Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Hà Giang (4,0 điểm) P x x x x x x Với x rút gọn tìm giá trị a) Rút gọn biểu thức lớn biểu thức P 3 Q x x 17 b) Cho x Tính giá trị biểu thức Câu 2023 (4,0 điểm) P : y x P đường thẳng d : y 2 x m Tìm m để đường thẳng d cắt 3 hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 5 a) Cho Parabol x y 2 x 3y 12 x y 1 b) Giải hệ phương trình Câu (3,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Câu x y x y xy (4,0 điểm) Cho x , y, z ba số thực dương thỏa mãn x y z 2 xy yz zx 4 4 x y z3 xyz 2 xyz y z2 z2 x Chứng minh rằng: x y Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB AC M trung điểm cạnh BC Gọi P điểm đoạn AM ( P khác A M ) K , L điểm thuộc tia BP, CP cho I ngoại tiếp tam giác BPL cắt đường thẳng AB AKB ABC ALC ACB Đường tròn J ngoại tiếp tam giác CPK cắt đường thẳng AC điểm điểm F khác B Đường tròn E khác C a) Chứng minh BKA BAP đồng dạng b) Chứng minh đường thẳng IJ song song với EF -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4,0 điểm) P x x x x x x Với x rút gọn tìm giá trị a) Rút gọn biểu thức lớn biểu thức P 3 Q x x 17 x b) Cho Tính giá trị biểu thức Lời giải 2023 x x 1 x 1 3 P x x x x x 1 x x 1 x x 1 x a) Ta có: x x 1 P x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 Vậy 1 P x x 1 1 3 1 x 2 4 x 0 x +) Vì Dấu "=" xảy Max P x Vậy: x x 18 3 b) Từ Câu Q x x 17 2023 b) Giải hệ phương trình 18 17 2023 1 x 18 x x x 18 Khi đó: (4,0 điểm) P : y x đường thẳng d : y 2 x m Tìm m để đường thẳng d cắt P a) Cho Parabol 3 hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 5 x y 2 x 3y 12 x y 1 a) Phương trình hồnh độ giao điểm P +) Điều kiện để d cắt ' 1 m m 1 Lời giải x 2 x m x x m 0 (*) hai điểm phân biệt phương trình (*) có +) Với điều kiện theo Vi-Et ta có: x1 x2 2, x1 x2 m +) Theo đề x13 x23 5 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5 6m 5 m Vậy m (thỏa mãn) giá trị cần tìm CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x y 2 x y 12 x y 1 x y 2 x y 1 12 x y 1 b) ĐK: x 2, y Khi 1 x y 2 x 1 x 3 x y 3 y 2 7 1 x y y Vậy hệ có nghiệm nhất: Câu (Thỏa mãn) x, y 3;2 (3,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y xy Lời giải +) Từ x y x y xy x y xy x y xy a, b Z Khi ta có phương trình: a2 2b a b +) Đặt a x y, b xy a2 ab 2a 2b 7 a b a 7 Từ ta có bảng giá trị -1 -7 a -7 -1 a b a -5 -4 8 -4 b x Loại Loại Loại -1 -4 y Loại Loại Loại x, y 1; , 4;1 Vậy nghiệm nguyên phương trình (4,0 điểm) Câu Cho x , y, z ba số thực dương thỏa mãn x y z 2 xy yz zx 4 4 x y z3 xyz 2 xyz y z2 z2 x Chứng minh rằng: x y Lời giải +) Từ x y z 2 x y z 12 x y z xy yz zx 12 x y z2 2.4 12 x y z2 4 VT +) Khi đó: 4 x y z2 x y z2 x y z x y y z2 z2 x x y2 y z2 z2 x x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 1 1 1 2 3 2 x y2 y z z x x y y z z x x2 y2 z2 x3 y3 z3 x y z3 xyz VT 3 3 VP yz 2zx xy xyz xyz xyz xyz Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB AC M trung điểm cạnh BC Gọi P điểm đoạn AM ( P khác A M ) K , L điểm thuộc tia BP, CP cho CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 I ngoại tiếp tam giác BPL cắt đường thẳng AB AKB ABC ALC ACB Đường tròn J ngoại tiếp tam giác CPK cắt đường thẳng AC điểm điểm F khác B Đường tròn E khác C a) Chứng minh BKA BAP đồng dạng b) Chứng minh đường thẳng IJ song song với EF Lời giải AH BC H BC a) Kẻ Vì ABC vng A , AM trung tuyến MA MB MC MAB cân M MAB MBA AKB ABC MAB BKA BAP g.g BA BK BKA BAP AB BP.BK BP BA b) Vì +) Áp dụng hệ thức lượng ABC vuông A F I A N L E K B H P C M đường cao AH ta có: AB BH BC BH BK BH BC BP.BK BP BC +) Từ đó: J BHP BKC c.g.c BPH BCK HPKC tứ giác nội tiếp hay HPKC nội tiếp đường tròn J ALC ACB CAP CLA CAP g.g +) Tương tự: CL CA CA2 CP.CL I CA CP mà CA CH CB CP.CL CH CB PHBL nội tiếp I PFA PFB PHC FPHBL +) Vì nội tiếp ( góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) J PHC PEA CEKPH Vì nội tiếp (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) Suy PFA PEA APEF tứ giác nội tiếp FAE FPE 90 PE PF +) Kéo dài HP cắt EF N Vì CEPH APEF nội tiếp nên: NPE ACH PAC PFE NFP NPF 900 PNF 900 HP EF Mặt khác IJ HP (tính chất đường nối tâm) EF // IJ (cùng vng góc với HP ) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang