22 hsg9 ha giang 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Hà Giang Câu 1 (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu th[.]

Trang 1

Tỉnh Hà GiangCâu 1.(4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức 1 2 3 1.1 1 1        Pxxxx xx Vớix 0 rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

b) Cho x 39 4 5 39 4 5 Tính giá trị của biểu thức Qx33x172023

Câu 2.(4,0 điểm)

a) Cho Parabol  P :yx2 và đường thẳng d y: 2x m Tìm m để đường thẳng d cắt  P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn 1, 2 33

12 5x x b) Giải hệ phương trình 1 322 12 1 3 9122 1xyxyxy        Câu 3.(3,0 điểm)

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2y2 x y xy  2 7

Câu 4.(4,0 điểm)

Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa mãn x y z  2 3 và xy yz zx  4

Chứng minh rằng: 3332222224 4 4 62xyzxyzxyzxyyzzx      Câu 5.(5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AB, ACvà M là trung điểm cạnh BC Gọi P là một điểm bất kỳ trên đoạn AM ( P khác A và M ) K L, lần lượt là các điểm thuộc tia BP CP, sao cho

 

AKBABC và ALCACB Đường tròn

 I ngoại tiếp tam giác BPL cắt đường thẳng AB

tại điểm F khác B Đường tròn  J ngoại tiếp tam giác CPK cắt đường thẳng AC tại điểm E khác C

a) Chứng minh rằng BKAvà BAP đồng dạng

b) Chứng minh đường thẳng IJ song song với EF .

-Hết -

9

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.(4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức 1 2 3 1.1 1 1        Pxxxx xx Vớix 0 rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

b) Cho x 39 4 5 39 4 5 Tính giá trị của biểu thức Qx33x172023

Lời giải a) Ta có: 1 2 3 1.1 1 1        Pxxxx xx1 2 1 3 1.1 1xxxxxxx       1 1.11 1    xxxxxxxx Vậy 11Pxx +) Vì 1 1 2 431 1 32 4Pxxx        

Dấu "=" xảy ra khi 1 102 4x  xVậy: 43Max P  khi 14x b) Từ                  39 4 5 39 4 5 3 18 33 9 4 5 9 4 5 39 4 5 39 4 5xx3 18 3 3 3 18xxxx      Khi đó: Qx33x17202318 17 20231Câu 2.(4,0 điểm)

a) Cho Parabol  P :yx2 và đường thẳng d y: 2x m Tìm m để đường thẳng d cắt  P

tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x x thỏa mãn 1, 2 33

12 5x x b) Giải hệ phương trình 1 322 12 1 3 9122 1xyxyxy        Lời giải

a) Phương trình hồnh độ giao điểm x22x m x22x m 0 (*)

+) Điều kiện để d cắt  P tại hai điểm phân biệt là phương trình (*) có  ' 0 1 m0m1+) Với điều kiện trên thì theo Vi-Et ta có: x1x2 2, x x1 2m

Trang 3

1 3 2 112 1 32 1 21 15 6 1 3 271 32 1xxxyxyyyxy                            (Thỏa mãn)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x y ,  3;2

Câu 3.(3,0 điểm)

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2y2 x y xy  2 7

Lời giải +) Từ x2y2 x y xy27x y 22xyx y xy  2 7+) Đặt ax y b , xy a b Z,   Khi đó ta có phương trình: a22ba b 2 72 2 2 7 2 7aababa b a         Từ đó ta có bảng giá trị 2a  1 -1 7 -7 a b 7 -7 1 -1 a 3 1 9 -5 b -4 8 8 -4

x Loại Loại Loại -1 -4

y Loại Loại Loại 4 1

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x y  ,   1; 4 , 4;1

Câu 4.(4,0 điểm)

Cho x y z là ba số thực dương thỏa mãn , , x y z  2 3 và xy yz zx  4 Chứng minh rằng: 3332222224 4 4 62xyzxyzxyzxyyzzx      Lời giải +) Từ x y z  2 3x y z  2 12x2y2z22xy yz zx  12 x2y2z22.4 12 x2y2z2 4+) Khi đó: 2222222222222222222224 4 4 xyzxyzxyzVTxyyzzxxyyzzx                2222222x 2 1 2y 2 1 2z 2 1 2x 22y 22z 2 3yzzxxyyzzxxy                           222333333 63 32 2 2 2 2 2 2xyzxyzxyzxyzVTVP

yzzxxyxyzxyzxyzxyz

  

          

Câu 5.(5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AB, ACvà M là trung điểm cạnh BC Gọi P là một điểm

bất kỳ trên đoạn AM ( P khác A và M ) K L, lần lượt là các điểm thuộc tia BP CP, sao cho

 

AKBABC và ALCACB Đường tròn  I ngoại tiếp tam giác BPL cắt đường thẳng AB

tại điểm F khác B Đường tròn  J ngoại tiếp tam giác CPK cắt đường thẳng AC tại điểm E khác C

a) Chứng minh rằng BKAvà BAP đồng dạng

Trang 4

a) KẻAHBC H BC

Vì ABC vng tại A , AM là trung tuyến

MAMBMC MAB cân tại M

MABMBAAKB ABCMAB

 BKABAP g g 

b) Vì BKABAP BA BKAB2 BP BK.

BPBA

+) Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A

đường cao AH ta có: AB2 BH BC.+) Từ đó: BH BC BP BK BHBKBPBC   BHPBKC c g c BPHBCK HPKC

 là tứ giác nội tiếp hay HPKC nội tiếp đường tròn  J

+) Tương tự: ALCACBCAP CLACAP g g  

2

CLCA

CACP CLCACP

    mà CA2 CH CB CP CL CH CB PHBL nội tiếp  I

+) Vì FPHBL nội tiếp  I PFAPFBPHC ( góc ngồi tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh 

đối diện)

Vì CEKPH nội tiếp  J PHCPEA (góc ngồi tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) Suy ra PFAPEAAPEF là tứ giác nội tiếp FAEFPE900PEPF

+) Kéo dài HP cắt EF tại N Vì CEPH và APEF nội tiếp nên:

NPEACH PACPFENFP NPF  900 PNF900HPEF

Mặt khác IJHP(tính chất đường nối tâm) EF IJ// (cùng vng góc với HP )