Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2) Tìm đa thức biết rằng chia cho dư 7, chia cho dư 3[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 MƠN TỐN LỚP Bài (4 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử M x x 1 x 3x 1 x 2) Tìm đa thức f x biết f x chia cho x dư 7, f x chia cho x dư 3, f x chia cho x thương 2x dư Bài (4 điểm) 2 2 1) Chứng minh số A 2020 2020 2021 2021 số phương n 1 3n 2) Chứng minh số B 2 chia hết cho Bài (4 điểm) Giải phương trình 1) x x 1 x x x 1 5 x 2) x x 1 3x 16 Bài (4 điểm) a b b c b c c a c a a b 1) Chứng minh a b b c b c c b c a a b P 2) Tính tổng ax ay az x y x z y x y z z x z y Bài (4 điểm) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M MA MB cạnh BC lấy MON 90 Gọi E giao điểm AN DC, gọi K giao điểm ON BE a) Chứng minh MON vuông cân b) Chứng minh MN / / BE CK BE Bài (2 điểm) Đường phân giác góc tù cạnh đáy hình thang cắt điểm thuộc cạnh đáy Tính cạnh hình thang, biết chiều cao hình thang 12cm, đường phân giác nói dài 15cm 13cm ĐÁP ÁN Bài (4 điểm) 3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử M x x 1 x 3x 1 x M x x 1 x 3x 1 x x x 1 x x x 1 x x 2 x 1 x x x 1 4) Tìm đa thức f x biết f x chia cho x dư 7, f x chia cho x dư 3, f x chia cho x thương 2x dư 2 Đặt biểu thức dư phép chia f x cho x ax b Vì f x chia cho x f x x ax b 1 thương 2x nên : Vì f x chia cho x dư nên f x x 3 A x ( A x đa thức) f 3 7 2 Vì f x chia cho x+3 dư f x x 3 B x (B(x) đa thức) f 3 3 3 32 2.3 3a b 3a b 7 Thay vào (1) ta có : 3 2.3 3a b 3a b 3 Thay (3) vào (1) ta có : 3a b b a * 3a b 7 b 5 Thay * 52 f x x x x 2 x x 5 3 vào (1) Bài (4 điểm) 2 2 3) Chứng minh số A 2020 2020 2021 2021 số phương Đặt a 2020 a 2021 2 A a a a 1 a 1 a a a 1 a 2a a a 1 2a a 1 a a 1 1 Vậy A số phương n 1 3n 4) Chứng minh số B 2 chia hết cho 3. n 1 B 23n 1 23n 2.8n chia dư , chia dư 2.8n 4.8n n n Ta có : chia dư ,8 chia dư 2.8n chia dư 2, 4.8n chia dư 2.8n 4.8n 1 chia hết cho Nên B chia hết cho Bài (4 điểm) Giải phương trình 1) x x 1 x x x 1 5 x x Đặt 2 x 1 a, x b a 0, b 0 a b 0 a 4ab 5b a a b 5b a b 0 a 5b 0 *)a b 0 a b x x 1 x x 1 0 x x 1 x x 1 x 0(ktm) x x x a 0 *) a 5b 0, Do a 0, b 0 a 5b 0 Dấu xảy b 0 x x 1 0 1 0(ktm) Ktm x 0 x 0 Vậy S 1 2 2) x x 1 x 16 x 3 2 x 1 25 x 1 16 Đặt x 1 a a 0 Ta có : 9a 25 a 16 9a 9a 16a 16 0 x 16 x 1 9a 16 x 9a 16 a 1 0 a 1 x 0 x 1 1 x 1 S ; ;0; 2 3 Vậy Bài (4 điểm) a b b c b c c a c a a b 3) Chứng minh a b b c b c c b c a a b a b b c b c c a c a a b Ta có : a b b c b c c b c a a b a b b c c a b c c a a b c a a b b c a b b c c a b ab bc ac c a c ab ac bc a b a ab bc ca b c a b b c c a b c a c a b a b c ab bc ac c a a b b c a b b c c a c a a b c b c b c a a b b c a b b c c a a b b c c a P 4) Tính tổng Ta có : ax ay az x y x z y x y z z x z y ax ay az P x y x z y x y z z x z y P ax ax ay az x y z x x y y z z x y z 1 y z ay 1 z x az 1 x y x y ( y z )( z x) a x y z y z x z x y x y y z z x Vậy P 1(cm cau a) Bài (4 điểm) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M MA MB cạnh BC lấy MON 90 Gọi E giao điểm AN DC, gọi K giao điểm ON BE A M B N O D C K E c) Chứng minh MON vuông cân OA OB OC OD(t / c) Xét hình vng ABCD có A cắt BD O BCD OCB ABC 2OBA Ta có 180 AOC CON MON AON 90 NOC AOM 180 NOC MOA 90 Mà 90 AOB AOM BOM NOC BOM Xét ONC OBM có: CON BOM , OC OB, OCN OBM ONC OBM ( g c.g ) ON OM OMN cân O Mà MON 90 OMN vuông cân O (đpcm) d) Chứng minh MN / / BE CK BE DC AN DE NE NC / / AD, N AE , C DE 2 NC CE AD DE Xét ADE có Từ (1) suy NC MB Có AB BC CD DA (do ABCD hình vng) CE MB DE AB DC AM DC AM 1 1 3 DE AB CE MB CE MB CE MB AN AM Từ (2) (3) suy NE MB Xét AEB có : N AE , M AB; AN AM MN / / BE NE MB Từ (4) BKO MON (đồng vị) BKO 45 (vì MON vng cân O) BKO OCB OCB DCB 45 Hay BKN OCN (với N giao điểm BC OK) Xét ONC BNK có : OCN BKN , ONC BNK cmt ONC ∽ BNK ( g g ) ON CN ON BN BN KN CN KN ON BK Xét ONB CNK có : CN KN ONB ∽ CNK ( g.g ) OBN OBC 45 ) CKN 45 (do BKC CKN BKN 45 45 90 CK BK CK BE (dfcm) Bài (2 điểm) Đường phân giác góc tù cạnh đáy hình thang cắt điểm thuộc cạnh đáy Tính cạnh hình thang, biết chiều cao hình thang 12cm, đường phân giác nói dài 15cm 13cm H A D B x C M H' Giả sử có hình thang ABCD với M giao điểm đường phân giác, MH 12cm đường cao, AM 15m, BM 13cm AB / /CD AD, BC hai cạnh bên BAM AMD ABM BMC AB / / CD Có nên AMD DAM AM MD MBC BMC BC MC 2 2 2 Xét AMH vuông H có AH HM AM AH 15 12 AH 9( AH 0) 2 2 2 Xét BMH vuông H có BH HM BM BH 13 12 BH 5 AB AH BH 14cm Xét AH ' D vng H’ ta có : MD AD x 12 2 MD MH x AH x DA MA 12,5cm 2 x x Tương tự ta tính BC MC 16,9cm CD MD MC 29, 4cm Vậy độ dài cạnh hình thang AB 14cm, AD 12,5cm, BC 16,9cm, CD 29, 4cm