Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 TP Hải Phòng Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức a a b2 a a b2 a a 2b A : a a b2 a a b b2 a b 0 (với ) 3 Câu 27 b) Chứng minh (trong biểu thức chứa có 2023 dấu tử số 2022 dấu mẫu số) (2,0 điểm) x 4m 1 x 4m 0 a) Cho phương trình (với m tham số ) x ,x x x1 x2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện Câu 2 x 3 x y 2 y 1 x y b) Giải hệ phương trình (2,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để x 14 x x số phương b) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh xz y2 x 2z y yz xz yz x z Câu O Kẻ đường cao AH (3,0 điểm) Cho ABC nhọn không cân đỉnh A, nội tiếp đường tròn ABC H BC Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ H đến đường thẳng AB , AC a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp O b) Hai đường thẳng PQ BC cắt M , đường thẳng AM cắt đường tròn điểm thứ hai K ( K khác A ) Chứng minh MH MK MA c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP Chứng minh ba điểm I , H , K thẳng hàng CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ cạnh hình vng cho đặt vào hình trịn có bán kính 1, biết hình trịn đơi khơng có q điểm chung.1 Ý -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức a a b2 a a b2 a a 2b A : a a b2 a a b b2 a b 0 (với ) 3 6 b) Chứng minh dấu tử số 2022 dấu mẫu số) Lời giải 27 (trong biểu thức chứa có 2023 ỉa - a2 - b2 a + a2 - b2 ÷ a4 - a2b2 ỗ ữ ỗ A =ỗ ữ: 2 2 ữ ỗ ữ b2 ỗ a b 0 a + a b a a b è ø a) Với ta có a a b a a b a a b a a b 2 2 2 2 b2 a a 2b 4a a b b2 a a b a a a a b2 3 A 3 b) Đặt a (Với 2023 dấu căn) suy a (Với 2022 dấu căn) Và 3 a A a 6 a 1 Ta có a (Với 2023 dấu căn) a 3 1 3 a 2, a Ta có Từ 2 3 2 1 3 a 2, 27 A 27 suy CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x 4m 1 x 4m 0 (với m tham số ) x x2 x ,x x 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 2 x 3 x y y 1 x y b) Giải hệ phương trình Lời giải a) Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình cho x x2 x x x1 x x2 x2 x1 x2 x1 x2 Ta có 4m m m m m m 4 1 1 m m Vậy 2 x 3 x y y 1 x y b) Giải hệ phương trình I ĐKXĐ: x 0, y 0, x y 0 I x 0, y Với x 0 , y 0 không thoả mãn hệ phương trình Do đó: 2 x 3 x y y 1 x y 1 x y (1) 1 x y x 1 (2) x y y x y x y Do x+ y >0 nên từ (2) suy x y 0 Nhân vế với vế (1) (2) ta có: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x xy y 0 x y x y 0 x y 4x y x y x y Vì x 0, y nên x y (không thoả mãn) Với x y ta có Ta thấy 2 x; y 1;1 x x 2 thoả mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu x 1 y 1 x I x; y 1;1 (2,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để x 14 x x số phương b) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh xz y2 x 2z y yz xz yz x z Lời giải * 3 2 a) Vì x 14 x x số phương, nên ta có x 14 x x k với k N Ta có Đặt x 14 x x x x x x x x 3 k x 2, x Gọi Ta có x 3 d x 2, x * với d x 3 d x 2d x x d x x 4d Ta lại có x x 3d x x 3 x x d 1d d 1 x 2, x2 x 3 1 mà x x2 x 3 k nên ta có x x2 x số Vậy phương Cách 1: * 2 Đặt x a x x b với a, b N Vì x nguyên dương nên ta có 2 x b x 12 x x b x CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b x 1 x x 4 x x x 2 Vì b lẻ nên 2 Với x 2 ta có x 14 x x 100 10 số phương Cách 2 * Vì x x số phương, đặt x x b (b N ) x x b 16 x 24 x 4b 21 (4 x 3) 4b 21 (4 x 2b)(4 x 2b) 21 Vì x 2b x 2b ; x 2b 9 với x, b nguyên dương nên ta có: x 2b 21 x 2b 1 4 x 2b 18 4 x 2b 4 x 2b 18 4 x 2b x 2 b 4 (Thỏa mãn điều kiện) Với x = ta có x + = số phương Vậy giá trị x cần tìm x = b) Với x 0, y 0, z ta có xz y2 x 2z y yz xz yz x z y2 x 2z 2z y 1 1 yz y x x z xz z y x z y 1 1 1 1 yz x z y x yz xz yz a2 b2 2c x y z a ; b2 ; c 2 b 1 a 1 c y z x a 0, b 0, c 0, c 1 x z Ta có a2 b2 2ab b a ab 1 a a 1 ab 1 b b 1 ab 1 2ab a 1 b 1 a ab a b a b a 1 b 1 ab 1 a ab b a b 1 b 1 ab 1 a2 b2 2ab c b 1 a 1 ab 1 1 c c Do CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 0 1 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Đẳng thức xảy a b Khi 2 2 2c 2.2 c c 2c c c c c 1 2 c c2 1 c 3c 3c c3 0 c 1 1 c 1 c2 c c Từ Câu 1 2 2 suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy x y z O Kẻ đường cao AH (3,0 điểm) Cho ABC nhọn khơng cân đỉnh A, nội tiếp đường trịn ABC H BC Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ H đến đường thẳng AB , AC a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp O b) Hai đường thẳng PQ BC cắt M , đường thẳng AM cắt đường tròn điểm thứ hai K ( K khác A ) Chứng minh MH MK MA c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP Chứng minh ba điểm I , H , K thẳng hàng Lời giải A J K O Q P M B C H I D a) APH AQH 900 900 1800 HP AB, HQ AC Tứ giác APHQ nội tiếp PQA PHA mà PHA PBC (cùng phụ BAH ) Do PQA PBC Tứ giác BPQC nội tiếp CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b) MPB MBK MCQ (g.g) MAC (g.g) MP MB MP.MQ MB.MC MC MQ MK MB MK MA MB.MC MC MA 1 2 BAH Ta có BHP (cùng phụ AHP ) ) BAH PQH (hai góc nội tiếp chắn HP BHP PQH MHP Từ 1 , MH MP MQH (g.g) MQ MH MH MP.MQ 3 3 suy MH MK MA O ABD 900 c) Vẽ đường kính AD đường trịn Ta có DAC AQP = DBC ABC = ABD 90 AD PQ MKH MHA 900 MHA (c.g.c) MKH HK AM K thuộc đường trịn đường kính AH 4 Gọi J trung điểm AH Ta có J tâm đường trịn qua điểm A, K , P, H , Q I J cắt P, Q IJ PQ (tính chất đường nối tâm ) mà AD PQ Có AD //IJ Ta có AO //IJ AJ //OI Tứ giác AJOI hình bình hành AJ JH OI mà AH //OI Tứ giác JOIH hình bình hành IH //OJ Câu IH AM mà OJ AK ( tính chất đường nối tâm ) , I , H , K thẳng hàng Từ (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ cạnh hình vng cho đặt vào hình trịn có bán kính 1, biết hình trịn đơi khơng có q điểm chung Lời giải Gọi độ dài nhỏ cạnh hình vng ABCD thoả mãn u cầu đề x Từ suy tâm hình trịn nằm cạnh hình vng MNPQ có cạnh x (như hình vẽ) Chia hình vng MNPQ thành hình vng nhỏ có độ dài cạnh CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 x 2 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Theo ngun lí Dirichlet có hai tâm hình trịn nằm cạnh hình vng nhỏ Giả sử hai tâm I J x A M B x-2 N I J Q P D C Vì hai hình trịn có khơng q điểm chung nên IJ khơng nhỏ hai lần bán kính x không lớn độ dài đường chéo hình vng cạnh IJ x 2 2 Suy x 2 x 2 x 2 2 Vậy độ dài nhỏ cạnh hình vng cần tìm 2 -Hết Quy định gõ lời giải: Phông chữ:Times New Roman, cỡ chữ 12 Công thức gõ mathtype, cỡ chữ 12 Hình vẽ vẽ phần mềm: geogebra; Geometer’s Sketchpad Tên file: stt+ hsg9+ tên tỉnh Ví dụ: 1.hsg9 An Giang.docx CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang