047 đề HSG toán 8 lập thạch 2011 2012

Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH 1 Chứng minh rằng :... DH BG.Theo định lý Ta let tính được: 2.

PHÒNG GD – ĐT

HUYỆN LẬP THẠCH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

Năm học: 2011-2012 Bài 1 (4 điểm)

1 Cho ,x y thỏa mãn y x y0và x2xy2y2.Tính A 3x y

x y







2 Tính

1 1 1 2 2 1 3 3 1 99 99 1

Bài 2 (4 điểm)

1) Tìm a b sao cho ,   3 2

f x ax bx  x chia hết cho đa thức 2

g x x  x

2) Tìm số nguyên a sao cho a4 4là số nguyên tố

Bài 3 (3 điểm)

Giải phương trình: 2 25 2

Bài 4 (4 điểm)

Cho hình thoi ABCD có góc ABC 60 0 Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F Trên đoạn thẳng AB và

CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH

1) Chứng minh rằng : 3 2

4

BG DH  BC 2) Tính số đo góc GOH

Bài 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC , ba điểm M N P lần lượt thuộc các cạnh , , BC CA AB sao cho , ,

1

&

2

BC  CA  AB BC  Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng

trọng tâm

Bài 6 (2 điểm)

Cho các số dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện x2  y2z2 1.Chứng minh rằng:

1

y z  z x  x y 

  

ĐÁP ÁN Bài 1

0

x y

y x y

y

 



    



x xy y   x y x y 

Vì x y 0nên x2y  0 x 2y

Ta có: 3.2 5 5

A





2) Với n1,ta có:

 

 

2 2

1

1

n

n

n n

 

   



 

 

Áp dụng vào bài toán ta có:

Bài 2

g x x   x x x

Vì f x( )ax3 bx210x4chia hết cho đa thức   2

2

g x x  x Nên tồn tại một đa thức ( )q x sao cho ( )f x g x q x( ) ( )

    

      

Với x        1 a b 6 0 b a 6(1)

Với x  2 2a b  6 0 (2)

Thay  1 vào  2 ta có: a2 &b4

2) Ta có: 4  2  2 

a   a  a a  a

Vì a c a2 2a 2 c a; 2 2a 2 c

Vậy a44là số nguyên tố thì a2 2a 2 1hoặc a2 2a 2 1

Nếu a2 2a   2 1 a 1thử lại thấy thỏa mãn

Nếu a2 2a    2 1 a 1thử lại thấy thỏa mãn

Bài 3

Điều kiện x 2

Với x0không phải là nghiệm của phương trình : 2 25 2

Với x0phương trình 2 25 2

   trở thành:

 

2 *

4

4 2

y x

x

   phương trình  * trở thành:

2

Điều kiện : y 2

Phương trình trở thành: 2   0

3

y

y





        

x

Với y 3thì

  

4

4

x

x x

 



               



Vậy tập nghiệm phương trình là S   1; 4

Bài 4

G

F O

D

C

A

B

E H

1) Chứng minh BCG DHF BC BG BC DF DH BG.

Theo định lý Ta let tính được:

2

DF  DC BCBG DH  BC

2) Theo định lý Pytago tính được:

4

Ta có GBOHDO30 0 Nên BGO DOH GHO300

Bài 5

Qua N kẻ NQ/ /AB Q AB, theo định lý Talet ta có:

( )

( )

Gọi ,I K là trung điểm của MQ và MN Suy ra IK là đường trung bình của tam

giác MNQ , vậy / / , / / ;

G

K P

A

N

Q

Gọi G là giao điểm của AI và PK , theo Ta let ta có: 1

2

GA GP  PA 

Suy ra G là trọng tâm của tam giác MNP và G là trọng tâm của tam giác ABC

Bài 6

Lại có :   2  2 2 2 2 2

0

xy  yz  zx  x y z xy yzzx

Nên ta có:

  

1

 

    

  

Dấu bằng xảy ra khi x  y z 1