Họ tên GV: Nguyễn Duy Hoàng SĐT Zalo: 0394 926 011 Tên Zalo: Nguyễn Duy Hồng Email: nguyenduyhoang31@gmail.com PHỊNG GD VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ ĐÔNG TRIỀU Bài 1: ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2022 -2023 MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (6 điểm) 1) Cho số thực m thỏa mãn M 3m m m m 2 Tính giá trị biểu thức m2 2) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x2 y z Bài 2: x y2 y z z x2 Chứng minh: (2,5 điểm) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a b c chia hết cho 12 Chứng minh P a b b c c a 5abc chia hết cho 12 Bài 3: (2,5 điểm) Giải phương trình: x x Bài 4: (7 điểm) x (1) 1) Cho đường trịn O đường kính BC , điểm A thuộc đường tròn ( A B, C ), vẽ bán kính OK song O cho cắt OK song với BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến C với đường trịn I Chứng minh rằng: O cho a) AI tiếp tuyến đường tròn b) Điểm K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AIC AB 2CH 2) Cho tam giác ABC cân A (góc A khác 90 ), đường cao BH Chứng minh: BC Bài 5: (2 điểm Các số thực dương x y thỏa mãn: x y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x3 y xy x y2 HẾT 1/6 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Lời giải sơ lược Bài Gi ả thiết m 2 m m 2 2m m2 Điế m 2m (do m ) 1,0 4m 4 m 2m Bài 1.1 3,0 điểm (do 3m m 2m 2m m m 1 m 1,0 m 0) T M 1 m Giả thiết x m M 2 1,0 x y y z z x 3 x x y y y y z z z z x x 0 1 y2 y 1 z2 z x2 0 1,25 (*) Bài 1.2 Do , dấu “=” xảy nên 3,0 điểm x 1 y2 (*) y 1 z2 z x2 0 1,0 x y y z z x 0 x 1 y ; y 1 z ; z 1 x Từ suy Bi Bài 2,5 điểm x2 y2 z2 ến đổi 0,75 a b b c c a a b c ab bc ca abc 1,0 P a b c ab bc ca 6abc a b c 12 a b c 2 , suy ba số a, b, c Với số nguyên a, b, c thỏa mãn có số chẵn (vì ba số lẻ a b c khơng chia hết cho ) 1,0 abc 2 6abc12 Mà a b c 12 , suy a b c ab bc ca 6abc 12 hay P12 0,5 Bài ĐK: x 8 0,25 2,5 điểm Biến đổi phương trình cho 0,75 (1) x x x Nhân, chia VP với các biểu thức liên hợp biểu thức ngoặc, được: (1) x 8 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2/6 2 x x 7 7 x 7 x x 1 x 0,5 1 x 7 1 0 x 1 x 1 Do 1 0 x 1 x với x 8 nên x 0 x 7 (thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình cho có nghiệm x 7 0,75 0,25 Bài 4.1a 2,0 điểm O nên BA AC , mà OK //BA OK AC Nối AC , A thuộc đường tròn KOC AOC cân O , có OK AC OK phân giác góc AOC AOK Nối AI , chứng minh AOI COI (c.g.c) , suy ra: IAO ICO O ) IAO 90 Mà ICO 90 (do CI tiếp tuyến đường tròn O cho hay AI tiếp tuyến đường tròn Nối CK , gọi H giao OK với AC Nhận thấy KOC cân OKC OCK Bài 4.1b 2,5 điểm (1) 0,5 O nên OCK KCI 90 (2) Do CI tiếp tuyến đường tròn 0,5 KCH 90 (3) KHC vuông H OKC 0,5 Từ (1), (2), (3) có KCI KCH , suy CK phân giác góc ICA Từ kết câu a): AOI COI AIO OIC OI phân giác góc AIC Từ suy K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AIC 3/6 0,5 0,5 0,75 Bài 4.2 2,5 điểm Trên tia CA lấy điểm D cho AD AC CD 2 AC 2 AB Nối DB , có AB AC AD nên tam giác DBC vuông B 0,5 Áp dụng hệ thức lượng DBC , đường cao BH , BC CH CD 0,5 CD AB AB AB 2 2 CH BC CH BC 2CH Vậy BC 2CH Suy BC 0,75 Biến đổi Bài 2,0 điểm S x y x y 3xy 3xy x y xy xy 1 x y 2 S 8 3xy S 8 xy xy Mà theo giả thiết: x y 4 xy 0,5 0,5 với x, y ; kết hợp với giả thiết suy 0,5 xy 1 x y 2 x y 1 S 8; S 8 xy 1 0 x y 0,5 Chứng minh xy 1 xy Vậy giá trị nhỏ S , đạt x y 1 HẾT 4/6 5/6 6/6 7/6