PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 HH12 – CHƯƠNG §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thời lượng dự kiến: tiết A PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN 1.Tích có hướng hai vectơ a a1 ; a2 ; a3 b b1 ; b2 ; b3 Oxyz Trong không gian cho hai vectơ Khi a, b a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 Phương trình mặt phẳng P qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vec tơ pháp tuyến Trong không gian Oxyz mặt phẳng n A, B, C P : A x x0 B y y0 C z z0 0 có phương trình dạng: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1 , có phương trình 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 , : A2 x B2 y C2 z D2 0 , với n1 A1 ; B1; C1 Gọi n A2 ; B2 ; C2 VTPT 1 : A1 x By C1 z D1 0 ; 2 VTPT : A2 x B2 y C2 z D2 0 , Ak Bk Ck 0 k 1; Khi đó: n1 k n A B C D A2 B2 C2 D2 0 1 A2 B2 C2 D2 D1 kD2 n1 kn A B C D A2 B2 C2 0 1 || A2 B2 C2 D2 D1 D2 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 1 cắt A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 THđặc biệt: 1 A1 A2 B1B2 C1C2 0 1 Góc hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1 , có phương trình 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 , : A2 x B2 y C2 z D2 0 , với n1 A1 ; B1; C1 Gọi n A2 ; B2 ; C2 VTPT 1 : A1 x By C1 z D1 0 ; 2 VTPT : A2 x B2 y C2 z D2 0 , Ak Bk Ck 0 k 1; , góc Góc hai mặt phằng 1 , và, kí hiệu 1 , Từ suy Trang 1/10 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 có cơng thức tính sau: cos 1 , A1 A2 B1 B2 C1C2 n 1 n cos n 1 ; n n 1 n A12 B12 C12 A22 B22 C22 B LUYỆN TẬP I Các ví dụ VD1: Cho ba điểm P song song với A 5;1;3 , B 1;6; C 5;0; , Tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC Lời giải AB 4;5;1 , AC 0; 1;1 , AB, AC 4; 4; n ABC 1;1;1 Ta có P song song với ABC nên n P n ABC 1;1;1 vectơ pháp tuyến Do mặt phẳng mặt phẳng P A 2; 1;1 B 1;0;3 P 0; 2;1 P VD2: Cho ba điểm , , Viết phương trình mặt phẳng qua trọng tâm G ABC vng góc với BC Ta có n P BC 1; 2; Lời giải G 1; 1;1 P qua Do mặt phẳng nên có phương trình 1 x 1 y 1 z 1 0 x y z 0 P : x my 3z 0 song song với Q : nx y z 0 VD3: Tìm m n để Lời giải n 2; m;3 n Q n; 8;6 Ta có P P // Q n P ; n Q Do mặt phẳng phương 1 k 2 kn n P k n Q m k 8 m 4 m n 0 3 k n Hay VD4: Tính góc hai mặt phẳng: P : x y z 0 Q : 2x y z 0 Lời giải n 1; 2; 1 n Q 2; 1;1 Ta có P 22 1 n P n Q cos P , Q cos n P ; n Q 6 P n Q n Và: P , Q 60o Hay A m; m 1;1 2m P : x y z 1 0 VD5: Tìm m để điểm thuộc mặt phẳng Lời giải Trang 2/10 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Ta có điểm A m; m 1;1 2m thuộc mặt phẳng 2m m 1 2m 0 m 1 P : 2x y z 0 toạ độ A thỗ mãn II Bài tập trắc nghiệm Câu 1: [Mức độ 1] Toạ độ vecto pháp tuyến mặt phẳng có cặp vecto phương b 3; 2;1 là: D 5;8;1 [Mức độ 1] Toạ độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng qua ba điểm A 1;0; A 5;8; 1 B 5; 8;1 5; 8; 1 a 2;1; C Lời giải , Chọn C a; b 5;8;1 Ta có: n 5; 8; 1 Khi Câu 2: C 2;3;0 A , B 1;1;1 , là? 1;1; 1 B 1; 1; 1 1;1;1 C Lời giải D 1;1; Chọn B AB 0;1; 1 , AC 1;3; , AB, AC 1; 1; 1 n P 1; 1; 1 Ta có Câu 3: A 1; 2;3 ; [Mức độ 2] Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với B 3; 2;1 là? A x y z 0 B x y z 0 C x y z 0 D x y z 0 Lời giải Chọn A I 1; 0; AB 4; 4; Ta có ; Gọi trung điểm đoạn thẳng AB I 1;0; Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua nhận x 1 y z 0 x y z 0 AB 4; 4; làm VTPT là: Câu 4: [Mức độ 2] Viết phương trình mặt phẳng với P Q : x y z 0 A x y z 25 0 B x y z 0 Trang 3/10 biết P qua A 1; 3;4 P song song PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 C x y z 25 0 D x y z 17 0 Lời giải Chọn C Vì P // Q P : x y z d 0 d 7 Do A 1; 3; P Hay Câu 5: nên Q : 15 d 0 d 25 P : x y z 25 0 [Mức độ 2] Mặt phẳng P A B 12 G 1; 2;3 cắt trục toạ độ A; B; C cho G trọng tâm tam giác ABC có phương trình ax by cz 18 0 Gía trị a b c qua C 10 Lời giải D 11 Chọn D A m;0;0 , B 0; n;0 , C 0;0; p Giả sử m00 1 0n0 2 00 p 3 cho G trọng tâm tam giác ABC nên cho P Phương trình mặt phẳng m 3 n 6 p 9 x y z 1 có dạng: m n p x y z 1 x y z 18 0 nên ta có: hay a 6, b 3, c 2 a b c 11 Câu 6: P : x y mz 0 và Q : x ny z 0 song [Mức độ 2] Cho hai mặt phẳng song với nhau.Tính tổng m n A 4, 25 B 4,5 C 2,5 Lời giải Chọn B n P 2;1; m n Q 1; n; Ta có P // Q n P ; n Q Do mặt phẳng phương Trang 4/10 D 2, 25 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Hay Câu 7: 2 k n P k n Q 1 k n m 2.n k 2 n m n 4,5 m 4 : m x y m z 0 Oxyz [Mức độ 2] Trong không gian cho mặt phẳng : x m2 y z 1 0 m Tìm m để A m 1 B m C Lời giải m D m 2 Chọn D n P m ; 1; m n Q 2; m2 ; Ta có , Do mặt phẳng n n n n 0 2m2 m2 m2 0 m2 4 m 2 Câu 8: [Mức độ 2] Tính góc hai mặt phẳng: o A 60 o B 30 P : x z 0 Oxy o C 45 Lời giải o D 90 Chọn D n P 1;0;1 n Oxy 0;0;1 Ta có 1 n P n Oxy cos P , Oxy cos n P ; n Oxy 2 n P n Oxy Và: P , Oxy 45o Hay Câu 9: M m,1; P : x y z 0 m thuộc khoảng [Mức độ 2] Điểm thuộc mặt phẳng khoảng sau đây? A 0; B 2;0 2; C Lời giải D 2;3 Chọn B M m;1;6 P : x y z 0 m y 0 m 1 0; Điểm thuộc mặt phẳng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 10: [2H3-2.1-1] (THPT Ngô Quyền - Hà Nội - Lần 01 - Năm 2018 - 2019) Toạ độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng A Trang 5/10 2; 3; B qua ba điểm 6; 4; 3 M 2;0;0 N 0; 3;0 P 0;0; , , C 6; 4;3 D 6; 4;3 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Lời giải Chọn B MN 2; 3;0 , NP 0;3; , MN , NP 12;8; Ta có Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng MN n n MN , NP 6; 4; 3 n NP M , N , P Do qua ba điểm nên , ta chọn Câu 11: [2H3-2.1-2] (THPT Cụm Trần Kim Hưng - Hưng Yên - Năm 2018 - 2019) Trong không A 3; 1; 3 B 1; 3;1 P mặt phẳng trung trực gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm , P có tọa độ là: đoạn thẳng AB Một vectơ pháp tuyến A 1; 3;1 B 1;1; 3; 1; 3 C Lời giải Chọn D D 1; 2; 1 AB 2; 4; mặt phẳng trung trực AB nên nhận làm véctơ pháp tuyến u 1; 2; 1 AB P Suy véctơ pháp tuyến P P : x y z 0 qua điểm Câu 12: [2H3-2.4-1] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đây? A M 1; 1; 1 B N 1;1;1 C Lời giải P 3; 0; D Q 0;0; 3 Chọn B Điểm N 1;1;1 có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng P nên N P Câu 13: [2H3-2.5-1] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần - 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x y z 0 , Q : x y z 0 Tính góc hai mặt phẳng o A 60 o B 45 o C 120 Lời giải o D 30 Chọn A nP 1; 2; 1 P véctơ pháp tuyến nQ 1;1; Q véctơ pháp tuyến P Gọi góc hai mặt phẳng Trang 6/10 nP nQ 1 cos 60o nP nQ 6 Q PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Câu 14: [2H3-2.3-1] (THPT Trần Phú - Hải Phòng - Lần 03 - Năm - 2018 -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x – 2y 2z – 0 Q : mx y – 2z 0 Với giá trị m hai mặt phẳng vng góc với nhau? A m 1 B m C m Lời giải D m 6 Chọn D P : x – 2y 2z – 0 Q : mx y – 2z 1 0 có véc-tơ pháp Ta có mặt phẳng n1 1; 2; n2 m;1; tuyến P Q vng góc với Hai mặt phẳng n Câu 15: 1.n2 0 m 0 m 6 [2H3-2.11-2] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Năm 2019 A 2; 1;5 B 0;1;3 2020) Trong không gian Oxyz Cho hai điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình A x y z 0 B x y z 0 C x y z 0 Lời giải D x y z 0 Chọn B I 1;0; Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB , suy P mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB , ta có P AB P AB 2; 2; 1; 1;1 Nên mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến suy Gọi nhận véc-tơ n 1; 1;1 làm véc-tơ pháp tuyến P I 1;0; n 1; 1;1 Mặt phẳng qua có vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1 x 1 1 y 1 z 0 x y z 0 Câu 16: [2H3-2.11-2] (Love book - Đề số 15 - Năm 2018 - 2019) Cho ba điểm M (0; 2; 0); N (0;0;1); A(3; 2;1) Lập phương trình mặt phẳng ( MNP) biết điểm P hình chiếu vng góc điểm A lên trục Ox x y z 1 A x y z 1 B x y z 1 C 1 Lời giải Chọn D Có P(3;0; 0) x y z ( MNP) : 1 Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, có Trang 7/10 x y z 1 D PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Câu 17: [2H3-2.5-2] (THPT Nguyễn Khuyến-Lần 5-2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm H 2;1; , H hình chiếu vng góc gốc tọa độ O xuống mặt phẳng P , số đo góc mặt P A 60 B 30 Chọn C Q : x y 11 0 mặt phẳng 0 D 90 C 45 Lời giải P qua O nhận OH 2;1; làm VTPT Q : x có VTPT OH n cos P , Q P , Q 450 OH n Ta có n 1;1; y 11 0 Câu 18: [2H3-2.3-2] (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 05 - Năm 2018 - 2019) Trong không A 0;1;1 , B 1; 0;0 P : x y z 0 Q mặt phẳng gian Oxyz , cho mặt phẳng song song với P Q C cho CA 2CB Mặt phẳng đồng thời đường thẳng AB cắt Q có phương trình là: 0 A x y z 0 B x y z 0 x y z 0 C D x y z 0 x y z 0 Lời giải Chọn A Vì A, B, C thẳng hàng CA 2CB nên x yz CA 2CB OC 2OB OA CA 2CB 3OC 2OB OA Mặt phẳng x yz Q C 2; 1; 1 C 2;1;1 3 P nên phương trình mặt phẳng Q là: qua C song song với mặt phẳng 0 x y z 0 Câu 19: [2H3-2.4-2] (THPT Sơn Tây- Hà Nội- Lần 02- Năm 2018- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng M a; b; c P A Chọn A Trang 8/10 P : x y z 0 điểm A 1; 2;3 cho AM 4 Tính a b c B C Lời giải D 12 Gọi PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 d A, P 4 33 22 1 4 AM M hình chiếu vng góc A lên P M P P n 2; 2;1 AM a 1; b 2; c 3 phương với VTPT Ta có: a 2a 2b c 0 a b c b c a b c Tọa độ M nghiệm hệ: Câu 20: [2H3-2.4-3] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 01 - Năm 2018 - 2019) Trong P : x y z 0 hai điểm A 3; 4;1 ; không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng B 7; 4; 3 P cho tam giác ABM vuông M có thuộc diện tích nhỏ Khi giá trị biểu thức T a b c bằng: Điểm M a; b; c a A T 6 B T 8 C T 4 Lời giải D T 0 Chọn D S ABM AB.MH Ta có: với H hình chiếu vng góc M lên AB Do AB không đổi nên S ABM nhỏ MH nhỏ AB 4; 8; AB.nP 0 AB / /( P ) n 1;1; P MH nhỏ M nằm giao tuyến mặt phẳng Q P ; Q mặt phẳng chứa AB vng góc với mp P với AB 4; 8; n Q 3;0;3 n 1;1; Q x z 0 P phương trình mp M nằm giao tuyến mặt phẳng Q P nên tọa độ M nghiệm hệ phương x t y 2 2t M t ; 2t ; t z 4 t trình với t AM t 3; 2t ;3 t ; BM t 7;6 2t ;7 t Ta có Tam giác ABM vuông M nên AM BM 0 t 3 t 2t 2t t t 0 x z 0 x y z 0 t 3 n t 3 t t t 1 0 t 3t 0 t 5 l Trang 9/10 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 + t 3 M 3; 4;1 a b c 3 0 Câu 21: [2H3-2.3-3] (ĐTD - ĐỀ 01 - NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M –3; 2; điểm , gọi A , B , C hình chiếu M Ox , Oy , Oz Mặt phẳng sau song song với mp ABC ? A x y z 12 0 C x y z 12 0 B 3x y z 12 0 D x y 3z 12 0 Lời giải Chọn C A 3;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0; AB 3; 2; , AC 3;0; ; AB, AC 8; 12; 2 4; 6; Vậy ABC qua điểm A 3;0; có véc tơ pháp tuyến n 4; 6; 3 có phương trình Mặt phẳng x 3 y z 0 x y z 12 0 Câu 22: [2H3-2.5-3] (SGD Đà Nẵng - Năm 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 0;0 B 0;0;1 P : x y z 0 Tọa độ điểm C trục Oy , mặt phẳng cho mặt phẳng ABC 2 C 0; ; A hợp với mặt P góc 45 C 0; ;0 B 2 C 0; ;0 C Lời giải C 0; ;0 D Chọn D AB 1;0;1 n AB; AC m; 1; m C 0; m;0 Oy AC 1; m; Lấy ; ABC P Mặt phẳng có VTPT Ycbt Tìm m cho 16m 8m 0 m n2 2; 2; 1 n 2 m n2 cos 45 cos n1 ; n2 n1 n2 2m 1 C 0; ;0 thoả ycbt Vậy Trang 10/10 VTPT