Bài tập cực trị hàm số có giải chi tiết

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 2015 CHUYÊN ðỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN 1: Cực trị của hàm số Giáo viên: Nguyễn Quốc Tuấn ****************************************** Bài tập 1: Cho hàm số 3 2 6 9 2 y x x x = − + − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (C) ñã cho b. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm ( ) M C ∈ , biết ñiểm M cùng với hai cực trị A, B của ñồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6. Hướng dẫn giải ðiểm cực ñại của ( ) C : ( ) 1;2 A và ñiểm cực tiểu của ( ) C : ( ) 3; 2 B − 2 5 AB⇒ = và ñường thẳng : 2 4 0 AB x y + − = M thuộc ( ) C ( ) ( ) 3 2 3 2 6 11 6 ; 6 9 2 ; 5 a a a M a a a a d M AB − + − ⇒ − + − ⇒ = Gọi ( ) 1 . ; 6 2 MAB S S AB d M AB ∆ = = = 3 2 6 11 6 6 a a a ⇔ − + − = 3 2 3 2 6 11 0 0 4 6 11 12 0 a a a a a a a a  − + = =  ⇔   = − + − =    Với ( ) 0 0; 2a M = ⇒ − ⇒ : tiếp tuyến tại M là 9 2 y x = − Với ( ) 4 4;2 a M= ⇒ : Tiếp tuyến tại M là 9 34 y x = − Bài tập 2: Cho hàm số 3 2 3 3 4 y x mx m = − + có ñồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho với m= 1 b. Tìm m ñể ( ) m C có các ñiểm cực ñại, cực tiểu ở về một phía ñối với ñường thẳng 3 2 8 0 x y − + = Hướng dẫn giải 3 2 0 ; 4 ' 3 6 ; ' 0 2 ; 0 x y m y x mx y x m y  = = = − = ⇔  = =  Các ñiểm cực trị cằm cùng phía ñối với ñường thẳng 3 2 8 0 x y − + = ( ) ( ) ( )( ) 3 8 8 6 8 0 4 1 3 4 0 ;1 3 m m m m m − + + >   ⇔ − + < ⇔ ∈ −     TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Vậy 4 ;1 3 m   ∈ −     thỏa mãn theo yêu cầu của ñề bài. Bài tập 3: Cho hàm số ( ) 4 2 2 1 1 y x mx m= − + + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi m= 2 b. Tìm giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác sao cho trục Ox chi tam giác ñó thành hai phần có diện tích bằng nhau Hướng dẫn giải Ta có ( ) 3 2 2 0 ' 4 4 4 ; ' 0 x y x mx x x m y x m =  = − = − = ⇔  =  ðể hàm số (1) có ba cực trị thì phương trình ' 0 y = có ba nghiệm phân biệt 0 m ⇔ > Giả sử tọa ñộ của 3 ñiểm cực trị là: ( ) ( ) ( ) 2 2 0; 1 , ; 1 , ; 1 A m B m m m C m m m + − − + + − + + Gọi ( ) 2 0; 1 H m m − + + là trung ñiểm của BC, trục ox cắt AB và AC tại M và N theo bài ra ta phải có ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 4 2 2 1 0 2 2 2 2 AMN ABC m S OA m m m S OH m ∆ ∆ + ± + = ⇒ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = Kết hợp ñiều kiện ta thấy 2 2 4 2 2 m + + = thỏa mãn ñiều kiện Bài tập 4: Cho hàm số 4 2 1 1 1 4 2 y x x = − + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho b. ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm cực ñại của (C) và có hệ số góc k. Tìm k ñể tổng khoảng cách từ hai ñiểm cực tiểu của (C) ñến ∆ là nhỏ nhất Hướng dẫn giải Tọa ñộ ñiểm cực ñại ( ) 0;1 A , tọa ñộ các ñiểm cực tiểu 3 1; 4 B       và 3 1; 4 C   −     Phương trình của ∆ : 1 0 kx y − + = . Khoảng cách từ B và C lần lượt ñến ∆ là : 1 2 1 4 1 k h k + = + và 2 2 1 4 1 k h k − + = + Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 8 16 * 1 k k H h h k + + − = + = + Xét hàm số ( ) 1 1 2 2 8 16 1 t t f t t + + − = + với 0 t ≥ Nếu 1 16 t ≥ thì ( ) ( ) ( ) 2 4 4 ' 1 1 t f t f t t t = ⇒ = + + ( ) f t ⇒ ñồng biến và ( ) 1 4 16 17 f t f   ≥ =     TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - Nếu 1 0 16 t≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) 2 4 1 ' 0 1 4 1 t f t f t t t − = ⇒ = < ⇒ + + ( ) f t là hàm số nghịch biến ( ) 1 4 16 17 f t f   ≥ =     Suy ra ( ) f t nhỏ nhất khi 1 16 t = Áp dụng vào (*) ta ñược H nhỏ nhất ( ) 1 2 h h + nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 1 1 16 4 k k = ⇔ = ± Bài tập 5: Cho hàm số 3 2 3 1 y x x mx = − + + (1) a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 0 m = b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại và cực tiểu song song với ñường thẳng ( ) :2 6 0 d x y + − = Hướng dẫn giải Ta có: 2 ' 3 6 y x x m = − + Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình ' 0 y = có hai nghiệm phân biệt Tức là ' 9 3 0 3 m m ∆ = − > ⇔ < Chia ña thức y cho y’, ta tính ñược 1 2 '. 2 1 3 3 3 3 x m m y y x     = − + − + +         Giả sử hàm số có cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; x y x y Ta có phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại và cực tiểu là 2 2 2 1 2 1 0 3 3 3 m m m y x x y     = − + + ⇔ − − + =         ðể ñường thẳng này song song với ñường thẳng (d) thì 2 2 1 2 6 3 1 0 2 1 6 m m m − − = ⇔ = − ⇔ = − Thỏa mãn vậy 0 m = là giá trị cần tìm. Bài tập 6: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 3 2 1 1 y x x m m x= − + + + + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 0 m = b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị ñối xứng nhau qua ñiểm ( ) 1;3 I Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 2 ' 3 6 3 6 ' 0 2 2 0 2 y x x m m x m y x x m m x m = − + + + = −  = ⇔ − − + = ⇔  = +  Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0 y = có hai nghiệm phân biệt ñiều này tương ñương 2 1 m m m + ≠ − ⇔ ≠ − Với 3 2 2 3 1 m m y m m = − ⇒ = − − + Với 3 2 2 2 9 12 5 x m y m m m = + ⇒ = + + + TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - Tọa ñộ hai ñiểm cực trị A, B lần lượt là : ( ) ( ) 3 2 3 2 ;2 3 1 , 2;2 9 12 5 A m m m B m m m m − − + + + + + I là trung ñiểm của AB khi và chỉ khi 2 2 0 6 12 0 2 2 A B I A B I x x x m m m y y y m + = =   ⇔ + = ⇔   + = = −   Bài tập 7: Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 9 12 1 m y x mx m x C = + + + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 1 m = . b. Tìm các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu. Với giá trị nào của m ñể 2 2 4 2 CD CT x x − ñạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải ðể hàm số có cực ñại và cực tiểu thì ( ) 2 2 ' 6 3 2 0 y x mx m = + + = có hai nghiệm phân biệt. ðiều này tương ñương 2 0 0 m m ∆ = ≠ ⇔ ≠ Khi ñó phương trình có hai nghiệm ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 3 , 3 10 6 3 2 2 x m m x m m m m m m f m = − − = − + = + + − = Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 16 2 0 16 2 0 4 4 0 2 1 1 0 m m khi m m m khi m f m f m m m khi m m khi m  + >  + >   = ⇔ =   + < + − <     Suy ra ( ) 1, f m ≥ với mọi ( ) 1 0, 1 2 m f m m ≠ = − ⇔ = − Suy ra 2 4 2 CD CT x x − nhỏ nhất khi 1 2 m = − Bài tập 8: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 4 1 2 1 3 3 y x m x m x = − + + + + − với m là tham số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 1 m = b. Tìm m ñể hàm số có hai cực trị tại 1 x và 2 x sao cho 2 2 1 2 1 1 2 x x + = Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 1 ' 2 1 2 1, ' 0 2 1 x y x m x m y x m =  = − + + + = ⇔  = +  Vậy ( ) 2 2 4 1 2 0 1 1 1 2 1 1 2 1 m m x x m =  + = ⇔ = ⇔  = − +  ðối chiếu ñiều kiện ta ñược 1 m = − Bài tập 9: Cho hàm số 4 2 4 2 2 y x mx m m = − + + với m là tham số thực a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 1 m = b. Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu mà các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị hàm số tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 Hướng dẫn giải Ta có: 3 2 0 ' 4 4 , ' 0 x y x mx y x m =  = − = ⇔  =  TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình ' 0 y = có ba nghiệm phân biệt 0 m ⇔ > Khi 0 m > ñồ thị hàm số có một cực ñại là ( ) 4 0; 2 A m m + và hai ñiểm cực tiểu là ( ) ( ) 4 2 4 2 ; 2 , ; 2 B m m m m C m m m m − − + − + Tam giác ABC là tam giác cần tại A A Oy ∈ , B, C là hai ñiểm ñối xứng nhau qua Oy. Gọi H là trung ñiểm của BC thì ( ) 4 2 2 1 1 0; 2 . .2 2 2 ABC H m m m S AH BC m m m m ∆ − + ⇒ = = = Theo giả thiết 1 ABC S m ∆ = = Vậy 1 m = thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài tập 10: Cho hàm số 3 2 3 3 4 y x mx m = − + có ñồ thị là ( ) m C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho b. Tìm m ñề ( ) m C có các cực ñại và cực tiểu ở về một phía với ñường thẳng 3 2 8 0 x y + − = Hướng dẫn giải Ta có: 3 2 0 ; 4 ' 3 6 , ' 0 2 ; 0 x y m y x mx y x m y  = = = − = ⇔  = =  ðể hai ñiểm cực trị nằm về một phía với ñường thẳng 3 2 8 0 x y + − = thì ( ) ( ) 3 4 8 8 6 8 0 1 3 m m m − + + > ⇔ − < < Bài tập 11: Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx m = − + + có ñồ thị ( ) 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 2 m = b. Tìm các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số ( ) 1 có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác sao cho trục Ox chia tam giác ñó thành hai phần có diện tích bằng nhau Hướng dẫn giải Ta có: 3 2 0 ' 4 4 ; ' 0 x y x mx y x m =  = − = ⇔  =  ðể ñồ thị hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0 y = có ba nghiệm phân biệt khác 0. ðiều này tương ñương 0 m > Giả sử tọa ñộ ba ñiểm cực trị là ( ) ( ) ( ) 2 2 0; 1 , ; 1 , ; 1 A m B m m m C m m m + − − + + − + + Gọi ( ) 2 0; 1 H m m − + + là trung ñiểm của BC, trục Ox cắt AB và AC lần lượt tại M và N theo ñề bài ta có ( ) 2 1 1 2 1 0 2 2 2 2 4 2 2 AMN ABC S OA m m S AH m ∆ ∆ = ⇔ = ⇒ − + = ± + ⇔ = Kết hợp ñiều kiện ta có 2 2 4 2 2 m + + = TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - Bài tập 12: Cho hàm số ( ) 2 1 4 1 2 1 4 y x m x m = − + + + có ñồ thị là ( ) m C và m là tham số thực a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 1 m = b. Cho 5 0; 2 I   −     . Tìm m ñể ( ) m C có các ñiểm cực ñại là A và hai ñiểm cực tiểu là B, C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi. Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 3 ' 2 1 y x m x = − + ( ) m C có một ñiểm cực ñại là A và hai ñiểm cực tiểu là B, C khi phương trình ' 0 y = có ba nghiệm phân biệt ( ) 2 1 0 1 m m ⇔ + > ⇔ > − Khi ñó ba nghiệm phân biệt của ( ) m C là cực ñại ( ) 0;2 1 A m + , hai ñiểm cực tiểu là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ; , 2 1 ; B m m C m m − + − + − Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại ( ) 2 0; H m − và H là trung ñiểm của BC. Do ñó tứ giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung ñiểm của AI. Tức là: 2 1 2 2 2 1 2 5 2 H A I H A I m x x x m m y y y m  =  = +  ⇔ − = + ⇔   = +   = −   Bài tập 13: Cho hàm số 3 2 3 2 y x mx = − + có ñồ thị hàm số ( ) m C , với m là tham số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho với 1 m = b. Tìm m R ∈ ñể ñồ thị hàm số ( ) m C có hai ñiểm cực trị và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với Ox một góc α sao cho 1 cos 5 α = Hướng dẫn giải Ta có: 2 0 ' 3 6 ; ' 0 2 x y x mx y x m −  = − = ⇔  =  ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0 y = có hai nghiệm 0 m ⇔ ≠ Gọi ( ) ( ) 3 0;2 , 2 ; 4 2 A B m m − + là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ( ) m C . Khi ñó ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị có vector chỉ phương là ( ) 3 2 ; 4 AB m m = −  có vector pháp tuyến là ( ) 2 2 ;1 n m=  Trục Ox có vector pháp tuyến là ( ) 0;1 j =  ðường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với trục Ox góc α . Ta có ( ) 4 4 1 1 1 1 cos cos , 4 1 5 1 5 5 5 4 1 n j m m m α = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ± +   thỏa mãn . Vậy 1 1 m m =   = −  Bài tập 14: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 1 y x mx m x m m C = − + − − + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - b. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu. Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số cùng với ñiểm ( ) 1;1 I , tạo thành tam giác có bán kính ñường tròn ngoại tiếp bằng 5 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 ' 3 6 3 1 ' 0 3 6 3 1 0 y x mx m y x mx m = − + − = ⇔ − + − = Ta có: ' 1 0 ∆ = > với mọi m. Suy ra phương trình ' 0 y = luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Suy ta hàm số luôn có cực ñạ và cực tiểu ( ) ( ) 1;2 2 , 1; 2 2 A m m B m m − − + − − Phương trình : 2 0 AB x y + = Nên A,B, I lập thành một tam giác Với 5, 2 5 R AB= = nên tam giác IAB vuông tại I với AB là ñường kính ðiều này tương ñương 2 2 2 2 1 10 4 6 0 3 5 m IA IB AB m m m = −   + = ⇔ + − = ⇔  =   Bài tập 15: Cho hàm số ( ) 3 2 ( ) 3 1 1 y f x mx mx m x = = + − − − , m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số trên khi m = 1. 2. Xác ñịnh các giá trị của m ñể hàm số ( ) y f x = không có cực trị. Hướng dẫn giải + Khi m = 0 1 y x ⇒ = − , nên hàm số không có cực trị. + Khi 0 m ≠ ( ) 2 ' 3 6 1 y mx mx m ⇒ = + − − Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi ' 0 y = không có nghiệm hoặc có nghiệm kép ( ) 2 2 ' 9 3 1 12 3 0 m m m m m ⇔ ∆ = + − = − ≤ 1 0 4 m ⇔ ≤ ≤ Bài tập 16: Cho hàm số 3 3 2. y x x = − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 2. Gọi A, B là hai ñiểm cực trị của ñồ thị (C). Tìm toạ ñộ các ñiểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB cân tại M. Hướng dẫn giải Ta có ph ươ ng trình ñườ ng trung tr ự c c ủ a AB là d: x – 2y + 4 = 0 Hoành ñộ giao ñ i ể m c ủ a d và (C): 2x 3 – 7x = 0 1 2 3 0 7 1 7 7 1 7 (0;2)( ), ; 2 , ; 2 7 2 2 2 2 2 2 2 x M loai M M x =       ⇔ ⇒ − − + +          = ±       Bài tập 17: Cho hàm số 3 2 3 2 y x x = − + có ñồ thị ( ) C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho b. ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm cực ñại của ñồ thị ( ) C và có hệ số góc bằng 2 1 4 m + . Tìm tất cả các giá trị của tham số , ñể khoảng cách từ các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị ( ) C ñến ñường thẳng ∆ là nhỏ nhất. Hướng dẫn giải TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - Ta có các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị ( ) C lần lượt là ( ) 0;2 A và ( ) 2; 2 B − . Phương trình ñường thẳng ∆ là 2 1 2 4 y m x   = + +     Gọi H là khoảng cách từ ñiểm B ñến ∆ . ta luôn có h AB ≤ và vector chỉ phương của AB vuông góc với ∆ Ta có: ( ) 2 1 2; 4 , 1; 4 AB u m ∆   = − = +       Khi ñó AB ⊥ ∆ 2 1 1 . 0 4 2 AB u m m ∆ ⇒ = ⇔ = ⇔ = ±   Bài tập 18: Cho hàm số 3 2 3 3 2 y x x mx = − + + có ñồ thị ( ) C với m là tham số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 0 m = b. Tìm m ñể ñồ thị ( ) C có cực ñại và cực tiểu. Và khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số bằng 4 65 Hướng dẫn giải Ta có 2 ' 3 6 3 y x x = − + ðồ thị ( ) C có cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0 y = có hai nghiệm 1 x và 2 x 9 9 0 1 m m − > ⇔ < Theo ñịnh lý viet ta có 1 2 1 2 2 x x x x m + =   =  Do ( ) 1 ' 2 1 2 3 3 x y y m x m   = − + − + +     nên tọa ñộ hai ñiểm cực trị là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 ;2 1 2 , ;2 1 2 4 1 1 4 4 1 1 1 A x m x m B x m x m AB m x x m m m − + + − + +     ⇒ = − + − = − + − + −     Theo giả thiết thay vào ta có 3 m = − Bài tập 19: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 1 2 y x mx m x m= − + − − + ( ) m C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 0 m = a. Tìm m ñể ñồ thị hàm số ( ) m C có hai ñiểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 1 ' 3 6 3 1 , ' 0 1 x m y x mx m y x m = +  = − + − = ⇔  = −  Phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị là 2 2 0 y x m + + + = ( ) 2 ; 5 m d O AB + = , mặt khác 5 2 5 A B AB x x= − = 2 OAB S m = + do ñó 2 4 2 4 6 OAB m S m m =  = ⇔ + = ⇔  = −  Bài tập 20: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 2 1 y x m x m x = + − + − − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 1 m = b. Tìm giá trị của m ñể ñồ thị hàm số ( ) m C có cực ñại và cực tiểu và hai ñiểm cực trị cách TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - ñều ñường thẳng 1 y x = − Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 1 ' 6 6 1 6 2 ; ' 0 2 x y x m x m y x m = −  = + − + − = ⇔  = −  Hàm số có cực ñại, cực tiểu khi và chỉ khi 2 1 3 m m − ≠ − ⇔ ≠ Viết lại hàm số dưới dạng ( ) 2 2 1 ' 6 9 3 3 3 6 x m y y m m x m m −   = = − − + − + −     Suy ra ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số có phương trình là ( ) 2 2 6 9 3 3 y m m x m m = − + − + − ðường thẳng này có hệ số góc là ( ) 2 6 9 1 k m m = − + ≠ với mọi m nên ñường thẳng d không thể là ñường thẳng song song với ( ) : 1 y x ∆ = − Do ñó: hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số cách ñều ñường thẳng ∆ khi và chỉ khi trung ñiểm của hai ñiểm cực trị thuộc ñường thẳng ∆ Hai ñiểm cực trị của hàm số là ( ) ( ) 3 2 1;6 3 , 2 ; 9 24 21 A m B m m m m− − − − + − Trc của AB có tọa ñộ là 3 2 1 9 21 15 ; 2 2 m m m m I   − − + −     I thuộc ñường thẳng ∆ khi và chỉ khi 3 2 1 9 22 14 0 4 2 m m m m m =  − + − = ⇔  = ±  Thỏa mãn ñiều kiện Bài tập 21: Cho hàm số 3 2 6 9 2 y x x x = − + − có ñồ thị ( ) C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho b. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( ) C tại ñiểm M, biết M cùng với hai ñiểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6. Hướng dẫn giải ðiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị ( ) C lần lượt có tọa ñộ ( ) ( ) 1;2 , 3; 2 A B − 2 5 AB = và ñường thẳng : 2 4 0 AB x y + − = M thuộc ñồ thị ( ) C ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 6 11 6 ; 6 9 2 ; 5 1 . ; 6 2 MAB a a a M a a a a d M AB S AB d M AB − + − − + − ⇒ = = = 3 2 3 2 3 2 6 11 0 0 6 11 6 6 4 6 11 12 0 a a a a a a a a a a a  − + = =  ⇔ − + − = ⇔ ⇔   = − + − =   Với 0 a = : Phương trình tiếp tuyến là 9 2 y x = − Với 4 a = : Phương trình tiếp tuyến là 9 34 y x = − Bài tập 22: Cho hàm số 4 2 1 2 2 3 y x mx = − + với m là tham số TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 4 3 m = b. tìm m ñể ñồ thị ( ) C có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm ñường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa ñộ O Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 3 2 4 4 ' 4 3 3 3 x y x mx x m = − = − ðường thẳng hàm số có ba ñiểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0 y = có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 m > Khi ñó ñồ thị hàm số có ba ñiểm cực trị là ( ) ( ) ( ) 2 2 0;2 , 3 ;2 3 , 3 ;2 3 A B m m C m m − − − Tam giác ABC có tâm ñường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa ñộ O khi và chỉ khi OA OB OC = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1; 0 2 3 2 3 1 3 3 1 0 3 21 6 m m m m m m m m m = =   = + − ⇔ − + − = ⇔ − ±  =   Bài tập :23 Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 1 y mx mx m x = + − − − với m là tham số và có ñồ thị là ( ) m C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 1 m = b. Tìm ñể các giá trị của m ñể hàm số ( ) m C không có cực trị Hướng dẫn giải + Khi 0 1 m y x = ⇒ = − , nên hàm số không có cực trị + Khi ( ) 2 0 ' 3 6 1 m y mx mx m ≠ ⇒ = + − − Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi ' 0 y = không có nghiệm hoặc có nghiệm kép ( ) 2 2 1 ' 9 3 1 12 3 0 0 4 m m m m m m ⇔ ∆ = + − = − ≤ ⇔ ≤ ≤ Bài tập 24: Cho hàm số ( ) 3 2 1 y x m x x = + + − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 0 m = b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của giá trị m, hàm số có cực ñại và cực tiểu ñồng thời thỏa mãn 3 1 2 CD CT CD CT y y x x − = − Hướng dẫn giải Ta có : ( ) 2 ' 3 2 1 1 ' 0 y x m x y = + + − ⇒ = luôn có hai nghiệm trái dấu. Do ñó hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu với mọi giá trị m ( ) ( )( ) 2 2 1 1 CD CT CD CT CD CD CT CT CD CT y y x x x x x x m x x   − = − + + + + + −   Ta có: ( ) 2 1 3 1 3 CD CT CD CT m x x x x +  + = −     = −   Ta có biến ñối rồi suy ra ñiều cần chứng minh Bài tập 25: Cho hàm số 4 2 2 2 4 y x mx m = − + − có ñồ thị ( ) m C [...]... AH m V y m = 2 là giá tr c n tìm Bài t p 26: Cho hàm s y = x3 + ( m + 3) x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 2m có ñ th là ( Cm ) a Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s ñã cho khi m = −1 b Tìm t t c giá tr c a m ñ hàm s có hai c c tr th a mãn yCD yCT < 0 Hư ng d n gi i H c sinh t làm Bài t p 27: Cho hàm s y = ( x + 1) ( x − 1) có ñ th ( C ) a Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s ñã cho b L p phương trình... sư Qu c Tu n- ðT:0905671232–0989824932 a Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s ñã cho khi m = 1 b Tìm t t c các giá tr c a tham s m ñ ñ th hàm s ( Cm ) có ba ñi m c c tr t o thành α 1 m t tam giác cân có góc ñ nh c a tam giác ñó b ng α và tan = 2 2 2 Hư ng d n gi i x − 0 Ta có: y ' = 4 x3 − 4mx, y ' = 0 ⇔  2 x = m ð th hàm s có ba c c tr khi và ch khi m > 0 Khi ñó các ñi m c c tr c a ñ th là A (... a ñ th 2 2 ( C ) sao cho t ng kho ng cách t hai ñi m c c ti u c a ñ th ( C ) ñ n ñư ng th ng d là l n nh t Hư ng d n gi i H c sinh t làm TÀI LI U LUY N THI ð I H C 2015 CHUYÊN ð : KH O SÁT HÀM S PH N 1: C c tr c a hàm s http://www.xuctu.com - Trang 11 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giáo viên & Gia sư Qu c Tu n- ðT:0905671232–0989824932 Giáo viên: Nguy n Qu c Tu n ðT: 0905671232 Email: quoctuansp@gmail.com . m ñể hàm số ( ) m C không có cực trị Hướng dẫn giải + Khi 0 1 m y x = ⇒ = − , nên hàm số không có cực trị + Khi ( ) 2 0 ' 3 6 1 m y mx mx m ≠ ⇒ = + − − Hàm số không có cực trị khi. hàm số ( ) y f x = không có cực trị. Hướng dẫn giải + Khi m = 0 1 y x ⇒ = − , nên hàm số không có cực trị. + Khi 0 m ≠ ( ) 2 ' 3 6 1 y mx mx m ⇒ = + − − Hàm số không có cực trị. ñề bài. Bài tập 3: Cho hàm số ( ) 4 2 2 1 1 y x mx m= − + + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi m= 2 b. Tìm giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị