21 hsg9 gia lai 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Gia Lai Câu 1 (5,0 điểm) a) Chứng minh rằng[.]

Trang 1

Tỉnh Gia LaiCâu 1.(5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: 12 12 1 2 1 1

1 k (k1)   k k( 1) (với k 0)

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

2222222221 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023S            b) Tìm tất cả các cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn: x2xy xy  5 0Câu 2.(4,0 điểm)

a) Cho hàm số y(m2m2)x2m có đồ thị là đường thẳng 8 d Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện

tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ )

b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vịi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng 8

9 bồn Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?

Câu 3.(2,0 điểm) Cho x  1 3339 Chứng tỏ x33x26x21 là số chia hết cho 5

Câu 4.(5,0 điểm) Cho đường tròn ( )O đường kính BC2R và điểm A thay đổi trên ( )O (điểm A

không trùng với ,B C ) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ( )O

tại K Hạ AH vng góc với BC

a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng 22

AH KH luôn khơng đổi Tính góc B của tam

giác ABC biết 3

2

AH  R

b) Đặt AHx Tìm x sao cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn nhất

Câu 5.(2,0 điểm) Cho ABC vuông tại A biết AB3,AC và AH là đường cao Gọi I4 AB

sao cho AI 2BI, CI cắt AH tại E Tính CE

Câu 6.(2,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.(5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: 12 12 1 2 1 1

1 k (k1)  k k( 1) (với k 0)

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

2222222221 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023S            b) Tìm tất cả các cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn: x2xy xy  5 0Lời giải a) Ta có 12 12 1 21 k (k1) 222222( 1) ( 1)( 1)k kkkk k    43222222 2 1( 1)kkkkkkk k      4322222 2 2 1( 1)kkkkkk k     2222( 1)( 1)kkk k 21( 1)kkk k ( 1) 1 11( 1) ( 1)k kk kk k     (đpcm) * Ta có: 2221 1 1 1 1 11 11 k (k1)  k k( 1) k k1 Khi đó: 2222222221 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023S            1 1 1 1 1 1 11 1 12 3 3 4 2022 2023 2023           12021 2021, 52   b) Ta có : 225 0 ( 1) 5 (*)x xy xy  y x x  x Với x 1 không thỏa mãn đẳng thức (*)

Khi đó 25 7(*) 21 1xxyyxxx       

Vì , x y nguyên nên suy ra: (x 1) là ước nguyên của 7 Suy ra: (x    1)  1; 7

* x  1 1 x2 y11 * x   1 1 x0 y  5* x 1 7x 8 y11 * x   1 7 x  6 y  5

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa đề: (2;11), (0; 5), (8;11), ( 6; 5)  

Trang 3

a) Cho hàm số y(m2m2)x2m có đồ thị là đường thẳng 8 d Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện

tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ )

b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vịi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng 8

9 bồn Hỏi nếu mỗi vịi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?

Lời giải a) Vì , ,O A B tạo thành tam giác nên

2 2 042 8 0mmmmm        

Đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B nên 22 8 ; 02mAmm      và (0; 2 8)Bm  Ta có: 2221 1 2 8 2( 4) 2 82 2 2 2OABmmSOA OBmmmmm        

Do giả thiết SOAB nên 2

222222228 16 2( 4) 2 8 16 28 16 2mmmmmmmmmmmmmmm                      2m  (TMĐK)

b) Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để mỗi vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước,

0, 0

x y

Khi đó, trong 1 giờ : vòi thứ nhất chảy được 1

x bồn, vòi thứ hai chảy được

1

y bồn

Theo giả thiết bài tốn ta có hệ phương trình :

3 811 1 1 849xyxxy         Đặt a 1,b 1xy  hệ trở thành 13 8 19815 4912abaabb          Suy ra : x9,y12

Vậy vòi thứ nhất cần 9 (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng một mình thì đầy bồn

Câu 3.(2,0 điểm) Cho x  1 3339 Chứng tỏ x33x26x21 là số chia hết cho 5

Lời giải Ta có: 331 3 9x   33 33 39 3x    33 33 39 1 2x     33 2xx   3323xx 6x 12x 8     3 3 2 6 4xxx   

Trang 4

Câu 4.(5,0 điểm) Cho đường tròn ( )O đường kính BC2R và điểm A thay đổi trên ( )O (điểm A

không trùng với ,B C ) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ( )O

tại K Hạ AH vng góc với BC

a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2KH2 luôn không đổi Tính góc B của tam

giác ABC biết 3

2

AH  R

b) Đặt AHx Tìm x sao cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

a) BAC vuông tại A , AK là đường phân giác trong của góc A nên K là điểm chính giữa

cung BC suy ra OHK vng tại O

Ta có: OK2OH2HK2 HK2 R2OH2 Mặt khác: AH2OH2 R2  AH2 R2OH2 222222 2 2AHHKROHROHR       (không đổi) OAH vuông tại H , có 32R

AH  nên OAH là nửa tam giác đều cạnh bằng R

Suy ra: AOH 600

+ Nếu H thuộc đoạn OB thì OAB cân tại O (OA OB R) có AOB 600 nên là tam giác đều Khi đó, ABC 600

+ Nếu H thuộc đoạn OC thì OAC cân tại O (OA OC R) có AOC 600 nên là tam

giác đều Khi đó,  0  000

60 90 60 30

ACB ABC   Vậy ABC 600 hoặc ABC 300

b) OAH vuông tại H nên 222

AH OH OA 222222xOHROHRx     22OHRx   Suy ra: 1 1 22.2 2OAHS  AH OH  x R x Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:

2222221 1.2 2 2 4OAHxRxRS  x R x     , trong đó 24R khơng đổi

Dấu “=” xảy ra khi x = 2 2 2 2 2 2

2R x x R x x R Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 24R khi 22x R

Câu 5.(2,0 điểm) Cho ABC vuông tại A biết AB3,AC và AH là đường cao Gọi I4 AB

Trang 5

Lời giải Trong ABC có BC AB2AC2 5, 125AH  2 9.5BH BCAB BH  , 165CH  Dựng IK BC K, ( BC) Khi đó: 221 3 22 1 4; ; ; 2 53 5 5 3 5BK  BH  CK  IK AH  IC IK CK  Ta có : . 16 511CECHCI CHCECI  CK   CK 

Câu 6.(2,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng:

222222222( )( ) ( )( ) ( )( )3 2( ) ( ) ( )abc b cbca cacab a ba bcb cac ab          Lời giải Ta có: (a2bc b c)(  )a b2 a c b c bc2  2  2 b a( 2c2)c a( 2b2)Tương tự: (b2ca c)( a)c b( 2a2)a b( 2c2) (c2ab a b)(  )a c( 2b2)b c( 2a2) Đặt: 222222( ) ; ( ) ; ( )xa b cyb c azc b a Khi đó: 222222222( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )abc b cbca cacab a byzzxxya bcb cac abxyz              

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm , ,x y z :

xy2 xyy z 2 yzz x 2 zx

(xy y)( z z)( x)8xyz

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm: yz; zx; xy