Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 Trang 30 Tỉnh Khánh Hòa Câu 1 (4,0 điểm) 1 Rút gọn biểu t[.]
Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYẾN TẬP ĐÈ HỌC SINH GIỎI CÁP TINH — NAM 2022-2023 Tỉnh Khánh Hòa Câu1 (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức 4= Cho x,y (V3 -1) 4/10+6y3 \6+2N5 —45 sô nguyên thỏa mãn dăng thức xˆ + yŸ ‘| xy+] =2 X+y Chứng minh xy +1 la mot sé chinh phuong Câu2 (4,0 điểm) Cho đa thức ƒ(x) khác hăng với hệ số nguyên thỏa mãn f(3).f (4) = / (7) Chứng minh đa thức ƒ (x) —12 khơng có nghiệm ngun Tìm số ngun tơ cho tích chúng gấp lần tổng chúng Câu3 (4,0 điểm) Giải phương trình 2/2x-+4—242—x—= ox—4 Vx +4 Cho a,b hai số thực lớn thỏa mãn điều kiện a+b xy+1 số phương Cách 2: Đặt x+ y—a,xy—=b CLB Toan THCS Zalo: 0989.15.2268 =x +y =a —2b 3% Trang 31 ®% Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 , Theo giả thiết: x” + y” BE TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 x+y "1 b+1 = J a ©a`—2a“b-+Lbˆ +2b 1—2a” =0 eÍz -b} —2(a° —b)+1=0 @ (a —b-1) =0 a —b—-1=0 ©b+l=a Hay xy+1=(x+ y) số phương với x, y số nguyên (4.0 điểm) Cho đa thức ƒ(x) khác với hệ số nguyên thỏa mãn ƒ (3) ƒ (4)= ƒ (7) Chứng minh đa thức ƒ (x) —|2 khơng có nghiệm nguyên Tim số nguyên tô cho tích chúng gấp lần tổng chúng Lời giải Cho đa thức ƒ(x) khác hăng với hệ số nguyên thỏa mãn f (3).f(4) = /(7) Chứng minh đa thức ƒ(x)—12 khơng có nghiệm ngun Giả sử ƒ(x)—12 c6 nghiém nguyén x=a => f(x)—12 =(x—a).g(x) = f(x)=(x—a).g(x) +12 =7= f (3).f(4)=[(3-a).g(3)+12].](4-a).¢(4)+12| = 7=(3—a)(4—a).g(3).¢(4)+12|(3—-a).g(3)+ (4—a).g(4)]+12.12 + 12 Œ) Vì (3—a) (4—a) hai số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho = Về phải (*) chia hết cho , trái không chia hết cho (Vô lý) = Điêu giả sử sai Vậy /(x)—12 khơng có nghiệm ngun Cách 1: Gọi sơ ngun tơ cân tìm z,b,c Khi đó, ta có: CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 3% Trang 32 ®% Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 abc=5(a+b+c)>abe:5 Vi a,b,c cé vai tro bình đăng nên khơng tính tơng qt, giả sử z:5—>ø =5 (vì aeP) Khi dé: 5.bc=5(5+b+c)@5+b+c=be Sbc-b-ct+1=6 © b(c-1)-(c-1)=6 & (c-1)(b-1) =6 Vì b; c s6 nguyén t6 nén b— vac — la hai sô nguyên dương ma (b—1)(c— 1) =6 = 1.6 =2.3 nên ta có bang sau: b-1 c- b C l 6 (Thỏamãn) (Thỏa mãn) (Loại (Loại c é P) beP) Do vai trị z,5,c bình đăng nên ba số cần tìm 2; 5; Vậy ba số cân tìm 2; 5; Cách 2: (Phương pháp thứ tự toàn phần) Gọi số nguyên tố cần tim la a,b,c Khi đó, ta có: abe =5(a+b+c)—+++4+-1 c ca ab Vi a,b,c co vai trị bình đăng Khơng mắt tính tơng qt, ta có thé gia st) a>b>c Do đó, a>b>c> a>b b>c > ac >be ab >ac => ab > ac> bc c=3;b=5 15a =5(a+8) a=4() Mà b,c số nguyên tô b>c nên | c=2;b= 5—=| 10a= 5(a+7)—=| a= 7m) c=2;b=3 6a=5(a+5) a=25() Do vai tro cua a,b,c 1a binh dang nén ba sé can tim 1a 2; 5; Vậy ba số cân tìm 2; 5; Câu (4,0 điểm) Giải phương trình 2/2x-+4—242— x = CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 ox—4 Vx? +4 3% Trang 33 # Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Cho a,b hai số thực lớn thỏa mãn điều kiện a+b0, b-1>0 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có: B> 212 2a“b (1) (4-1) (6-1) y(a-1I)(6-1) Ta lại có: 0 === AD AC y [BBE CM AB BC CA DM | AD | CM _ CA CA CA CA CA Cach 2: Goi N 1a giao điểm /M 4B Xét AABC , tacd: ID Suy — AB Ta lại có: DE MN // BC => CM _ BN ——=——Z (vì tứ giác BN/ hình bình hành) CA BA AB CM 1D ID 1È _ DE CA AB AB =—/ 4B > CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 AB CE Suyr — ID _ CM_ Ch AB CA BC’ 3% Trang 36 ®% Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 ID CM BE CE BE BC AB CA CB BC BC BC =——+——+——=—+—=—-= Ạ Vậy ID BE CM ,|——+——+——=Ì AB BC CA A B Mes _— » ˆ P —— —— —— _— Tủ D _ = ———>.⁄/ 1H C a) Chứng minh OF + — khong đôi AF? ` F7 Cách 1: Ta có: ` —cos BAE ; — + AD AE S&S Vi =] AF Po AE? |! AF? 1 AE* AF? — (vi AB = AD) ~~ AB’ không đôi nên n (Vì AB//DF nên DFA = BAE (so le trong)) Do AB = AB| =sinDFA=sinBAE + A Re không đôi (đpcm) Cách 2: Xét AFDA DFA = BAE va AABE co: (so le trong, AB//DF) FDA = ABE =90° Suy AFDA ® AABE(g—g) AF Tp AE Ma Nên DF — AF arin AB AE DF? DF’ = AF’? — AD? AB = AF’ — AB’ AF? AF’—AB* — AE AB CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 => AF’? AF’ —] — AE’ AB 3% Trang 37 ®% Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 => AE’ = Vi = AB’ — => AF? không đôi nên AB* TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 + = AI) = + AB? không đổi (đpem) b) Tim vi tri diém E dé dién tich tam giác HAD đạt giá trị lớn Goi H’ la chan đường vng góc hạ từ C xuống BE Ta có: BH'.BE = BO.BD = BCˆ _, BH’ _ BO BD BF (hệ thức lượng tam giác vuông) , ma DBF chung Nén ABH 'O @ ABDF (c— g—c) Suy 1a BH'O = BDF =48° > BIO =~ BHC => H'O tia phân giác BH'C Lại có: BE AB EC CF (1) BC _ BH CH H'C => HE tia phân giác BH'C (2) Ti (1) va (2) suy H’, O, E thang hang > H'=H => CH | BF Qua H kẻ đường vng góc xng AD cat AD, BC P va Q Gọi M trung điểm BC 25, = AD.HP= AD.(HỌ+ PQ)= AD* + AD.HQ < AD’ + AD.HM = = AD* => Siip < = AD’ Dau “=” xay rakhi HO=HM © O=M © O, O, H thang hang @ E=M (vi H, O, EF thang hang) Vậy để diện tich tam giac HAD dat gid tri lon nhat thi E 1a trung diém ctia BC Câu (2,0 điểm) Một tứ giác lơi có độ dài bơn cạnh đêu sơ tự nhiên cho tơng ba sơ bât kì chúng chia hêt sơ cịn lại Chứng minh tứ giác có nhât hai cạnh băng Lời giải: Cách I: Giả sử độ dài cạnh tứ giác 4, b, c, d (a, b, c, de Đ)và khơng có cạnh băng Khơng tính tổng qt, giả sử: >>> Đặt : x.?1c+d, yee a Tr a>b>c>d> đ ptatd VỚI x, y, zEN (1) Cc xlhay TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 x22> b+e+d>2a; y>3vaz>4 a+c+d>3b; a+b+dz2=4c Cộng bất đăng thức 3đ >b+2e (*) Mặt khác: a>b>c>d = 3dd =>ac (*) với me Ñ với neÑÏ —> n>m>3—mn>S5, (1) (2) (3) m>4 Cộng (1), (2), (3) theo vé ta c6: 3(a+b+c+d) =3a+mb+nc >3at+4b+5c mà 3a+mb + ne>3a+4b+5c (vì n>5, m>4) Suy 3(a+b+c+đ)>3a+4b+5c ©(b~đ)+2(e~đ)