08 hsg9 binh dinh 22 23 (đã xong)

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Bình Định Bài 1 (5,0 điểm) 1 Giải phương hệ[.]

Trang 1

Tỉnh Bình ĐịnhBài 1.(5,0 điểm) 1 Giải phương hệ trình 33425 52xxyyxy    2 Giải phương trình  2  423 x 3x1   x x 1Bài 2.(5,0 điểm) 1 Cho các số thực x, y thỏa x2y  4 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

2224 442 4yxPyxxy    2 Cho đa thức   432P x x ax bx cxd Biết P 1 10, P 2 20, P 3 30 Tính giá trị của biểu thức  12  82023PPH    Bài 3.(5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn  O và một điểm Pbất kì nằm trong tam giác (P

khác O ) Đường thẳng APcắt đường trịn  O tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính

DE, AFcủa đường trịn  O Gọi G , Ilần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng

EP, FP với đường trịn  O , K là giao điểm của AI và DG Gọi Hlà hình chiếu vuơng gĩc của K trên OP , đường thẳng OP cắt EFtại M

1 Chứng minh HO là phân giác của gĩc IHD

2 Chứng minh KDDM

Bài 4.(3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cĩ các đường phân giác trong AD, BE, CF cắt nhau tại I Chứng minh

rằng IDIEIF 2

IA  IB  IC  .

Bài 5.(2,0 điểm)

Cho đa giác đều cĩ 2n đỉnh n   , n  Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh là đỉnh của đa giác và 3cĩ một gĩc lớn hơn 100

-Hết -

9

Trang 2

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam

CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 2 

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1.(5,0 điểm) 1 Giải phương hệ trình   33425 5 12 2xxyyxy    2 Giải phương trình 3x23x1  x4x21Lời giải 1 x35xy35yxyx2xyy25xy0xyx2xyy250 * + Nếu x  , từ 1  42224221 2 1 22 2 20 1 0 1xxx yxyyy                x2xyy2  2 1 42  5+ Nếu x  , từ 1  4222221 1 0 12 2 20 2 1 2xxx yxyyy                 x2xyy22 1  25 Do đĩ  * xy0x y

Thay xy vào  2 , ta được

       242212 12xxxxxloại2  2  423 x 3x1   x x  1  1 Bình phương 2 vế của  1 , ta được

      432423x 18x 33x 18x 3 xx 1                          43243322322 29 16 9 1 08 8 8 8 1 01 8 8 1 01 7 1 017 3 527 3 52xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx

Thử lại, ta thấy x1 thỏa mãn phương trình, vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x1

Bài 2.(5,0 điểm)

1 Cho các số thực x, y thỏa x2y  4 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Trang 3

    

DAMIFEIGEIHPDHM

    

Suy ra tứ giác HAMD nội tiếp  2

Từ  1 và  2 suy ra tứ giác KHMD nội tiếp

  90

KDMKHM

   

Suy ra KDDM Bài 4.(3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cĩ các đường phân giác trong AD, BE, CF cắt nhau tại I Chứng minh

rằng IDIEIF 2

IA  IB  IC  .

Lời giải

Đặt BCa, ACb, ABc

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta cĩ:

BDIDDCBDDCBDIDDCaBAIAACBAACcIAbbcIDaIAbcTương tự, ta cũng cĩ được: IEbIBcaIEbIBca Do đĩ: 22 2 2IDIEIFabcIAIBICb ccaa babcab cbcaca babca b ca b ca b c                  

Dấu “=” xảy ra khi a b c b;  ca c; a b trái với bất đẳng thức tam giác Suy ra dấu “=” khơng xảy ra

Trang 4

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam

CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 4 

1 Chứng minh HO là phân giác của gĩc IHD

2 Chứng minh KDDM

Lời giải

1 Ta cĩ: DGEFIA90 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

  

90

KGPKIPKHP

Suy ra G, I , H , K , P cùng thuộc đường trịn đường kính KP

    

 

    

 

IHPIGPIGEIDEIDOIHOIDO

Suy ra từ giácIHDOnội tiếp

 

DHODIO

Mà IDODIO ( DOIcân tại O)

Do đĩ IHODHO , suy ra HO là phân giác của gĩc IHD

2 Ta cĩ  DIE 90 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  IDE IED 90 IHO IAD 90 DHOIAD90Mà  DHO KHD 90Suy ra IADKHD

Hay KADKHD , suy ra tứ giác AHKD nội tiếp   1

Trang 5

    

DAMIFEIGEIHPDHM

    

Suy ra tứ giác HAMD nội tiếp  2

Từ  1 và  2 suy ra tứ giác KHMD nội tiếp

  90

KDMKHM

   

Suy ra KDDM Bài 4.(3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cĩ các đường phân giác trong AD, BE, CF cắt nhau tại I Chứng minh

rằng IDIEIF 2

IA  IB  IC  .

Lời giải

Đặt BCa, ACb, ABc

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta cĩ:

BDIDDCBDDCBDIDDCaBAIAACBAACcIAbbcIDaIAbcTương tự, ta cũng cĩ được: IEbIBcaIEbIBca Do đĩ: 22 2 2IDIEIFabcIAIBICb ccaa babcab cbcaca babca b ca b ca b c                  

Dấu “=” xảy ra khi a b c b;  ca c; a b trái với bất đẳng thức tam giác Suy ra dấu “=” khơng xảy ra

Trang 6

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam

CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 6 

Bài 5.(2,0 điểm)

Cho đa giác đều cĩ 2n đỉnh n   , n  Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh là đỉnh của đa giác và 3cĩ một gĩc lớn hơn 100

Lời giải

Gọi A1, A2, A3, …, A2n (xếp theo chiều kim đồng hồ) là các đỉnh của đa giác đều

Gọi đường trịn ngoại tiếp đa giác trên là  O , khi đĩ các đỉnh của đa giác chia đường trịn  O

thành 2ncung bằng nhau và số đo mỗi cung bằng 180

n



Xét tam giác A A A1 ik với i2; 2n, k2; 2n , ik và các đỉnh A1, Ai, Akđược xếp theo chiều kim đồng hồ

Để tam giác cĩ đỉnh là đỉnh của đa giác và cĩ một gĩc lớn hơn 100, suy ra:



1 ik 160 1 ik 100

s A A Ađ A A A 

Suy ra trên cung A A A1 ik cĩ m 1 đỉnh (với m là phần nguyên của số 160180n) Suy ra cĩ 12m m  cách chọn cặp đỉnh A Ai, k Suy ra cĩ 12m m 

tam giác A A A1 ik thỏa yêu cầu bài tốn

Mà đa giác đã cho cĩ 2n đỉnh nên cĩ 



1

21

2

m m