03 hsg9 bắc giang 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Bắc Giang I Trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1 Cho đ[.]

Trang 1

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023

Tinh Bac Giang

I Trac nghiém (7 diém) Cau 1

Cau 5

Cau 7

a

Cho đường trịn tâm Ĩ có bán kính R day cung AB = 6 Biét AOB = 120° (nhw hinh vé)

Diện tích Ø của phân hình trịn giới hạn bởi cung ø nhỏ AB và dây AP băng

A § = 3(3r— 3) meme A ae

C 9= 4x— 343 D 9= 3|3z — V3]

Có tất cả bao nhiêu số nguyên ?n để hàm số = (7 — m) x + Jm-+2 d6ng bién trén R

A 11 B 8 C 9 D 12

# + 1n = m

2

Hệ phương trình |

†n# — 1HỤ — Tmˆ — 2 (m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với

—2023 < m < 2023 để hệ có nghiệm duy nhất (z,;„) thỏa mãnz; — 2z, —y, > 0?

A 2023 B 4043 C 2022 D 4044

Tính tơng tất cả các giá trị của tham số?n.,„ biết rằng phương trinh 2? — 3ma — 2m = 0 có hai x + 3maz, + 6m ?

nghiệm phân biệt z ;z, thỏa mãn— T > + + lại = 4

m x, + 3M, +6m

A =3 B.—” 23 c= 17 p = 153

Khi z =1 + Ÿ2 thì biểu thie P = x* — 52° + 92? — 127 +6 co gid tri bang a + /b Gid tri

của 2a — ö là

A 48 B 6 C 36 D 0

Cho hai điểm ,Ở thuộc đường tròn (O} voi BOC = 100° Cac tiép tuyén ctia đường tròn (0)

tai B va C cat nhau tai A S6 do gdc ABC băng

A 50° B 45° C 40° D 55°

023 2

Cho biểu thức f(a 2z” — 21z + 2022)" Tính gia tri cua biêu thức ƒ (z) tại J2

r= 3 7 + 442 49 3 7 — —

\ 2

A 2025”, C 1 D 2050”

Trang 2

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Cau 8 Cau 10 Cau 11 Cau 12 Cau 13 Cau 14 Cau 15 Cau 16 Cau 17

Trong mặt phắng tọa độ Oz gọi M (x;y, ) la hình chiếu vng góc của diém O lên đường

thang d: y = mx — m — 2 (với mm là tham số) Khi độ dài đoạn thăng OAZ đạt giá trị lớn nhất,

tinh P= x, + 20,

A P =-3 B P =1 C P =2 D P = -2

ctmy=m+i1

Biét hé phuong trinh (với rm là tham số) vô nghiệm Giá trị của rm là maz +y = 3m — Ì

Á m = +] B.m =0 C.m=-1 D m = 1

Cho tam giác ABØ vuông tại 4, AŒ = 10N3 em Gọi M là trung điểm của BƠ Khi tam giác AMB là tam giác đều, tính chiều cao của tam giác ABC ké tir A

A 10cm B 6V3.cm Œ 9cm D 5V3cm

Trong mat phang toa dé Oxy , goi A,B 1a hai diém thay déi thudc hai tia Ox,Oy tương ứng sao cho ba diém A,B va M (2: 1) luôn thăng hàng Diện tích tam giác O4 có giá trị nhỏ nhất là

A 6 B 4 C.8 D 2

59 _

Biss

Tính giá trị của biểu thức ø + + e-+ đ

A.2 B 1 C 3 D 0

Cho tam giac ABC cân tại A4 với 4? = 9,8Œ = 12 và Ä là trung điêm của đoạn BƠ Gọi H là chân đường cao của tam giác 4M kẻ từ M⁄ ;7,K lần lượt là trung điểm của doan MH, BH Đường thăng 47 cắt MK tạiF, giá trị của 47.4 bằng

A 32 B 34 C 33 D 35

Trong mặt phăng tọa độ Oz, gọi (z,:z,) là giao điểm của hai đường thắng = 2z + 3 và Biét rang A = [avs + bv5 + e7)(d 15 — 1 voi a,b,c,d la cdc số nguyên

= —# + 1 Giá trị của biểu thitc x, + 4y, bang

A —2 B 6 C —1 D

Cho đường tròn tâm O co ban kinh R = 16cm day cung AB = 20cm Trén day AB lay diém

C sao cho AC = 8§em Gọi D là hình chiếu vng góc của Œ lên đường kính 47 của đường trịn tâm O Tính độ dài đoạn thang AD

A Sem B em Œ 6cm D 5cm

Phương trình #Ÿ” — 4z + mm — 1 = 0 (?n là tham số) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0 khi và

chỉ khi

A.?m >0 B l<?mn <5 Œ.1<m <5 D m < 5

Cho hai đường tròn (O:6 em) và (O!;8em) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A4,Đ và

OAO' = 90° Duong thang d qua 4 cắt đường trịn tâm Ĩ và đường tròn tâm O' lân lượt tại

Œ và D (C,D đều khác A ) Giá trị lớn nhất của độ dai doan thing CD là

A 20cm B 30cm C 24cm D 25cm

Trang 3

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Câu 18 Cho đường trịn tâm Ĩ có bán kính R va hai day cung A4,CD vuông góc với nhau tại 7 Biết

Câu 19

Câu 20

TƠ = 4.ID = 19,IB — 6 Tính đ

A R=8 B R=V66 C R= 6ä D R=V65

Trong mat phang toa dd Oxy , cho dudng thang d: y = mx va parbol (P) rủ = ø ˆ(m là tham số) Tính tích tất cả các gia tricua m dé d cat (P) tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách

giữa hai điểm đó bằng V6

A TA, B.2 C.—2 D —6

Cho các số thực z,,z thỏa mãn (3z — y) +e +11+ 8Vxr—5 + |e +ø”+ 2 = 4 Giá trị của

biểu thức P = |: ++ 2| bằng I Tự luận (3 điểm) Câu 1 Câu 3 Câu 4 A.P=30 B P = 31 C P =15 D P = 20 (6,0 diém) 1 1 Ve 2z — xz +1 Vx x — INEZ +—= + +2 2jz—1 — 4-1 Vx 2

b) Cho hai số thực z, thỏa mãn [0 +a" +1](y +afy + i = 2 Tinh

Q=afy +1+?\z +1

2 Tim tat cả các giá trị của tham số zn để phương trình zŸ — 2z + rn + 2 = 0 có hai nghiệm

a) Rút gọn biểu thức P = .: 1 VỚI z> 08 A [A 2 ~ 2 — phân biệt z,;z+, thỏa mãn ø¡ = 2z,

3 Giải phương trình 4(ø — 9)Alz + va” —1 = 9(+? — 3z + 9)A3z — 2

(3,0 diém)

1 Cho hai đa thức A(x) = 82° — 42? +3741 và J(z) = 2z” — 4z? + 5z + 4 Biết

Am) =2 và BÍn) =5, với :n;n là hai số thực Chứng minh răng: 2n + n = 1 2

2 Cho các số nguyên dương z„ thỏa mãn weet la s6 nguyén Chimg minh rang z.y la ry +y+2

sơ chính phương

(6,0 điềm) Cho hai đường tròn (O;#) va (O';R') (voi R > R") cắt nhau tại hai điểm phân biệt

A và P Đường thắng ở thay đổi qua 4 cắt hai đường tròn (0: R) va lơ R') lan luot tai M,N(M,N khac A) va A thudéc doan thing MN Cac tiép tuyén voi duong tron (0: R) tai M

và đường tròn (o' :R') tại N cắt nhau tại K

1 Chứng minh tứ giác M/BNE nội tiếp

2 Gọi P,Q,H tương ứng là hình chiêu vng góc của điêm ? lên các duong thang KM, KN va MN Ching minh răng ba diém P, H,Q thăng hàng và đường thang PQ luôn tiếp xúc với một đường trịn cơ định

3 Chứng minh rằng PW = Qï#ï khi các đường phân giác trong của góc Ä#KN và MBN cắt nhau tại một điểm năm trên đường thắng M |

(1,0 điểm) Cho ba số đương a,b,c thỏa mana’ + 6? +c? =1 Chimg minh rang

Trang 4

a b C 3\J3

2 2 + 2 2 + 2 2 >

b° +c c +a a +6 2

HUONG DAN GIAI

e Gido viên góp đề và hướng dân: Trần Thị Hoa SĐT: 0964.331.668

e_ Giáo viên góp đề và hướng dân: Bùi Văn Hưởng SĐT: 0976.074.495 I Trắc nghiệm (7 điểm)

Cau 1

Cau 6

—m——_B

Cho đường tròn tâm Ĩ có bán kính # dây cung 1ð = 6 Biết 4O = 120° (như hình vẽ)

Diện tích Ø của phân hình trịn giới hạn bởi cung nhỏ 4Ø và dây 4? băng

A 8= 3|3m — v3) B.9=2|3m — v3]

C.8— án =3 3, D 9 = 3|3z — v2]

Có tất cả bao nhiêu số nguyên ?n, để hàm số — (7 — m) z + Am +2 đồng biến trên IR

A 11 B 8 C 9 D 12

# + 1n = m

2 (m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với †n# — THỊỤ — †nˆ — 2

Hệ phương trình |

—2023 < mm < 2023 để hệ có nghiệm duy nhất (z„;„) thỏa mãn øj — 2z, — g, > 0?

A 2023 B 4043 C 2022 D 4044

Tính tông tất cả các giá trị của tham sốn.„ biết răng phương trình z° — 3zmz+ — 2m = 0 có hai x + 3mz, + 6m mi

nghiệm phân biệt + ;z, thỏa mãn ; =4

m x, + 3mx, + 6m 7

A =8 C.- 17 D.^, 153

Khi z =1 + Ÿ2 thì biểu thức P = #* — 5z + 9z? —12z-+6 có giá trị bằng a + ‡fb Giá trị

của 2a — ö là

A 48 B 6 C 36 D 0

_—

Cho hai diém B,C thuộc đường tròn (0) voi BOC = 100° Các tiếp tuyến của đường tròn (0)

tại B va Œ cắt nhau tại 4 Số đo góc A4BƠ bằng

A 50° B 45° C 40° D 55°

Trang 5

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Cau 7 Cau 8 Cau 10 Cau 11 Cau 12 Cau 13 Cau 14 Cau 15 Cau 16 2 2023 2

Cho biểu thức f (x) = (22° — 21x + 2022) _ Tinh giá trị của biểu thức f(x) tại

sf V3 an 1 8

A 202522 B —1 C1 D 2050292,

Trong mặt phăng tọa độ Oz gọi (x,;4,) la hinh chiéu vudng géc cia diém O lên đường

thang d: y = mx — m — 2 (với rn là tham số) Khi d6 dai doan thang OM dat gia trị lớn nhất,

tinh P= x, + 2y,

A P=-3 B P=1 C P =2 D P =-2

# + 1m =m + Ì " , ¬

(với ?m, là tham sô) vô nghiệm Giá trỊ của ?n, là maz +y = 3m — Ì

A m= +1 B.m=0 C.m=-1 D.m=1

Cho tam giac ABC vu6ng taiA, AC =10V3cm Goi M latrung diém cia BC Khi tam giác Biét hé phuong trinh |

AMB là tam giác đều, tính chiều cao của tam giác 4Ø kẻ từ A

A 10cm B 6V3 cm Œ 9cm D 543cm

Trong mặt phăng tọa độ Oz, gọi A,B là hai điểm thay đổi thuộc hai tia Óz,Ó/ tương ứng sao cho ba diém A,B va M (2: 1) ludn thang hang Dién tich tam giac OAB có giá trị nhỏ nhất là

A 6 B.4 C 8 D 2

OF = [avs + bAl5 + evi) (d 15 — | với œ„b,c,d là các số nguyên

M3 + x5 + vĩ

Tinh giá trị của biểu thức ø + b + e + đ

A 2 B 1 C.3 D 0

Cho tam giác ABC cantai A vo1 41B =9,BC = 12 và M là trung điểm của đoạn BƠ Gọi H là chân đường cao của tam giac AMB kẻ từA⁄/;7,K lân lượt là trung điểm của đoạn MH,BH Đường thang AI cat MK tại, giá trị của AI.AE bang

A 32 B 34 C 33 D 35

Trong mặt phăng tọa độ Oz, gọi Ä⁄ (z,:1,) là giao điểm của hai đường thăng = 2z + 3 và Biét rang A =

= —z + 1 Giá trị của biểu thức đụ + 4y, bang

C —1 p.E”

3

Cho đường tròn tâm O co ban kinh R = 16cm day cung AB = 20cm Trén day AB lay diém

A —2

C sao cho AC = 8cm Goi D 1a hinh chiéu vng góc của C lên đường kính 4# của đường tron tam O Tinh d6 dai doan thang AD

A, som B em Œ 6cm D.5em

Phương trình #Ÿ — 4z + mm — 1 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0 khi và

chỉ khi

Am >0, BSMHSốŠ — C1l<m<5 7 Dm<5

Trang 6

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Cau 17 Cho hai duong tron O:6 em) và (O';8em) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B va

OAO' = 90° Duong thang ở qua 4 cắt đường tròn tâm O và đường tròn tâm O' lân lượt tại

Œ và D (C,D đều khác 4) Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thắng Ø7 là

A 20cm, B 30cm C 24cm D 25 cm

Câu 18 Cho đường trịn tâm Ĩ có bán kính ?? và hai dây cung 18,CD vng góc với nhau tại 7 Biết

IC =4,ID = 12,IB =6 Tinh R

A R=8 B R =V66 C R= V6 bp R= 65

CAu 19 Trong mat phang toa dé Oxy , cho dudng thang d: y = ma va parbol (P) rủ = ø ˆ(m là tham số) Tính tích tat cả các giá trictia m dé d cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách

giữa hai điểm đó bằng V6

A =4 B 2 Œ —2 D —6

z 2

Cau 20 Cho cac sé thuc x,y,z thoa man (3z — y) +e +114 8V2—5 + |» +?+ 2 = 4 Gia tri cua

biểu thức P = |: ++ 2| bằng

A.P=30 B P = 31 C.P=15 D P = 20 II Tw ludn (3 diém)

Câu 1 (6,0 diém)

1

vr — 2r-Vr+l|[ Tp La .|#Wz +—+—+2

2 —1 4z — Ì Vr 2

b) Cho hai số thực z, thỏa mãn [0 +a" +1](y +afy + i = 2 Tinh

Qa=ayy +l+yv2’ +1

2 Tim tat cả các giá trị của tham số zn để phương trình #Ÿˆ — 2z -Ƒ mm -Ƒ 2 = 0 có hai nghiệm

.: 1 VỚI z> 08 a) Rút gọn biểu thức P =

phân biệt z;z, thỏa mãn đc = 2x,

3 Giải phương trình 4(ø — 2)Nz + Ý+” —1 = 9(2” —3r+ 2)v2z —9 Lời giải 1) 1 a) Vol x >0 va x #7, taco: Vx (2Vx +1 2x-Vx +1 m= nh nàn IỆ Vy 5) l 2) 2x+Xx 2x-Nx +Ì 2jx+I

- Gale Ray Bên Bến ) || 2 y Pas +l) ề oy a

_|_2Ve-1 fae fay

_ (2x +1)(2vx-1) sa \| 4

Trang 7

_x, 2 Vx 1 _avx+2 2N\Nx -

KL

b) Từ giả thiết ta được (x+vx +IÌ(»+jy +1)=2

e xytoayy? +1+y\x?+I++? +1Ajy? +1=2 (I)

ýx?+1—x>vx? =x=|a|—x>0,Vx và tương tự \jJy?+1—=y>vy?—y=|y|—-y>0,Wy (x+ V2? +1)(y+ Jv +1)=2 2 (Vx? +1-x)(Jy' +1-¥)=

ewe Healy stave +1 +129 =-5 (2)

I 2

Cộng theo về của (1) và (2) ta được: xy +14 y¥x°4+1= T

KU

2) Ta có A'=—I—m: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

A'>0œ©-1-m>0m<~—1 (*)

x+z,=2 (I)

Theo định ly Vi-et ta được

x,.X,=m+2 (2)

` ti tA 2 x 2 x, =-2>%x,=4

Từ giả thiệt x; = x, và (1) taduge x) +x,-2=00

x=1 >x,=1

So sánh với điều kiện ta được x=-2; x,=4

Thay x,=-~2; x, =4 vào (2) ta được m = —10 (thỏa mãn điều kiện (*) )

KL

2x-2>0

3) Điều kiện xác định: ©x>I1 Với điều kiện trên:

L +¥x°-1>0

Phương trình tương đương với (x— 2) avs +x? -1-9(x-1)V2x- | =0

x=2 (1) oe =9(x-I)2x-2 (2) Phuong trinh (2) <> 2f(x—1) + 24[(x=1) (x +1) +(x 41) = 9(x-1)Vx-1 ©2(dx-1+vx+1) =9(x-1)x-1

Trang 8

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 = 2(vx-14+Vx+1)=9(x-1)Vx-1 (3) © 3Vx—1[3(x-1)-2]+2(2Vx-1-Vx+1)=0 2 We=I(3x-8)+2{ | =-0 © (3s-5)[ VT} =0

Do x2=1>3Vx-1+ 1 >0O nén phuong trinh tuong duong voi 2Vx-l+vVx+4+1

3x-5=0e x=2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có tap nghiém la S = {2 ;|

Câu 2 (3,0 điểm)

1 Cho hai đa thức A(x) — 8z” — 4z” + 3z +1 và J(z) = 2z” — 4z? + 5z + 4 Biết Am) =2 và BÍn) =5, với ; là hai số thực Chứng minh răng: 2 + nø = 1

7497-1 ¬

2 Cho các sô nguyên dương z,¡ thỏa mãn ver là sô nguyên Chứng minh răng z./ là ø + +2

sơ chính phương

Lời giải

1 Ta ching minh néu B(a)= B(b) > a=b (*) Thật vậy 2a—`—4a”+5a+4= 2b`—4b” +5b+ 4

Do 2a° +2ab+ 2b’ -4(a+b)+5=(at+b-2) +a’ +b? +1>0 Va, b

Nên từ (1) ta duge a—b=O0>a=b

Ta duge B(1—2m)=2(1-2m) —4(1-2m) +5(1-2m)+4

= -2(8m’ - 4m’ +3m+1)+9 =-2A(m)+9

=-22+9

=5 (do 4(m)=2) (2)

Từ (1) va (2) ta được B(n)= B(1-2m) Ap dung tinh chat (*) suy ra n=1-2m hay

2m+n =1 (Điều phải chứng minh)

Trang 9

2 — 2 Do x tenet Z nén x°+2x-1:(xy+y+2) (1) xy+ y+2 Câu 3 =(x+I'~2iy(x+1)+2=z|(x+1}°~2 #(x+1)+2 =(z+])| y(x+1!)+2|-|[2(x+1)+2y |:y(x+1)+2

=2(x+l)+2y:y(x+l)+2=2(z+l)+2y> y(x+1)+2 (do x, y nguyên dương)

= (x-1)(v-2)<2 (2)

+ Với y=] thay vào (I)

x7 +2x—l:x+3—(x+3)(x-3)+2(x+3)+2:x+2—2:x+2 (không thỏa mãn)

phải có

Vì x>I1, y>2 và (x-I)(y-2)e<NĐ, kết hợp với (2) suy ra (x—1)(y—2) <{0;1;2}

x=l

(x-1)(>-2)=2

Thay lại vao (1) ta thấy chỉ có (x; y) = (3:3) thỏa mãn suy ra xy = 9 là số chính phương

(dpcm)

(6,0 điềm) Cho hai đường tròn (O;#) va (O';R') (voi R > R') ct nhau tại hai điểm phân biệt

A và P Đường thắng ở thay đổi qua 4 cắt hai đường tròn (0: R) va lơ R') lan luot tai M,N(M,N khac A) va A thuéc doan thang MN Cac tiép tuyén voi duong tron (0: R) tai M

va đường tròn (0! :R') tại N cat nhau tai K

1 Chimg minh tt giac MBNK nội tiếp

2 Gọi P,Q,H tương ứng là hình chiêu vng góc của điêm # lên các duong thang KM, KN va MN Ching minh rang ba điểm P, ï,Q thăng hàng và đường thang PQ luôn tiếp xúc với một đường trịn cơ định

3 Chứng minh rằng PW = Qï#ï khi các đường phân giác trong của góc Ä#KN và MBN cắt nhau tại một điểm năm trên đường thắng M |

Lời giải

Trang 10

1 Chứng minh

Ta có MBA= KMA hay MBA= KMN (1) đính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và

tính chất góc nội tiếp)

Tương tự VB4= KN4 hay NBA= KNM (2)

Ta có MBN = MBA+ NBA (3)

Tur (1), (2) va (3)ta duoc MBN = KMN+KNM (4)

Do KMN + KNM + MKN =180° => KMN + KNM =180°- MKN (5) Từ (4) và (5) ta được MBN + MKN =180° hay tứ giác M/BNK nội tiếp

2 Chứng minh

Từ giả thiết ta cũng có tứ giác PBOK nội tiếp nên PBÓ =180°- PKO (6) Từ (5) và (6) suy ra MBN = PBO => PBM = QBN (7)

Xét truong hop H thuộc đoạn 4X (các trường hop con lai tuong tu) Dé thay tir giac PM BH

nội tiếp vi MPB = MHB =90° va ONHB nội tiếp vì BHN + BỌN =180°, do dé PHM = MBP

(8) và HN = QBN (9)

Từ (7) (8) và (9) ta suy ra ba diém P, H, Q thang hàng

Trước hết do 87⁄4 = 90° nên điểm #7 thuộc đường trịn đường kính 4 (10)

Xét tứ giác nội tiép PMBH , taco:

HBM = 180°— HPM = PMH + PHM mà PMH = ABM suy ra HBM = PHM + ABM (11)

Trang 11

Mat khac, HBM = HBA+ ABM (12)

Tir (11) va (12) suy ra PHM = HBA (13)

Từ (10) và (13) suy ra đường thắng PO luôn tiếp xúc với dudng tron duong kinh 4B tai

điểm H

3

Gọi D là điểm đối xứng của điểm „⁄ qua điểm Ø

Gọi # là giao điểm của hai đường phân giác trong của góc MBN và MKN

Khi điểm # thuộc đường thắng A⁄N thì theo tính chất đường phân giác trong của tam giác ta có

MK MB( ME MK DB

KN BN\ EN KN BN

Mat khac, MKN = DBN (cùng bù với góc M8N ) (15)

Từ (14) và (15) suy ra AMKN ~ ADBN = MNK = DNB, NMK = NDB (16)

Do tứ giác P⁄BA⁄/ nội tiếp nên BPH = BMH hay BPO= BMN va BPH = NDB hay

BPO = NDB (= NDB) (17)

PH BP _ BP

Tu (16) va (17 APBH ~ AMDN (g — = — = —

tị ) va ( ) suy ra (8:8) = Tiny DM 2BM (18)

RaLA , PO BP

Dé thay AMBN ~ APBQO(g — =— (19

ma Ole 8) mg MN BM ( )

Tu (18) va (19) ta duoc PH == PO = HP = HO (dpcm)

(1,0 diém)

Cho ba số dương a,b,c théa mana’ + b? + c? = 1 Chimg minh rang

a b cos 3V3

+ + 2

P+e C+a @a@4+0 2

Loi giai

Do a, 6, c duong va a? +b? +c’ =1 nén 0<a, ð, e<1 và 1—a”, 1—ðˆ, 1—c” là các sô

duong

Áp dụng bất đăng thức Côsi cho ba số không âm 2a’, 1-a’, 1-a’ ta duoc

2a?+(I—=a?)+(I-4?)> 34l2a” (1-a’)(1-a’)

2 2a"(I-a)(I-a’) <=, du "=" xảy Ta ¬

Ta có:

Trang 12

2 2 2 2

Pe ~ PP ˆ i) ari - “ r > — (1)

J)22 (1-a’)(1-a’) —+—

2 2 27

Chứng minh tương tự, ta được:

b b bo b 5B _ 338? (2) 2 2ˆ 1—b? 4 — n2 \À — = 3 c+a b(1-2°) 5-20 (1-0) (1-2) m 2 2 2 27 2 2 2 2 a vP ˆ na - te) (I-c*)(1-c’) Ti “ r > ae (3) m 2 2 27 Cộng (1) (2) (3) theo về ta được: a b Cc 373 2 72 2 + + > a +bˆ+c P+ c+a ` da +bˆ 2 ) a b C 3/3 & + + > > (dpcm) b+c c+a ath 2

Dau "=" xay ra =a=b=e-SÔ

-Hết -