặt  … Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà dv  dx  cos x Hoặc : Đặt t  tan x  Bài 4: Tính tích phân sau I   tan xdx Giải: Cách 1: Đặt t  tan x  dt   tan x  1 dx  dx  dt 1 t2 x  t   Đổi cận    t   x  Khi đó   1 4 t t  t dt  13   I   tan xdx     t4  t2  1 dt     t    du    15 t 1 5 0 0 t 1 0 Cách 2: Phân tích tan x   tan x  tan x    tan x  tan x    tan x  1   tan x  tan x  1  tan x  tan x  1   tan x  1    tan x  tan x  1 1 cos x Khi đó     tan x tan x  13  I    tan x  tan x  1 dx   dx     tan x  x    cos x   15 0  Bài 5: Tính tích phân sau I   tan xdx Giải: t  tan x  dt  1  tan x  dx  1  t  dt  dx  dt t 1 x  t   Đổi cận    t   x  Khi đó www.MATHVN.com 20 Lop12.net