20 hsg9 dong thap 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Đồng Tháp Câu 1 (4,0 điểm) 1 Tính giá trị củ[.]

Trang 1

Tỉnh Đồng ThápCâu 1.(4,0 điểm)

1 Tính giá trị của biểu thức 6 2 5 6 2 5

1 5P 2 Cho biểu thức Hx x 1 x x 1 x 4xxxxx      với x0; x1a) Rút gọn biểu thức H

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H

Câu 2.(2,0 điểm)

1.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n   thì n311n chia hết cho 6 2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  thì

1 1 1 1

1 1

2 1  3 2 4 3  n 1 n  n 

Câu 3.(5,0 điểm)

1 Điểm số của 30 học sinh lớp 9A trong đợt kiểm tra đánh giá năng lực được ghi nhận lại như sau (thang 100 điểm):

92 88 65 67 78 80 83 78 74 81

90 69 88 82 81 83 78 70 73 72

98 99 91 86 87 72 80 88 75 79

Một học sinh được gọi là đạt điểm tốt nếu điểm của học sinh đĩ khơng dưới 80 điểm Tính

điểm số trung bình của 30 em học sinh nĩi trên và tỉ lệ số học sinh đạt điểm tốt (làm trịn đến 2 chữ số thập phân)

2 Nhà trường tổ chức hoạt động ngoại khĩa tham quan vườn quýt hồng tại huyện Lai Vung Giá vé của mỗi giáo viên là 50000 đồng, giá vé của của mỗi học sinh là 30000 đồng Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đồn thanh niên 26-03, nhà vườn giảm giá 10% cho mỗi loại vé Cuối buổi ngoại khĩa, nhà trường đã trả tổng số tiền vé là 2250000 đồng cho 80 người gồm giáo viên và học sinh Tìm số giáo viên và học sinh đã tham gia ngoại khĩa

3 Ven bìa rừng tràm, trạm kiểm lâm xây hai tháp cạnh tại hai địa điểm A và B Để phịng cháy vào mùa khơ cho quần thể tràm bơng vàng tại địa điểm C và tiết kiệm chi phí, người ta đặt một máy bơm nước tại địa điểm H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC Biết rằng AB = 600m, CAB 24 và

 34

CBA  (tham khảo hình dưới) Tính khoảng cách từ máy bơm nước đến quần thể tràm bơng vàng (làm trịn đến 2 chữ số thập phân, đơn vị đo là mét)

Câu 4.(3,0 điểm)

1 Giải phương trình x2 2x2 2x1

9

Trang 2

2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 6x5y2xy2

Câu 5.(2,0 điểm)

Cho hình thoi ABCDcĩ Olà giao điểm của hai đường chéo, OHlà đường cao của tam giác

OAB Gọi Mvà Nlần lượt là trung điểm của OH và AH

1 Chứng minh rằng HM OB HB MN.

2 Chứng minh rằng CHvuơng gĩc với BM.

Câu 6.(4,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB, kẻ hai tiếp tuyến Axvà Bycùng vuơng gĩc với ABvà cùng nằm một phíaso với đường thẳng AB Lấy Ovà O'là hai điểm lần lượt thuộc Ax và By sao cho OA O B ' Giả sử hai đường trịn O OA; và O O B'; ' cắt nhau tại Evà F, cắt ABtại H(Enằm giữa Hvà F)

1 Chứng minh rằng EHAđồng dạng với AHFvà HA2 HE HF

2 Chứng minh rằng Hlà trung điểm của AB.

3. Gọi Klà điểm đối xứng với Fqua đường thẳng AB, KBcắt O O B'; ' tại điểm thứ hai là D Chứng minh rằng ABsong song với FD.

4. Gọi PvàQlần lượt là giao điểm của AEvàBEvới FD Chứng minh rằng KPQcân tạiK

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.(4,0 điểm)

1 Tính giá trị của biểu thức 6 2 5 6 2 5

1 5P 2 Cho biểu thức Hx x 1 x x 1 x 4xxxxx      với x0; x1a) Rút gọn biểu thức H

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H

Lời giải Câu 1 1  225 1 5 16 2 5 6 2 55 1 5 1 41 5 5 1P        2 Cho biểu thức Hx x 1 x x 1 x 4xxxxx      với x0; x 1Lời giảia) Rút gọn biểu thức H Với x0; x 11 1 41 1 1 1 4 1 1 4 2 41 1x xx xxHxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                          

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H

Với x0; x ta cĩ 1 Hx 2 x 4 x 4 2

xx

 

   

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x và 4

x ta được: 4 42 4xxxx    42 4 2 6Hxx      Vậy Hmin 6 x 4 x 4x    Câu 2.

1.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n   thì n311n chia hết cho 6 2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  thì

1 1 1 1

1 1

Trang 4

Lời giảiCâu 2.

1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n   thì n311n chia hết cho 6

Ta cĩ: 332 

11 12 ( 1) 12 ( 1) ( 1) 12 6

n  nn  nnn n   n n n n  n 

(vì (n1) (n n  và 1) 6 12 6n )

2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  thì

1 1 1 1 1 12 1  3 2 4 3  n 1 n  n Ta cĩ:   1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 12 1 3 2 4 3 11 1nnnnn                   Câu 3.

1 Điểm số của 30 học sinh lớp 9A trong đợt kiểm tra đánh giá năng lực được ghi nhận lại như sau (thang 100 điểm):

92 88 65 67 78 80 83 78 74 81

90 69 88 82 81 83 78 70 73 72

98 99 91 86 87 72 80 88 75 79

Một học sinh được gọi là đạt điểm tốt nếu điểm của học sinh đĩ khơng dưới 80 điểm Tính

điểm số trung bình của 30 em học sinh nĩi trên và tỉ lệ số học sinh đạt điểm tốt (làm trịn đến 2 chữ số thập phân)

2 Nhà trường tổ chức hoạt động ngoại khĩa tham quan vườn quýt hồng tại huyện Lai Vung Giá vé của mỗi giáo viên là 50000 đồng, giá vé của của mỗi học sinh là 30000 đồng Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đồn thanh niên 26-03, nhà vườn giảm giá 10% cho mỗi loại vé Cuối buổi ngoại khĩa, nhà trường đã trả tổng số tiền vé là 2250000 đồng cho 80 người gồm giáo viên và học sinh Tìm số giáo viên và học sinh đã tham gia ngoại khĩa

3 Ven bìa rừng tràm, trạm kiểm lâm xây hai tháp cạnh tại hai địa điểm A và B Để phịng cháy vào mùa khơ cho quần thể tràm bơng vàng tại địa điểm C và tiết kiệm chi phí, người ta đặt một máy bơm nước tại địa điểm H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC Biết rằng AB = 600m, CAB 24 và

 34

CBA  (tham khảo hình dưới) Tính khoảng cách từ máy bơm nước đến quần thể tràm bơng vàng (làm trịn đến 2 chữ số thập phân, đơn vị đo là mét)

Trang 5

Câu 3.

1 Điểm số của 30 học sinh lớp 9A trong đợt kiểm tra đánh giá năng lực được ghi nhận lại như sau (thang 100 điểm):

92 88 65 67 78 80 83 78 74 81

90 69 88 82 81 83 78 70 73 72

98 99 91 86 87 72 80 88 75 79

Một học sinh được gọi là đạt điểm tốt nếu điểm của học sinh đĩ khơng dưới 80 điểm Tính

điểm số trung bình của 30 em học sinh nĩi trên và tỉ lệ số học sinh đạt điểm tốt (làm trịn đến 2 chữ số thập phân)

Điểm trung bình của học sinh lớp 9A:

242780,9

30  (điểm)

Lớp 9A cĩ 17 học sinh cĩ điểm tốt và chiếm tỉ lệ là:

17

100% 56, 67%

30 

2 Nhà trường tổ chức hoạt động ngoại khĩa tham quan vườn quýt hồng tại huyện Lai Vung Giá

vé của mỗi giáo viên là 50000 đồng, giá vé của của mỗi học sinh là 30000 đồng Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đồn thanh niên 26-03, nhà vườn giảm giá 10% cho mỗi loại vé Cuối buổi ngoại khĩa, nhà trường đã trả tổng số tiền vé là 2250000 đồng cho 80 người gồm giáo viên và học sinh Tìm số giáo viên và học sinh đã tham gia ngoại khĩa

Gọi số giáo viên và học sinh lần lượt là x, y ( , yx   *)Tổng số giáo viên và học sinh là 80 nên: xy80 (1)

Khi áp dụng giảm giá 10% cho sau buổi ngoại khĩa tổng số tiền phải trả là 2250000 đồng nên:

 50000 30000 90 2250000 45000 27000 2250000 100x y    x y (2) Từ (1), (2) ta cĩ hệ phương trình: 8045000 27000 2250000 xyxy  

Giải hệ phương trình ta được: 5 (TMĐK)75 (TMĐK)xy

Vậy số giáo viên là 5, số học sinh là 75

3 Ven bìa rừng tràm, trạm kiểm lâm xây hai tháp cạnh tại hai địa điểm A và B Để phịng cháy

vào mùa khơ cho quần thể tràm bơng vàng tại địa điểm C và tiết kiệm chi phí, người ta đặt một máy bơm nước tại địa điểm H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC Biết rằng AB = 600m, CAB 24 và

 34

Trang 6

Đặt CH x0, AHC vuơng tại H Ta cĩ: tantan 24tanCHCHxCAHAHAHCAH   BHC vuơng tại H Ta cĩ: tantan 34tanCHCHxCBHBHBHCBH   Vì AB = AH + BH nên: 600tan 24 tan 34600160, 92 (m)1 1tan 24 tan 34xxx     

Vậy khoảng cách từ máy bơm đến quần thể tràm bơng vàng là x 160, 92 (m)

Câu 4.(3,0 điểm)

1 Giải phương trình 2

2 2 2 1

  

xxx

2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 6x5y2xy2

Lời giải 1 Giải phương trình x2 2x2 2x1Điều kiện: 1xx 22x 2  22x 2x2 2x 1 x  2x 1 2 2x 1 1  022x 2x 1 1 0    x 2x 1 1 x 2x 1 1 0        2x 1 x 12x 1 x 1       

Với 2x 1    x 1 x2 2 0 (vơ nghiệm)

Với 2x 1 x 1   x24x 2 0  x 2  2 (nhận); x 2  2 (loại) Vậy nghiệm của phương trình là x 2 2

2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 6x5y2xy2Ta cĩ 6x 5y 2xy  22x y 3  5(y 3) 17  

2x 5 y 3 17

   

Trang 7

2x 5 1 x 2*y 3 17 y 14         2x 5 17 x 6*y 3 1 y 2         2x 5 17 x 11*y 3 1 y 4            2x 5 1 x 3*y 3 17 y 20            

Vậy cĩ 04 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình (-2;14); (6; -2); (-11; -4); (-3;-20)

Câu 5.(2,0 điểm)

Cho hình thoi ABCDcĩ Olà giao điểm của hai đường chéo, OHlà đường cao của tam giác

OAB Gọi Mvà Nlần lượt là trung điểm của OH và AH

1 Chứng minh rằng HM OB HB MN.

Hai tam giác vuơng AOH và OBH đồng dạng vì AOH  HBO

Suy ra AOOH

OB  BH

Ta cĩ OH = 2MN, MN là đường trung bình của tam giác AOH Nên AO = 2 MN Suy ra 2 2 .MNMHHB MNHM OBOB  BH  

2 Chứng minh rằng CHvuơng gĩc với BM.

Vì MN // AO nên MNOBXét ONBcĩ MNOBOMNB 

nên M là trực tâm của tam giác ONB

Suy ra BMON

Trang 8

Cho đoạn thẳng AB, kẻ hai tiếp tuyến Axvà Bycùng vuơng gĩc với ABvà cùng nằm một phíaso với đường thẳng AB Lấy Ovà O'là hai điểm lần lượt thuộc Ax và By sao cho OA O B ' Giả sử hai đường trịn O OA; và O O B'; ' cắt nhau tại Evà F, cắt ABtại H(Enằm giữa Hvà F)

1 Chứng minh rằng EHAđồng dạng với AHFvà HA2 HE HF

Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên EAH  AFE

EAH

 đồng dạng  AHF vì AHE là gĩc chung và EAH  AFE

Suy ra EHHA

AH  HF

Do đĩ HA2 HE HF (1)

2 Chứng minh rằng Hlà trung điểm của AB.

Ta cĩ  BHE đồng dạng  FHBSuy ra BHHEFH  HB2.HBHE HF  (2) Từ (1) và (2) HA HB

3. Gọi Klà điểm đối xứng với Fqua đường thẳng AB, KBcắt O O B'; ' tại điểm thứ hai là D Chứng minh rằng ABsong song với FD.

Vì F và K đối xứng với nhau qua AB nên KBA  FBA Vì F và K đối xứng với nhau qua AB nên

 KBA FBAMặt khác, ta cĩ ABF  FDB (cùng chắn cung FB) Suy ra KBA FDB/ /FDAB

4. Gọi PvàQlần lượt là giao điểm của AEvàBEvới FD Chứng minh rằng KPQcân tạiK Vì HB // QF nên theo định lí Thalet ta cĩ BHHE

Trang 9

Suy ra HBAH

QF  FP hay QF = FP (1)

Do FK  AB mà AB // FD nên FK  FD (2) Từ (1) và (2) ta cĩ tam giác KPQ cân tại K

-Hết -

Quy định khi gõ lời giải:

1 Phơng chữ:Times New Roman, cỡ chữ 12 2 Cơng thức gõ trên mathtype, cỡ chữ 12

3 Hình vẽ được vẽ trên các phần mềm: geogebra; Geometer’s Sketchpad 4 Tên file: stt+ hsg9+ tên tỉnh Ví dụ: 1.hsg9 An Giang.docx

Trang 10

23 Hà Nam 24 Hà Nội 25 Hà Tĩnh 26 Hải Dương 27 Hải Phịng 28 Hậu Giang 29 Hịa Bình 30 Hưng Yên 31 Khánh Hịa 32 Kiên Giang 33 Kon Tum 34 Lai Châu 35 Lâm Đồng 36 Lạng Sơn 37 Lào Cai 38 Long An 39 Nam Định 40 Nghệ An 41 Ninh Bình 42 Ninh Thuận 43 Phú Thọ 44 Phú Yên 45 Quảng Bình 46 Quảng Nam 47 Quảng Ngãi 48 Quảng Ninh 49 Quảng Trị 50 Sĩc Trăng 51 Sơn La 52 Tây Ninh 53 Thái Bình 54 Thái Nguyên 55 Thanh Hĩa

56 Thừa Thiên Huế

57 Tiền Giang

58 Thành phố Hồ Chí Minh

59 Trà Vinh

Trang 11

61 Vĩnh Long

62 Vĩnh Phúc