Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Gia Lai Câu (5,0 điểm) 1 1 2 1 2 ( k 1) k (k 1) (với k ) a) Chứng minh rằng: k Từ tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 S 2 3 2022 2023 2023 b) Tìm tất cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa mãn: x xy x y 0 Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y ( m m 2) x 2m có đồ thị đường thẳng d Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A B cho diện tích tam giác OAB ( với O gốc tọa độ ) b) Cho hai vòi nước chảy vào bồn nước Nếu cho vòi thứ chảy vào bồn rỗng dừng lại, sau cho vịi thứ hai chảy tiếp vào đầy bồn Nếu cho vòi thứ chảy vào bồn rỗng cho vòi chảy tiếp số nước chảy vào bồn Hỏi vòi chảy riêng nước đầy bồn ? 3 (2,0 điểm) Cho x 1 Chứng tỏ x 3x x 21 Câu số chia hết cho Câu Câu Câu (5,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính BC 2 R điểm A thay đổi (O) (điểm A không trùng với B, C ) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn (O) K Hạ AH vng góc với BC 2 a) Chứng minh A thay đổi, tổng AH KH ln khơng đổi Tính góc B tam AH R giác ABC biết b) Đặt AH x Tìm x cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn (2,0 điểm) Cho ABC vuông A biết AB 3, AC 4 AH đường cao Gọi I AB cho AI 2 BI , CI cắt AH E Tính CE (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (a bc )(b c) (b ca )(c a ) (c ab)(a b) 3 a (b c ) b(c a ) c(a b ) -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (5,0 điểm) 1 1 2 1 2 ( k 1) k (k 1) (với k ) a) Chứng minh rằng: k Từ tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 S 2 3 2022 2023 2023 b) Tìm tất cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa mãn: x xy x y 0 Lời giải 1 2 k (k 1) a) Ta có k (k 1) (k 1) k k (k 1) k 2k k k 2k k k (k 1)2 k 2k 2k k 2k k (k 1) (k k 1) k k k (k 1) 1 1 2 k (k 1) k ( k 1) k (k 1) k (k 1) (đpcm) * Ta có: 1 1 1 2 1 1 2 k (k 1) k (k 1) k k 1 Khi đó: 1 1 1 1 1 S 2 3 2022 2023 2023 1 1 1 1 3 2022 2023 2023 2021 2021,5 2 b) Ta có : x xy x y 0 y ( x 1) x x (*) Với x 1 không thỏa mãn đẳng thức (*) x2 x (*) y y x x x Khi Vì x, y nguyên nên suy ra: ( x 1) ước nguyên ( x 1) 1; 7 Suy ra: * x 1 x 2 y 11 * x x 0 y * x 7 x 8 y 11 * x x y Vậy có cặp số nguyên thỏa đề: (2;11), (0; 5), (8;11), ( 6; 5) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y (m m 2) x 2m có đồ thị đường thẳng d Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A B cho diện tích tam giác OAB ( với O gốc tọa độ ) b) Cho hai vòi nước chảy vào bồn nước Nếu cho vòi thứ chảy vào bồn rỗng dừng lại, sau cho vịi thứ hai chảy tiếp vào đầy bồn Nếu cho vòi thứ chảy vào bồn rỗng cho vòi chảy tiếp số nước chảy vào bồn Hỏi vịi chảy riêng nước đầy bồn ? Lời giải m m 0 m O , A , B a) Vì tạo thành tam giác nên m m 4 2m A ;0 Đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A B nên m m B(0; 2m 8) 1 2m 2( m 4) S OAB OA.OB 2m 2 m m2 m m2 Ta có: Do giả thiết S OAB 2 nên m 8m 16 m m (m 4) m m m 8m 16 m m 2 m 8m 16 m m m 2 (TMĐK) b) Gọi x (giờ), y (giờ) thời gian để vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước, x 0, y 1 Khi đó, : vòi thứ chảy x bồn, vòi thứ hai chảy y bồn 3 x y 1 8 x x y Theo giả thiết toán ta có hệ phương trình : a 3a 8b 1 8 1 5a 4b b a ,b 12 x y hệ trở thành Đặt Suy : x 9, y 12 Câu Vậy vòi thứ cần (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng đầy bồn 3 (2,0 điểm) Cho x 1 Chứng tỏ x 3x x 21 số chia hết cho Lời giải Ta có: x 1 3 x 3 3 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu x 3 3 1 x 3 x 3x x3 x 12 x x 3x x 4 Từ suy : x x x 21 4 21 25 số chia hết cho (5,0 điểm) Cho đường trịn (O ) đường kính BC 2 R điểm A thay đổi (O) (điểm A không trùng với B, C ) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường trịn (O ) K Hạ AH vng góc với BC 2 a) Chứng minh A thay đổi, tổng AH KH ln khơng đổi Tính góc B tam AH R giác ABC biết b) Đặt AH x Tìm x cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn Lời giải a) BAC vuông A , AK đường phân giác góc A nên K điểm cung BC suy OHK vuông O 2 2 2 Ta có: OK OH HK HK R OH 2 2 2 Mặt khác: AH OH R AH R OH AH HK R OH R OH 2 R (khơng đổi) OAH vng H , có Suy ra: AOH 60 AH R nên OAH nửa tam giác cạnh R + Nếu H thuộc đoạn OB OAB cân O ( OA OB R ) có AOB 60 nên tam giác Khi đó, ABC 60 + Nếu H thuộc đoạn OC OAC cân O ( OA OC R ) có AOC 60 nên tam 0 0 giác Khi đó, ACB 60 ABC 90 60 30 0 Vậy ABC 60 ABC 30 2 b) OAH vuông H nên AH OH OA x OH R OH R x OH R x 1 SOAH AH OH x R x 2 Suy ra: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: 1 x2 R2 x2 R2 R2 S OAH x R x 2 , khơng đổi R x x R x x R Dấu “=” xảy x = R2 x R Vậy S đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông A biết AB 3, AC 4 AH đường cao Gọi I AB cho AI 2 BI , CI cắt AH E Tính CE Lời giải 2 Trong ABC có BC AB AC 5 , 16 BH BC AB BH CH 5, Dựng IK BC , ( K BC ) Khi đó: Câu 12 AH 22 BK BH ; CK ; IK AH ; IC IK CK 2 5 5 CE CH CI CH 16 CE CK 11 Ta có : CI CK (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (a bc )(b c) (b ca )(c a ) (c ab)(a b) 3 a (b c ) b(c a ) c(a b ) Lời giải 2 2 2 2 Ta có: (a bc)(b c ) a b a c b c bc b(a c ) c (a b ) 2 2 Tương tự: ( b ca)(c a) c(b a ) a (b c ) (c ab)(a b) a(c b ) b(c a ) 2 2 2 Đặt: x a(b c ); y b(c a ); z c (b a ) (a bc)(b c ) (b ca)(c a ) (c ab)(a b) yz zx xy 2 2 2 a (b c ) b (c a ) c (a b ) x y z Khi đó: Áp dụng BĐT Cô si cho số không âm x, y, z : CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x y 2 xy y z 2 yz z x 2 zx ( x y )( y z )( z x ) 8 xyz Áp dụng BĐT Cô si cho số không âm: yz zx xy 3 x y z yz zx xy ; ; x y z , ta có: ( y z )( z x )( x y ) x y.z 3 3 (a bc )(b c) (b ca )(c a ) (c ab)(a b) 3 a (b c ) b(c a ) c(a b ) (đpcm) -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang