25 hà tĩnh 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 21  Tỉnh Hà Tĩnh  Giáo viên góp đề Nguyễn Dương Qua[.]

Trang 1

Tỉnh Hà Tĩnh

 Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh  Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hồng

 Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện

I.PHẦN GHI KẾT QUẢ:

Câu 1. Cho x  2 5 Tính giá trị biểu thức P5x518x410x313x23x 4

Câu 2. Cho biểu thức C 1 2 5 x :1 2 x

1 x x 11 x x 1         

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức C là số nguyên

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức

444444441 1 1 11 3 5 294 4 4 4A1 1 1 12 4 6 304 4 4 4                                                

Câu 4. Tìm số tự nhiên n để Bn24n2013 là số chính phương

Câu 5. Gọi M là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng ym 2 x  m 5 với

m là tham số Khi OM đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của m bằng bao nhiêu?

Câu 6. Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn a3a b2 ab26b30 Tính giá trị của biều thức

44444P4abba

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Biết rằng AH 3, BC 4BH2

  Tính diện

tích tam giác ABC

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có 4AB3AC, BC25 Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC sao cho Dthuộc cạnh AB , Ethuộc cạnh AC , Fvà G thuộc cạnh BC Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật DEFG

Câu 9. Cho ,a b không âm thỏa mãn 2a b 4, 2a3b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 6

biểu thức 2

Pa 2a b

Câu 10 Giải phương trình 3x 2 33 3 x 2x 7

II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11 Giải hệ phương trình

Trang 2

Câu 12 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A, B ), các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn  O cắt nhau tại K Gọi E và giao điềm của AM và OK Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt BM tại N

a) Tính BM AN theo R

b) Vẽ MH vng góc với AB tại H Gọi F là giao điềm của BK và MH Chứng minh rằng EFsong song với AB và BH.OKOE AB

Câu 13 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x3y3z3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Cho x  2 5 Tính giá trị biểu thức P5x518x410x313x23x 4

Lời giảiTa có x 2 5(x2)2  5 x24x 1 0, do đó 543432322P5x 20x 5x 2x 8x 2x 3x 12x 3xx 4x 1 10x   5 2 2  2   2 32P5x x 4x 1 2x x 4x 1 3x x 4x 1  x 4x 1 10 2 5  525 10 5P  

Câu 2. Cho biểu thức C 1 2 5 x :1 2 x

1 x x 11 x x 1            

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức C là số nguyên

Lời giảiĐKXĐ: x 0; x 1; x 14  Ta có C 21 2 x Để CZ thì 1 2 x U 2    2; 1;1; 2 x  1;0Đối chiếu ĐKXĐ ta có x0

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức

444444441 1 1 11 3 5 294 4 4 4A1 1 1 12 4 6 304 4 4 4                                                 Lời giảiVới n   , ta có *24 1 42 1 22 1 22 1 2 1n n n n n n n n n n4 4 2 2 2                          lần lượt thay n1, 3, 5,, 29Ta có 2222222222221 1 1 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 29 29 29 292 2 2 2 2 2A1 1 1 1 1 12 2 2 2 4 4 4 4 30 30 30 302 2 2 2 2 2                                                                                           Ta thấy 12 1 1 22 2 1; 22 2 1 32 3 1, , 292 29 1 302 30 12 2 2 2 2 2               Do đó A 11861

Trang 4

Lời giảiĐặt n24n2013a2 Với aN ta có a2(n2)2 2009Vì an2 a n2 ta có các trường hợp: TH1 a n 2 20092 n 2 2008 n 1002a n 2 1         TH2 a n 2 2872 n 2 280 n 138a n 2 7         TH3 a n 2 492 n 2 8 n 2a n 2 41         Vậy n2;138;1002 là các giá trị cần tìm

Câu 5. Gọi M là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng ym 2 x  m 5 với

m là tham số Khi OM đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của m bằng bao nhiêu?

Lời giải

Xét m  2 y  khi đó 7 OM7

Xét m  Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng 2 ym 2 x  m 5 với trục Ox, Oy Tọa độ của A 5 m; 0 , B 0; m 5m 2    Suy ra OA 5 m ; OB m 5m 2  Ta có 2222222222221 1 1 OA OB m 10 m 25 (7 m 15)OM 50 50OM OA OB OA OB m 4 m 5 ( m 2) 1               

Vậy OM có giá trị lớn nhất bằng 50 khi đó m 157 

Câu 6. Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn a3a b2 ab26b30 Tính giá trị của biều thức

Trang 5

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Biết rằng AH 3, BC 4BH2

  Tính diện

tích tam giác ABC

Lời giảiĐặt BHxsuy ra CH3xTa có BH.CH AH2 3x2 3 x 14 2     1 1 3B 4 4 2 ABC 2 2C  S  AH BC

Câu 8. Cho tam giác ABC vng tại A có 4AB3AC, BC25 Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam

Trang 6

Suy ra 1  1 24 15 [x 15 x] 753 3DEGS DE DG   x x     Vậy diện tích hình chữ nhật DEFG đạt giá trị lớn nhất bằng 75

Câu 9. Cho ,a b không âm thỏa mãn 2a b 4, 2a3b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 6biểu thức Pa22a b

Lời giải

Ta có 22

2ab442ab2a2a2aa a 2a

Do đó Pa22ab2a2ab Vậy GTLN của 0 P bằng 0 khi a; b0; 0 , 2; 0 

Mặt khác 2 3 6 2 63aa b   b Suy ra 222 2 6 2 22 222 23 3 9 9aPa  a b a  a  a     Vậy GTNN của P bằng 229 khi a; b 2 14;3 9    

Câu 10 Giải phương trình 3x 2 33 3 x 2x 7

Lời giảiĐKXĐ: x0 Ta có 2  3x 33 x5  x2 3 x  2228 42 3510 53 33 xxxxxxxx     1 4 2 02 352 13 33xxxxxx          Xét  1 4 0 14xxxx     Xét 22 102 33x 33 x 5x  x Với x 1 là nghiệm Với x 1 ta có  223 111 3 33 6 3 333 33 6xxxxxx      kết hợp với 3x233 3 x 2x 7 được x 3 x 400

Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 4;64

Trang 7

Câu 11 Giải hệ phương trình 222212 1 1 2xyxyxyxyxx        Lời giảiĐKXĐ: 2  *xy0; 2x  y 1 0; x   x 1 0 Từ phương trình 2 2 2xyx y 1x y    2 202xyyxyx     xyxy x2xyx2y2xyy2x22xyy2 xy0 2 2 01 1 1xx y yxy  xyx y  xy1x2y2xy0

Xét xy 1 0, thay vào phương trình  2 

2xy1 x  x 1  được 2  2 

2 1 2

x x  x 

Với điều kiện 2

1 0x    , ta có x  2 22 1 4x x  x   x2x42x3x22x124 0 x2x42x3x22x14 0 x55x35x 20 x2x42x3x22x1 0  2 22 1 0x x x  Với x20 x2 y  (TMĐK) 1Với 221121 5 3 5 1 51 0 ; 1 02 2 2x   x x    y   x    x    (loại) xXét 220x y  xy , ta có 22  2  2 1 2 1 0x y  xy x  x y  xy  theo ĐKXĐ thay vào ĐKXĐ  *Hệ phương trình có tập nghiệm x; y2; 1 , 1 5 3; 52 2           

Câu 12 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB2R Lấy điểm M bất kì trên nửa đường trịn (

M khác ,A B ), các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn  O cắt nhau tại K Gọi E là

Trang 8

a) Tính BM AN theo R

b) Vẽ MH vng góc với AB tại H Gọi F là giao điểm của BK và MH Chứng minh rằng

EF song song với AB và BH OK OE AB

Lời giải

a) Ta có BMABON 90  BMABNOBMBA

BOBN

  ∽   2

2

BM BNBA BOR

  

Vì NO AB nên ANB cân tại N Suy ra BNAN, suy ra BM AN 2R2.

b) Ta có KM KA OM, OA nên KO là trung trực của AM , suy ra KOAM và

(1)

EAEM

Gọi P là giao điểm của đường thẳng BM và đường thẳng AK Ta có AMP vng tại M , có KAKM nên KAKM KP

Áp dụng hệ quả định lí Thales, ta có FMBFFHFMFH (2)

KP  BK  KA  

Từ (1), (2) suy ra EF là đường trung bình AHM nên EF AB// Mặt khác OK cũng là đường trung bình của ABP nên OK BP// Ta có ABM AOK

và AMBOAK 90  BMAOAKBMBA

OAOK  ∽  Tương tự BHMOEABMBHOAOE ∽   Suy ra BABHBH OK OE AB.OA OE  

Câu 13 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x3y3z3  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

Trang 9

Lại có  23 xyyz zx (x y z)  9 xyyz zx 3 Do đó 5 xy yz zx 15 14 14 15 35P 1 1 P5 xy yz zx 1 5 xy yz zx 1 5.3 1 8 8               

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3