26 hsg9 hai duong 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Hải Dương ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠN[.]

Trang 1

Tỉnh Hải Dương

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG Câu 1.(2,0 điểm)

1) Cho 23

31 12 3

x 



Tính giá trị của biểu thức

43225 20 27 304 21xxxxPxx    

2) Cho , ,a b c 0 thỏa mãn a b c  2 abc  Chứng minh rằng 1

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1a b c  b c a  c a b  abc Câu 2.(2,0 điểm) 1) Giải phương trình x3x2  x 1 3x 12) Giải hệ phương trình 222 31 212 2 4 7xyxyxxyy        Câu 3.(2,0 điểm)

1) Giải phương trình nghiệm nguyên x3y32y23y  1 0

2) Tìm số nguyên tố p để 2041p2 không chia hết cho 24

Câu 4.(3,0 điểm)

1) Cho đường tròn  O đường kính AB, qua A và B lần lượt vẽ các tiếp tuyến d và 1 d với 2

 O Từ điểm M bất kỳ trên  O vẽ tiếp tuyến với đường tròn, cắt d tại C và cắt 1 d tại D Kẻ 2MH vuông góc với AB tại H

a) Chứng minh rằng: AD, BC, MH đồng quy tại trung điểm của MH

b) Đường trịn  O' đường kính CD cắt đường tròn  O tại E và F (E thuộc cung AM)

Chứng minh EF đi qua trung điểm của MH

2) Cho tam giác ABC đều cạnh a Điểm M di động trên đoạn BC Vẽ ME vng góc với AB tại E, MF vng góc với AC tại F Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn EF theo a

Câu 5.(1,0 điểm)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.(2,0 điểm) 1) Cho 2331 12 3x 

Tính giá trị của biểu thức

43225 20 27 304 21xxxxPxx    

2) Cho , ,a b c 0 thỏa mãn a b c  2 abc  Chứng minh rằng 1

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1a b c  b c a  c a b  abc Lời giải 1) Ta có 223 3 3 223 23 233 3 2233 3 231 12 3 3 3 2x      222 3 3 4 4 27 4 23 0xxxxx           43225 20 27 304 21xxxxPxx     222224 23 4 23 4 23 74 23 2xxxx xxxxPxx          2224 23 1 74 23 2xxxxPxx       2 0 1 7 70 2 2xxP     2) Do , ,a b c 0và a b c  2 abc  12 1 1 1aabcbcb c bcbc           2 21 1 2

abcaa abcabcaabcaabc

Trang 3

 2  12 01 3 1xxxxx          (*) Với 13x   thì 2 1 0( 1) 3 1xxx    nên (*) 3 001xxxx      (t/m) Vậy phương trình có tập nghiệm S  0;1

2) Hệ phương trình 2 21 2 11 211 1 2 3xyxy          Đặt ux1,vy Hệ đã cho trở thành 22211 211 3uvuv    2 222222 221 13 3 2 5 2uvuvu vuvuvu vu            1 11 1uvuvuuv         

Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là 2 ; 0

1 3xxyy       

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2 ; 0

1 3xxyy        Câu 3.(2,0 điểm)

1) Giải phương trình nghiệm nguyên 332

2 3 1 0

x y  y  y 

2) Tìm số nguyên tố p để 2041p2 không chia hết cho 24

Lời giải

1) Phương trình đã cho tương đương với x3 y32y23y 1

Nhận xét rằng: 23322 30 2 3 1 1y  x y  y  y y  y (1) 3233225y 2 0 x y 2y 3y 1 5y 2  y1 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 3 3 31 1y x  y Vì 33323333322 3 1,1 2 3 1 1xyyyyyx yxyyyyy                  222 3 1 0 1 ( ) 10 00yyydo yyyyy                Với y  1 x  1Với y0x 1

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm ngun là  1; 1 và 1; 0

2) Đặt 2  2 

2041 2040 1 2040 1 1

a  p   p    p p

Nếu p2a2037 không chia hết cho 24  p2 (nhận) Nếu p 3 a2032 không chia hết cho 24  p (nhận) 3

Trang 4

3

p  mà p là số nguyên tố Do đó p lẻ nên p  và 1 p  là hai số chẵn liên tiếp 1

p 1p 1 8.    Mà 3;8 1 p1p 1 242040 1 1 24app     

Do đó p  không thỏa mãn điều kiện đề bài 3Vậy p2;p 3

Câu 4.(3,0 điểm)

1) Cho đường tròn  O đường kính AB, qua A và B lần lượt vẽ các tiếp tuyến d và 1 d với 2

 O Từ điểm M bất kỳ trên  O vẽ tiếp tuyến với đường tròn, cắt d tại C và cắt 1 d tại D Kẻ 2MH vng góc với AB tại H

a) Chứng minh rằng: AD, BC, MH đồng quy tại trung điểm của MH

b) Đường tròn  O' đường kính CD cắt đường trịn  O tại E và F (E thuộc cung AM )

Chứng minh EF đi qua trung điểm của MH

2) Cho tam giác ABC đều cạnh a Điểm M di động trên đoạn BC Vẽ ME vng góc với AB tại E, MF vng góc với AC tại F Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn EF theo a

Lời giải

1)

a) Gọi giao điểm của AD và BC là I

Ta có ICAIBDICCACMMI/ /BDMIABIBBDDM        Mà MHAB IMH Chứng minh được: MICIAIIHBD CB AD BD MIIH

  hay I trung điểm MH

Vậy AD BC MH đồng quy tại trung điểm của MH , ,

Trang 5

Ta chứng minh tam giác COD vuông tại O nên O’O là bán kính của  O' và O O' EF Gọi R bán kính đường trịn  OTa có 2'' 'MHOMRMHOOMOMHOMOOOO      (1)

Vẽ đường kính OT của đường trịn  O'

Tam giác OET vng tại E có EK là đường cao nên OE2 OK OT

2

2.OO'

ROK

  (2) Từ (1) và (2) suy ra MH 2.OK Do I là trung điểm của MH nên IH OK, suy ra IK/ /AB

Ta có O’O là đường trung bình của hình thang vng ABDC nên O O' AB, từ đó suy ra

/ /

EFAB

Hai đường thẳng IK và EF cùng song song với AB và cùng đi qua K nên bốn điểm E, I, K, F thẳng hàng Vậy EF đi qua trung điểm của MH

Trang 6

Kẻ đường cao AD của tam giác ABC Lấy I là trung điểm AM AD là đường cao đồng thời là phân giác  BAD 300

Chứng minh được  0  0  0

60 , 120 60

EID EIF  DIF

Chứng minh 1 ,

2

EI DIFI  AM mà EIDDIF600

Suy ra tam giác EID và FID là tam giác đều và EIFD là hình thoi Chứng minh được EF ID 3

Vậy EF ngắn nhất khi và chỉ khi ID ngắn nhất

ID ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất  AM là đường cao

Khi đó 3 3 3

2 4 4

aaa

AM  ID EF

Câu 5.(1,0 điểm)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: