Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Bến Tre Câu (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A 15 15 B b) Rút gọn biểu thức: x 52 x 6 x 9 2022 x 0 B x 3 x 2 2023 tìm x cho x y 85 ( x ; y ) x y 13 Câu (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên thỏa 2 x2 x 2 x2 9 0 10 x 1 x x 1 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh a 3a 6b b 3b 6c c 3c 6a a b c Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ACB 45 , gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng qua O vng góc với CO cắt AC BC điểm K L Chứng minh chu vi tam giác HKL với đường kính (O) O O Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tiếp xúc điểm T Hai đường tròn O O M O1 nằm đường tròn tiếp xúc với điểm M ( ) điểm N N O2 O O ( ) Tiếp tuyến chung T cắt O3 điểm P ( P O3 nằm phía O đường thẳng MN ) Đường thẳng PM cắt A ( A M ), đường thẳng PN cắt O2 D ( D N O ) đường thẳng MN cắt O2 B ( B M ) C ( C N ) Gọi E giao điểm AB CD a) Tứ giác AEDP hình gì? Giải thích b) Chứng minh rằng: EBC EDA Hết CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A 15 15 B b) Rút gọn biểu thức: x 52 x 6 x 9 2022 x 0 B x 3 x 2 2023 tìm x cho Lời giải A 15 15 5 a) 5 3 5 15 15 2 51 b) Với x , ta có: B x 52 x 6 x 9 x 3 x 2 x x 1 x 3 x 2 B 2022 2023 x 1 x 1 x 52 x 3 x 3 x 2 x 52 x 3 x 3 x 2 x 52 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2022 2023 x 2023 2022 x 4044 x 2023 x 2021 x 20212 x 4084441 (nhận) Vậy, với x B x 1 2022 B x 2023 x 4084441 x y 85 ( x ; y ) x y 13 Câu (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên thỏa Lời giải 2 Vì x, y Z nên x y Z ; x y Z x y 85 5.17.( x y ) x2 y 13 13 Ta có: x y (1) 2 x y 13 Vì 5.17 khơng chia hết 13 nên x y Z x y 13k (k ) y 13k x (2) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Thay (2) vào (1) ta có: x (13k x ) 85k x 26kx 169k 85k 0 (*) ' 2 Ta có (13k ) 2(169k 85k ) k (170 169k ) Để (*) có nghiệm ' 0 k (170 169k ) 0 170 k 1 169 169 k 1 x y 13 2 Với k 1 ta có hệ phương trình x y 85 Giải hệ phương trình này, ta x 6; y 7 x 7; y 6 Vậy cặp số ( x; y ) thoả mãn x 6; y 7 x 7; y 6 2 x2 x 2 x2 9 10 0 x 1 x x 1 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: Lời giải ĐK: x ±1 2 x2 x 2 x2 9 10 0 x 1 x x 1 2 x x2 x2 x 2 9 10 0 x x x x x x2 a b Đặt x ; x Ta có phương trình: 9a –10ab b 0 9a – 9ab – ab – b 0 9a a – b – b a – b 0 a – b 9a – b 0 a b 0 9a b 0 +) Nếu a b 0 thì: x x2 0 x 1 x CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) 0 x 3x x x 0 x 0 x 0 (thỏa mãn) +) Nếu 9a b 0 thì: x x2 0 x 1 x 9( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) 0 x 27 x 18 x x 0 x 30 x 25 0 15 17 15 17 x1 x1 8 (thỏa mãn) ; (thỏa mãn) 15 5 17 x1,2 Vậy phương trình cho có nghiệm là: ; x3 0 Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh a 3a 6b b 3b 6c c 3c 6a a b c Lời giải Cách Với a, b, c 0 Ta có: 3a 6b 2a 4ab 2b a 4ab 4b 2 a b a 2b a 2b a b a 3a 6b a 2 0, a, b a 2b a a 2b a 2ab 2 Tương tự: b 3b 6c b 2bc c 3c 6a c 2ca a 3a 6b b 3b 6c c 3c 6a a 2ab b 2bc c 2ca a b c Dấu “=” xảy a b c Cách CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Áp dụng BĐT: x y z x y z 2 3a 6b 3 a b b Ta có: 2 a b b 3 a 2b Cách m Áp dụng BĐT : Ta có: n x y mx ny 3a 6b 3 a 2b 12 2 a b 1.a 2 2.b a 2b Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ACB 45 , gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng qua O vng góc với CO cắt AC BC điểm K L Chứng minh chu vi tam giác HKL với đường kính (O) Lời giải A M E K H B O D L C N Đường thẳng vuông góc với CO cắt đường trịn (O) hai điểm M , N Ta có CAN CMN 45 (tam giác OMC vuông cân) Do AH BC suy CAD tam giác vuông cân ( ABC 45 ) suy CAD 45 Từ suy CAN CAH nên A , H , N thẳng hàng Gọi AD BE hai đường cao tam giác ABC Ta có tứ giác ABDE nội tiếp (hai đỉnh D E kề nhìn cạnh AB góc 900) CAN HBC mà CAN CBN suy HBC NBC Xét BHN có BD vừa đường cao vừa phân giác nên BHN cân B CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 BD đường trung trực HN Do L thuộc BD nên LH LN Chứng minh tương tự ta có KH KM Như chu vi tam giác HKL HL KL HK NL LK KM MN đường kính (O) O O Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tiếp xúc điểm T Hai đường tròn O O M O1 nằm đường tròn tiếp xúc với điểm M ( ) điểm N ( N O2 O O ) Tiếp tuyến chung T cắt O3 điểm P ( P O3 nằm phía O đường thẳng MN ) Đường thẳng PM cắt A ( A M ), đường thẳng PN cắt O2 D ( D N O ) đường thẳng MN cắt O2 B ( B M ) C ( C N ) Gọi E giao điểm AB CD a) Tứ giác AEDP hình gì? Giải thích b) Chứng minh rằng: EBC EDA Lời giải a) Tứ giác AEDP hình gì? Giải thích O O Ta có tiếp xúc với M O1 , O3 , M thẳng hàng ; O O Ta có tiếp xúc với N O1 , O3 , N thẳng hàng ; P A O3 I D O1 O2 T B H C N M E MO1 B, MO3 N tam giác cân có NO2 C, NO3 M tam giác cân có chung nên M N chung nên CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 B MO N MO ; NO C NO M ; Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 1 1 MAB MO MO3 N B; MPN 2 Lại có : (các góc nội tiếp góc tâm chắn cung) MAB MPN AE // PD (có cặp góc đồng vị nhau) ; 1 1 NDC NO C ; NPM NO M 2 (các góc nội tiếp góc tâm chắn cung) NDC NPM DE //PA (có cặp góc đồng vị nhau) ; Tứ giác AEDP có cạnh đối song song nên hình bình hành b) Chứng minh rằng: EBC EDA O PT PA.PM Ta có PT tiếp tuyến ; PT tiếp tuyến O2 PT PD.PN ; PA PN PA.PM PD.PN PT PD PM (1) Gọi H giao điểm PE MN , BE //PN ; CE //AM nên theo hệ định lý Ta-let, ta có : BE EH CE EB PN PN HP PM EC PM (2) EB PA PN EC PD PM , mà AEDP hình bình hành Từ (1) (2), ta có : EB ED PA ED; PD EA EC EA ; Xét EBC EDA có : EB ED E chung ; EC EA (chứng minh trên) ; EBC ∽ EDA c.g.c EBC EDA Hết CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang