07 hsg9 bến tre 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Bến Tre Câu 1 (5,0 điểm) a) Tính giá trị biể[.]

Trang 1

Tỉnh Bến TreCâu 1.(5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A  4 15 4 152 3 5 b) Rút gọn biểu thức: 5 2 6 9. 03 2xxxBxxx      và tìm x sao cho 20222023B 

Câu 2.(3,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa

228513xyxy

Câu 3.(3,0 điểm). Giải phương trình:

22 222 2 49 10 01 1 1xxxxxx                   

Câu 4.(3,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực không âm Chứng minh rằng

2

222222

3 6 3 6 3 6

aa  b bb  c cc  a  a b c 

Câu 5.(3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ACB 45 , gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực

tâm của tam giác ABC Đường thẳng qua O và vng góc với CO cắt AC và BC lần lượt tại điểm K và L Chứng minh chu vi của tam giác HKL bằng với đường kính của (O)

Câu 6.(3,0 điểm). Cho hai đường tròn  O và 1 O2 tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T Hai đường tròn này

nằm trong đường tròn  O và tiếp xúc với 3  O lần lượt tại điểm M (3 M O1 ) và điểm N

(NO2) Tiếp tuyến chung tại T của  O và 1 O2 cắt O tại điểm P ( P và 3 O nằm cùng phía của 3

đường thẳng MN) Đường thẳng PM cắt  O tại 1 A ( AM ), đường thẳng PN cắt O tại D (2 DN) và đường thẳng MN cắt  O và 1 O lần lượt tại B ( B2  M) và C(CN) Gọi E là giao điểm của AB

và CD

a) Tứ giác AEDP là hình gì? Giải thích

b) Chứng minh rằng: EBC EDA

Hết

9

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A  4 15 4 152 3 5 b) Rút gọn biểu thức: 5 2 6 9. 03 2xxxBxxx      và tìm x sao cho 20222023B  Lời giải a) 4 15 4 15 2 3 5 8 2 15 8 2 15 2 6 2 52 2A            5 3 5 3 2. 5 1 22      b) Với x 0, khi đó ta có: 225 2 3 5 2 3 5 2 35 2 6 93 2 3 2 3 2 3 212 1 1.3 2 1 2 2xxxxxxxxxBxxxxxxxxxxxxxxxxx                             2022 1 20222023 2023 2022 4044 20212023 2 2023xBxxxx         22021 4084441xx    (nhận) Vậy, với x 0 thì 12xBx và 20222023B  tại x 4084441

Câu 2 (3,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa

228513xyxy Lời giải Vì x y,Znên xyZ x; 2y2ZTa có: 222285 5.17.( )(1)13 13xyxyxyxy    

Vì 5.17 khơng chia hết 13 nên 22

Trang 3

Ta có  ' (13 )k 22(169k285 )k k(170 169 ) kĐể (*) có nghiệm thì ' 0(170 169 ) 0170 10 1169 1691kkkk        Với k 1 ta có hệ phương trình 2 21385xyxy  

Giải hệ phương trình này, ta được x6; y7hoặc x7; y6 Vậy các cặp số ( ; )x y thoả mãn là x6; y7hoặc x7; y6

Câu 3 (3,0 điểm) Giải phương trình:

Trang 4

+) Nếu 9a b 0 thì: 2 29 01 1xxxx   9(x 2)(x 1) (x 2)(x 1) 0      229x 27x 18 x 3x 2 0      28x 30x 25 0    1 15 5 178x   (thỏa mãn) ; 1 15 5 178x   (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: 1,2 15 5 178

x   ; x  3 0

Câu 4 (3,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực không âm Chứng minh rằng

22222223 6 3 6 3 6aa  b bb  c cc  a  a b c  Lời giải Cách 1 Với , ,a b c 0Ta có: 222222 2 2 23a 6b 2a 4ab2b a 4ab4b 2 a b  a2b  a2b vì a b 2 0,a b,2 2223 6 2 2 2aabaaba abaab       Tương tự: b 3b26c2 b22bc 2223 6 2cc  a c  ca22222222223 6 3 6 3 6 2 2 2aabbbcccaaab bbc ccaa b c              

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab c

Trang 5

Ta có: 22  22 2 2 2 2 2 23a 6b 3 a 2b  1  2 a  b 2  1.a 2.b 2  a2b

Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ACB 45 , gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực

tâm của tam giác ABC Đường thẳng qua O và vng góc với CO cắt AC và BC lần lượt tại điểm K và L Chứng minh chu vi của tam giác HKL bằng với đường kính của (O)

Lời giải

Đường thẳng vng góc với CO cắt đường tròn ( )O tại hai điểm M , N Ta có CAN CMN45 (tam giác OMC vuông cân)

Do AHBC suy ra CAD là tam giác vuông cân ( ABC 45 ) suy ra CAD 45 Từ đó suy ra CAN CAH nên A , H , N thẳng hàng

Gọi AD và BE là hai đường cao của tam giác ABC

Ta có tứ giác ABDE nội tiếp (hai đỉnh D và E kề nhau cùng nhìn cạnh AB dưới cùng một góc 900)

CANHBC mà CANCBN suy ra HBCNBC

Xét BHN có BD vừa là đường cao vừa là phân giác nên BHNcân tại B

 BD là đường trung trực của HN

Do L thuộc BD nên LH LN Chứng minh tương tự ta có KHKM

Như vậy chu vi tam giác HKL là HL KL HK  NL LK KM MNlà đường kính của ( )O

Câu 6 (3,0 điểm) Cho hai đường tròn  O và 1 O2 tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T Hai đường tròn này

nằm trong đường tròn  O và tiếp xúc với 3  O lần lượt tại điểm M (3 M O1 ) và điểm N(NO2

) Tiếp tuyến chung tại T của  O và 1 O2 cắt O tại điểm P ( P và 3 O nằm cùng phía của đường thẳng 3MN) Đường thẳng PM cắt  O tại A ( A1  M), đường thẳng PN cắt O tại D (2 DN) và đường thẳng MN cắt  O và 1 O lần lượt tại B ( B2 M) và C(CN) Gọi E là giao điểm của AB và CD

Trang 6

b) Chứng minh rằng: EBC EDA

Lời giải

a) Tứ giác AEDP là hình gì? Giải thích

Ta có  O tiếp xúc trong với 1  O tại 3 M O O M1, 3, thẳng hàng ; Ta có O2 tiếp xúc trong với  O tại 3 N O O N1, 3, thẳng hàng ;

1 , 3

MO BMO N

  là các tam giác cân có M chung nên  

13

MO BMO N ; 2C, 3

NONO M

  là các tam giác cân có N chung nên  

23NO C NO M ; Lại có :    131 1;2 2

MAB MO B MPN  MO N (các góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

  //MABMPNAEPD   (có cặp góc đồng vị bằng nhau) ;    231 1;2 2

NDC NO C NPM  NO M (các góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

  //

NDCNPMDE PA

   (có cặp góc đồng vị bằng nhau) ;

Tứ giác AEDP có các cạnh đối song song nên là hình bình hành

b) Chứng minh rằng: EBCEDA

Ta có PT là tiếp tuyến của   2

1

O  PT  PA PM ;

PT là tiếp tuyến của  2

2 O PT PD PN ;  2 PAPNPA PMPD PNPTPDPM     (1)

Gọi H là giao điểm của PE và MN, vì BE PN CE AM nên theo hệ quả của định lý Ta-let, ta có : // ; //

Trang 7

Từ (1) và (2), ta có : EBPAPNECPDPM     , mà AEDP là hình bình hành; EBEDPAED PDEAECEA     ; Xét EBC và EDA có : E chung ; EBEDEC  EA (chứng minh trên) ;    

EBCEDA c g cEBCEDA

  ∽  